数学分析(华东师大)第十一章反常积分

第 十 一 章 反 常 积 分1 反常积分概念一 问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但在很多实际问题中往往需要突 破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题 .例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v0 至少要多大 ?设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为g .按万有引力定律 , 在距地心 x( R) 处火箭所受的引力为mg R2F =.x2于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( R) 处需作的功为欢迎下载rmg R2d x =mg R21- 1.Rx2Rr当 r + 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + 的“ 积分”:图 11 - 1+ mg R2d x =limr mgR2Rx2r + Rd x =mg R .x2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v0 至少应使 122 mv0 =mg R .用 g = 9 .81 ( m6s/2 ) , R = 6 .371 106 ( m) 代入 , 便得v0 =2 g R 11 .2( km6s/) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?1 反常积分概念265从物理学知道 , 在 不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位 高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为v =2 g( h -x) ,其中 g 为重力加速度 .设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为d x , 它们之间应满足R2 d x =vr2 d t ,图 11 - 2由此则有2d t = Rd x , x 0 , h . r22 g( h -x )所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:htf =0 R2d x .r22 g( h -x)但是在这里因为被积函数是 0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是Ru2tf =lim 2d xu h -0r2 g( h -x)=lim- 22 R gr2h -h -uu h2=2 h R. gr 相对于以前所讲的定积分 ( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 .二 两类反常积分的定义定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 a, + ) 上 , 且在任 何有 限区间 a , u上可积 .如果存在极限ulim f ( x) d x = J,( 1)u + a则称此极限 J 为函数 f 在 a, + ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) , 记作+ J =f ( x) d x ,( 1)a+ + 并称f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 1) 不 存 在 , 为 方 便 起 见 , 亦 称f ( x) d xaa发散 .类似地 , 可定义 f 在 ( - , b 上的无穷积分 :266第十一章 反 常 积 分bb f ( x )d x =limf ( x) d x .( 2)- u - u 对于 f 在 ( - , + ) 上的无穷积分 , 它用前面两种无穷积分来定义 :+ af ( x ) d x =- - + f ( x) d x +af ( x) d x ,( 3)其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 .注 1 无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值 , 都和实数 a 的选取无关 .注 2 由于无穷积分 ( 3) 是由 (1 ) 、( 2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 , f 在 任 何有限区间 v , u ( - , + ) 上 , 首先必须是可积的 .+ 注 3 af ( x ) d x 收 敛 的 几 何 意 义 是 : 若 f 在 a , + ) 上为非负连续函数 , 则图 11 - 3 中介于曲线 y = f ( x) , 直线 x = a 以及 x 轴之间那一块向右无限 延伸的阴影区域有面积 J .例 3 讨论无穷积分+ 图 11 - 3的收敛性 .解 由于d x1xp( 4)u d x1xp= 1 1 -p( u1 - p- 1 ) ,p 1 ,ln u ,p = 1 , 1ulim d x =u + 1xpp - 1 ,p 1+ p 1 ,因此无穷积分 (4 ) 当 p 1 时收敛 , 其值为 1; 而当 p1 时发散于 + . p - 1从图 11 - 4 看到 , 例 3 的结论是 很直观 的 : p的值越大 , 曲线 y = 1 当 x 1 时越靠近 x 轴 , 从xp而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也 就越大 .