多边形面积二等分问题

多边形面积二等分问题在初中阶段平面几何中，图形的等分问题比较多，常见的有以下几种:等分线段，等分角，等分圆，多边形面积二等分等。线段和角的二等分比较简单，任意等分就稍显复杂；特别是角的任意等分，著名的“尺规作图不能问题”中就有角的三等分问题。现在据说有人发明了一种工具叫做弧金规，这种工具不但可以任意等分任意角（包括三等分任意角），还能作一个正方形与已知圆的面积相等，即化圆为方问题；这样一来“尺规作图不能问题”中的三个就被其解决掉了两个，只还剩一个“立方倍积”了。非但如此，这种工具还能在圆弧上取黄金分割点及在任意曲线上任意取段；也就是说能任意等分圆周及任意曲线。这项发明可以说是意义重大，但是，这种工具毕竟现在没有推广、普及，而且其操作也肯定不如传统中的直尺和圆规操作简单，再说了，使用这种工具作图是否属于尺规作图还有待于进一步论证；所以，本文还是想从传统的尺规作图的角度来论述一下初中数学中常见的有关几何图形特别是多边形的面积二等分问题。无论是什么样的多边形，都可以用一条直线把它分成两部分；由于直线相对于多边形的方向与位置不同，被分出来的两部分面积可能相等，也可能不相等。但无论直线开始时如何放置，只要放置好以后我们让它沿着与直线垂直的方向来回平移，在直线扫过整个多边形的过程中，总有一个位置是使被分出来的两部分面积相等，因此，对于任意多边形，都应该存在无数条直线能把它分成面积相等的两部分；或者换句话说，过多边形任意边上的任意一点也都应该存在一条直线能把多边形分成面积相等的两部分。先说三角形的面积二等分问题。对于三角形来说，由于等底等高的三角形面积相等，所以，三角形任意一边上的中线都可以把它分成面积相等的两部分，这个问题比较简单；下面说一下过任意边上的任意一点作直线平分三角形的问题。如图，已知P为ABC的边BC上的任意一点，求作直线PQ,把ABC分成面积相等的两部分。 作法：1.连接AP；2，取BC的中点D，作DQAP，交AC于点Q;3,作直线PQ，如图0.则直线PQ就是所求作的直线。证明：设AD、PQ的交点为O;D为BC的中点，SABD=SACD= SABC, DQAP, SAPQ=SAPD，SAOQ=SPOD S四边ABPQ=SABD- SPOD + SAOQ= SABD= SABC。直线PQ把ABC分成面积相等的两部分。为了作出直线PQ，先作出BC边上的中线AD，然后以这条中线为一条对角线，以A、P、D为顶点构造梯形，这个梯形的第四个顶点一定要在三角形的边上，则另一条对角线所在的直线PQ就是所求作的直线。这里除了利用了三角形的中线的性质以外，还用到了梯形的性质，实际上是利用了等底等高的三角形面积相等的性质。此例给出的是点P在A、D之间时的情形；不过，有了此例，相信大家都会作点P在B、D之间时的直线PQ.由此可以说明过三角形任意一边上的任意一点都可以作出一条直线把三角形分成面积相等的两部分。中心对称图形的面积二等分非常简单；过对称中心的任意一条直线都把图形分成面积相等的两部分。初中几何中常见的是两个中心对称图形的组合图形，这时，只要把每一个图形的对称中心找出来，然后，过这两点作一条直线即可。下面来说一下非中心对称图形的多边形面积二等分问题。这样的问题常见的可以分为两大类别：一、边数为奇数的正多边形。这类多边形都是轴对称图形，它们的每条对称轴都是各自的面积二等分线。除此之外，由于图形的对称性，过任意边上的任一点作面积的等分线也不是太难；现仅以正五边形为例说明一下这类图形的面积二等分方法。如图，已知P为正五边形ABCDE的边CD上的任意一点，求作直线PQ,把正五边形ABCDE分成面积相等的两部分。 作法：1.连接AP；2，取CD的中点F，作FQAP，交AE于点Q;3,作直线PQ，如图1.则直线PQ就是所求作的直线。作法：1.连接EP；2，取BC的中点F，作FQEP，交AE于点Q;3,作直线PQ，如图2.则直线PQ就是所求作的直线。证明方法和三角形一样，就不重复了。二任意多边形。任意多边形中，四边形的面积二等分最为简单；至于其他的多边形，随着边数的增加，面积二等分的难度会越来越大。由于那样的问题过于复杂，实用性不是太强，再加上初中阶段又不常见，所以就不一一说明了。接下来拟就四边形的面积二等分问题来详细说明一下，然后简单介绍一下任意五边形的面积二等分。如图，已知任意四边形ABCD，求作一条直线把四边形ABCD分成面积相等的两部分。作法：（1）连结AC、BD;（2）取AC的中点E, 作EFBD交BC于点F；（3）连结DF.如图3.则直线DF把四边形ABCD分成面积相等的两部分。证明：E为AC的中点，S四边形ADEB=S四边形DCBE EFBD，SDEQ=SBFQ ，S四边形ADFB=SDFC = S四边形ABCD .用这个方法，过四边形的每一个顶点都可以作出一条直线把四边形分成面积相等的两部分。再来说一下过任意边上的任一点如何作直线把四边形面积二等分。如图4，已知任意四边形ABCD，P为DC上一点，求作一条直线PQ把四边形ABCD分成面积相等的两部分。作法：（1）连结AC、BD;（2）取AC的中点E, 作EFBD交BC于点F；（3）连结DF.如图3.则直线DF把四边形ABCD分成面积相等的两部分。（4）连接PF,作DQPF交BC于点Q；（5）连接PQ。则PQ即为所求。过四边形的顶点且二等分四边形面积的四条直线两两相交，把四边形的边分成了八条线段，如图5；很明显，其中的每一条线段都有另外一条线段与它是同两条面积等分线所截得的线段。为了叙述的方便，不妨称这两条线段为姊妹线段，如图5中的DN和BF。这八条线段中的任意一条线段上的任意一点都可以找一条面积等分线作对角线与之构造梯形，这个梯形的第四个顶点所在的线段必与这条线段是姊妹线段。所以，有了这四条过四边形顶点的面积等分线，就可以过四边形任意边上的任意点作直线把四边形面积二等分。对于四边形面积二等分来说这四条线的作用与三角形的中线的作用是一样的。由上述作图过程可知，不论是三角形，还是四边形，还是正五边形，对于它们的面积二等分，要不就是利用三角形的中线，要不就是利用梯形，目的都是为了得到面积相等的三角形，然后通过这样的两个三角形的互换，达到按照既定要求进行面积二等分的目的。实际上，面积相等的三角形并不一定等底等高，只要两个三角形底与高之积相等就可以，对于怎么样能够用尺规作图作三角形使之底与高之积等于已知常数，以后再单独讨论。最后以一个任意五边形的面积二等分来结束全文。如图6，已知任意五边形ABCDE；求作直线AF，把五边形ABCDE分成面积相等的两部分。作法：（1）如图：取BE的中点O, 连结AO; 连结CE取CE的中