例 4 讨论下列无穷积分的收敛性 :1)+ d x2x( ln x) p ;2)+ d x- 1 + x2 .解 1 ) 由 于无 穷 积分 是 通 过变 限 定积 分 的 极限来 定义 的 , 因此 有关定 积分 的换元 积分 法和图 11 - 41 反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来 .对于本例来说 , 就有+ d x+ d t2x ( ln x ) p =ln 2tp.从例 3 知道 , 该无穷积分当 p 1 时收敛 , 当 p1 时发散 .2) 任取实数 a, 讨论如下两个无穷积分 :a d x+ d x- 1 + x2 和 a由于a1 + x2 .lim d x=lim( arctan a - arctan u )u - u 1 + x2vu - = arctan a + ,2lim d x=lim( arctan v - arctan a)v + a 1 + x2v + =2- arctan a ,因此这两个无穷积分都收敛 .由定义 1 ,+ d xad x+ d x- 1 + x2 =- 1 + x2 +a1 + x2 = . 注 由于上述结果与 a 无关 , 因此若取 a = 0 , 则可使计算过程更简洁些 . 定义 2 设函数 f 定义在区间 ( a , b 上 , 在点 a 的 任一右 邻域内无 界 , 但 在 任何内闭区间 u , b ( a , b 上有界且可积 .如果存在极限blimf ( x ) d x = J ,( 5)u a+u则称此极限为无界函数 f 在 ( a , b 上的反常积分 , 记作bJ =f ( x) d x ,( 5)ab并称 反 常 积 分f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 5) 不 存 在 , 这 时 也 说 反 常 积 分abf ( x ) d x 发散 .a在定义 2 中 , 被积函数 f 在点 a 近旁是无界的 , 这时点 a 称为 f 的瑕点 , 而无b界函数反常积分f ( x ) d x 又称为瑕积分 .a类似地 , 可定义瑕点为 b 时的瑕积分 :buf ( x) d x =lim f ( x )d x .au b -a其中 f 在 a , b) 有定义 , 在点 b 的任一左邻域内无 界 , 但在任何 a , u a , b)268第十一章 反 常 积 分上可积 .若 f 的瑕点 c ( a , b) , 则定义瑕积分bcbf ( x) d x =f ( x) d x + f ( x )d xa acub= lim f ( x) d x + limf ( x) d x .( 6)u c -av c+v其中 f 在 a , c) ( c, b 上有定义 , 在点 c 的 任一领 域内 无界 , 但 在任何 a , u a , c) 和 v , b ( c, b 上都可积 .当且仅当 ( 6 ) 式右 边两个 瑕积分都 收敛时 , 左边的瑕积分才是收敛的 .又若 a、b 两点都是 f 的瑕点 , 而 f 在任何 u , v ( a, b) 上可积 , 这时定义 瑕积分b cbf ( x ) d x =f ( x ) d x +f ( x) d xaaccv= limf ( x) d x + lim f ( x) d x ,( 7)u a+uv b -c其中 c 为 ( a , b) 内任一实数 .同样地 , 当且仅当 ( 7) 式右边两个 瑕积分都 收敛时 ,左边的瑕积分才是收敛的 .1例 5 计算瑕积分 d x 的值 .01 -x2解 被积函数 f ( x) = 1在 0 , 1 ) 上 连续 , 从 而在 任何 0 , u 0 , 1)1 - x2上可积 , x = 1 为其瑕点 .依定义 2 求得1u d x= lim d x001 -x2-u 11 -x2 例 6 讨论瑕积分= limu 1 -1arcsin u = .2 d x的收敛性 .0 xq ( q 0 )( 8)解 被积函数在 (0 , 1 上连续 , x = 0 为其瑕点 .由于1 d xu xq= 11 -q( 1 -u1 - q) ,q 1 ,( 0 u 1) ,- ln u ,q = 1故当 0 q 0 ) .( 9)+ d x1 d x+ d x0xp=0xp +1xp ,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分 都收 敛时 才收敛 .但 由例 3 与 例 6 的结 果 可知 , 这 两 个 反 常 积 分 不 能 同 时 收 敛 , 故 反 常 积 分 ( 9 ) 对 任 何 实 数 p 都 是 发散的 .习 题1 . 讨论下列无穷积分是否收敛 ? 若收敛 , 则求其值 :( 1)+ xe- x02+ d x ; (2)- 2xe- xd x ;( 3)+ 1+ d x ;(4) d x;20ex+ 1x ( 1 + x)+ ( 5) d x;(6)e- x sin xd x;- 4 x2 + 4 x + 50+ + ( 7)ex sin xd x ;(8)- 0 d x.1 + x22 . 讨论下列瑕积分是否收敛 ?若收敛 , 则求其值 :( 1)b d x1 d x ;(2);a ( x - a) p20 1 - x21( 3) d x ;(4) x d x;0| x - 1 |01 - x2( 5)11ln x d x ;(6)00 xd x;1 - x( 7)1 d x1 d x;(8)p .0x - x20 x( ln x)ba3 . 举例说明 : 瑕积分f ( x) d x 收敛时,bf2 ( x) d x 不一定收敛 .a4 . 举例说明:+ f ( x) d x 收敛且 f 在 a , + ) 上连续时 , 不一定有 limax +f ( x) = 0 .+ 5 . 证明: 若af ( x )d x 收敛 , 且存在极限 limx +f ( x) = A , 则 A = 0 .270第十一章 反 常 积 分+ 6 . 证明: 若 f 在 a, + ) 上可导 , 且a+ f ( x)d x 与af ( x)d x 都收敛 , 则 limx +f ( x) = 0 .2 无穷积分的性质与收敛判别一 无穷积分的性质+ 由定 义 知 道 , 无 穷 积 分auf ( x) d x 收 敛 与 否 , 取 决 于 函 数F( u )=f ( x ) d x 在 u + 时是否存在极限 .因此可由函数极限的柯西准则导出无穷a积分收敛的柯西准则 .+ 定理 11 .1 无穷积分a a, 只要 u1 、u2 G , 便有f ( x ) d x 收敛 的充要条件是 : 任给 0 , 存在 Guuu22 f ( x ) d x -1 f ( x )d x= f ( x )d x .1aau 此外 , 还可根据函数极限的性质与定积分的性质 , 导出无穷积分的一些相应 性质 .+ 性质 1 若a+ + f1 ( x) d x 与af2 ( x) d x 都 收 敛 , k1 、k2 为 任 意 常 数 , 则 k1 f1 ( x) + k2 f2 ( x) d x 也收敛 , 且a+ + + k1 f1 ( x ) + k2 f2 ( x ) d x = k1aaf1 ( x ) d x + k2af2 ( x) d x .( 1)+ 性 质 2 若 f 在 任 何 有 限 区 间 a , u 上 可 积 , a 0 , 存在 G a , 当 u G 时 , 总有+ f ( x ) d x 0 , 存在 G a , 当 u2 u1 G 时 , 总有2uu=f ( x )d x2uf ( x )d x .1u1利用定积分的绝对值不等式 , 又有uu2 f ( x ) d x2uu11+ f ( x )d x a) , 令 u + 取极限 , 立刻得到不aa等式 (3 ) .+ + 当f ( x )d x 收敛时 , 称aaf ( x )d x 为绝对收敛 .性质 3 指出 : 绝对收敛的无穷积分 , 它自身也一定收敛 .但是它 的逆命 题一 般不成 立 , 今 后将举 例说 明 收敛的无穷积分不一定绝对收敛 .我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛 .二 比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法 .u+ 由于| f ( x ) | d x 关于上限 u 是单调递增的 , 因此aa| f ( x ) | d x 收敛的u充要条件是a|f ( x) | d x 存在上界 .根据这一分析 , 便立 即导出下 述比较判 别法 ( 请读者自己写出证明 ) :定理 11 .2 ( 比较法则 ) 设定义在 a , + ) 上的 两个 函数 f 和 g 都 在任 何272第十一章 反 常 积 分有限区间 a , u 上可积 , 且满足f ( x) g ( x ) , x a, + ) ,+ + 则当g( x) d x 收敛时aa+ + | f ( x) | d x 必收敛 ( 或者 , 当a| f ( x) | d x 发散时 ,ag ( x ) d x 必发散 ) .+ 例 1 讨论0 sin x d x 的收敛性 .1 + x2+ 解 由于 sin x 1 d x01 + x2 1 + x2 , x 0 , + ) , 以及1 + x2 =为收敛2(1 例 4 ) , 根据比较法则, sin x d x 为绝对收敛 .+ 01 + x2上述比较法则的极限形式如下 :推论 1 若 f 和 g 都在任何 a , u 上可积 , g( x ) 0 , 且 limx + |f ( x) |g( x )= c,则有 :( i) 当 0 c 0 ) , 且在 任何 有限区 间 a , u 上 可积 ,则有 :( i) 当f ( x) 1 , x a , + ) , 且 p 1 时+ f ( x)d x 收敛 ;xpa+ ( ii) 当f ( x) 1 , x a , + ) , 且 p 1 时f ( x)d x 发散 .xpa推论 3 设 f 定义于 a , + ) , 在任何有限区间 a , u 上可积 , 且则有 :limx + xpf ( x )= .+ ( i) 当 p 1 , 0 + 时 ,f ( x )d x 收敛 ;a+ ( ii) 当 p 1 , 0 0 , 由 于ag ( x ) = 0 , 因此存在 G a , 当 x G 时 , 有g( x ) u1 G , 存在 u1 , u2 , 使得u2 f ( x) g( x) d x = g ( u1)f ( x ) d x + g( u2)u2f ( x) d x .uu11于是有2uu2f ( x ) g( x ) d x g( u1 )uuf ( x ) d x+g( u2) f ( x ) d x11u1=g( u1 ) f ( x) d x -f ( x ) d xaa274第十一章 反 常 积 分u2 +g( u2 ) f ( x ) d x -f ( x ) d x 0 ) 的收敛性 .解 这里只讨论前一个无穷积分 , 后者有 完全 相同的 结论 .下面分 两种 情 形来讨论 :+ ( i) 当 p 1 时1sin x d x 绝对收敛 .这是因为 xp+ d x而sin xxp 1 xp , x 1 , + ) ,+ sin x1xp 当 p 1 时收敛 , 故由比较法则推知1+ xpd x 收敛 .( ii) 当 0 0 时单调趋于 0 ( x + ) , 故1xp+ 由狄利克雷判别法推知1sin x d x 当 p 0 时总是收敛的 . xp另一方面 , 由于sin xxp+ sin2 xx=+ 1 2 x -cos 2 x2 x, x 1 , + ) ,cos 2 x1其中 12 xd x =22cos ttd t 满 足 狄 利 克 雷 判 别 条 件 , 是 收 敛 的 , 而+ d x12 x 是发散的 , 因此当 0 a , 它 们在 a , u 上 都可积 .证明 :+ 若a收敛 .+ f2 ( x) d x 与a+ g2 ( x) d x 收 敛 , 则a+ f ( x) g( x) d x 与a f ( x) + g( x ) 2 d x 也 都3 . 设 f 、g、h 是定义 在 a , + ) 上 的 三 个 连 续 函数 , 且 成 立 不等 式 h ( x ) f ( x ) g( x) .证明 :+ (1) 若a+ h( x )d x 与a+ g( x) d x 都收敛 , 则af ( x) d x 也收敛 ;+ (2) 又若a+ h( x )d x =a+ g( x) d x = A , 则af ( x) d x = A .4 . 讨论下列无穷积分的收敛性 :+ + 3( 1) d x ; (2) xd x ;0x4 + 1+ 11 - ex+ ( 3)( 5) d x;(4)01 +x+ ln( 1 + x) d x ;(6) x arctan x11 + x3d x;+ xmd x( n、m 0 ) .1xn01 + xn5 . 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛 :( 1)sinx d x ; (2 )+ 1x+ sgn( sin x)d x ;01 + x2276第十一章 反 常 积 分( 3) x cos x d x;(4 )+ 0100 + xln( ln x) sin x d x .+ eln x6 . 举 例 说 明:+ + + f ( x) d x 收 敛 时aaf2 ( x) d x 不 一 定 收敛;+ f ( x )d x 绝 对 收 敛时 ,af2 ( x) d x 也不一定收敛 .a+ + 7 . 证明: 若af ( x )d x 绝对收敛 , 且 limx + f ( x) = 0 , 则a+ f2 ( x) d x 必定收敛 .8 . 证明: 若 f 是 a , + ) 上的单调函数 , 且af ( x)d x 收敛 , 则 limx +f ( x) = 0 , 且 f ( x)= o 1x, x + .+ 9 . 证明: 若 f 在 a , + ) 上一致连续 , 且a10 . 利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法 .f ( x) d x 收敛 , 则 limx +f ( x) = 0 .3 瑕积分的性质与收敛判别类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后 的三个性 质 , 瑕积分 同样可由 函bb数极限 limf ( x) d x = f ( x ) d x 的原意写出相应的命题 .au +uab定 理 11 .5 瑕积分f ( x ) d x( 瑕点为 a) 收敛的充要条件是 : 任给 0 , 存a在 0 , 只要 u1 、u2 ( a , a + ) , 总有bbu f ( x ) d x - f ( x) d x2=f ( x )d x 0 , 且 limx a+bf ( x )g( x)= c, 则有 :b( i) 当 0 c + 时 ,abf ( x )d x 与g( x ) d x 同敛态 ;ab( ii) 当 c = 0 时 , 由g( x ) d x 收敛可推知 f ( x)d x 也收敛 ;aabb( iii) 当 c = + 时 , 由g( x) d x 发散可推知f ( x )d x 也发散 .aab当选用 d xb作为比 较对象g( x) d x 时 , 比较法则及其 推论 1 成 为a如下的推论 :( x -a) pa推论 2 设 f 定义于 ( a , b , a 为其瑕点 , 且在任何 u , b ( a , b 上可积 ,则有 :( x -a) pb( i) 当f ( x) 1, 且 0 p 1 时 ,abf ( x)d x 收敛 ;( x -a) p( ii) 当f ( x) 1, 且 p 1 时 ,af ( x)d x 发散 .推论 3 设 f 定义于 ( a , b , a 为其瑕点 , 且在任何 u , b ( a , b 上可积 .如果则有 :limx a+( x -a) pf ( x )= ,278第十一章 反 常 积 分b( i) 当 0 p 1 , 0 + 时af ( x)d x 收敛 ;b( ii) 当 p 1 , 0 + 时a例 1 判别下列瑕积分的收敛性 :f ( x)d x 发散 .1)ln x d x; 2)10x2 x1 ln xd x .解 本例两个瑕 积 分 的被 积 函数 在 各自 的 积分 区 间 上分 别 保持 同 号ln x在 ( 0 , 1 上恒为负 , x 在 ( 1 , 2 上 恒为 正所以 它们 的瑕 积 分收 敛与 绝x对收敛是同一回事 .ln x1) 此瑕积分的瑕点为 x = 0 .由上述推论 3 , 当取 p = 34 1 时 , 有= limx 0 + 3x 4 1ln x x= - limx 0 +ln x 1x - 4所以瑕积分 1) 收敛 .= limx 0 +( 4 x 4 ) = 0 ,2) 此瑕积分的瑕点为 x = 1 .当取 p = 1 时 , 由 = lim+x 1( x - 1 ) x ln x= lim+x 1 x - 1 ln x= 1 ,推知该瑕积分发散 . 最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子 . 例 2 讨论反常积分的收敛性 .+ () =0 x