2020学年高中数学 1.2余弦定理练习 苏教版必修5

12余弦定理ABC中，已知边a，b及C.1若C90，则c2a2b22若C是锐角，如左下图，作ADBC于点D，于是ADbsin C，CDbcos_C，BDabcos_C3若C为钝角，如右上图，作ADBC，与BC的延长线相交于点D，此时ADbsin(C)bsin_C，CDbcos(C)bcos C.4在ABC中，已知边a、b及C，由c2a2b22abcos C可得cos C5结论“三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍”，称为余弦定理6根据cos C可知，当a2b2c2.基础巩固一、选择题1(2020天津卷)在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC(C)A. B.C. D.解析：由余弦定理得AC2BA2BC22BABCcosABC5，AC.再由正弦定理，可得sinBAC.2在ABC中，a1，b，c2，则B等于(C)A30 B45C60 D120解析：cos B.B60.3边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是(B)A90 B120C135 D150解析：设边长为7的边所对的角为，则由余弦定理得：cos ，60.最大角与最小角的和为18060120.4在ABC中，b2c2a2bc，则A等于(C)A60 B135C120 D90解析：cos A，A120.5在ABC中，B60，b2ac，则ABC一定是(D)A锐角三角形 B钝角三角形C等腰三角形 D等边三角形解析：由b2ac及余弦定理b2a2c22accos B，得b2a2c2ac，(ac)20.ac.又B60，ABC为等边三角形二、填空题6(2020上海卷)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a22ab3b23c20，则cos C_.解析：由3a22ab3b23c20得a2b2c2ab，从而cos C.答案：7在ABC中，若AB，AC5，且cos C，则BC_解析：由余弦定理得：AB2AC2BC22ACBCcos C，即：525BC29BC，解得：BC4或5.答案：4或58在ABC中，化简bcos Cccos B_解析：由余弦定理得：原式bca.答案：a三、解答题9在ABC中，B120，若b，ac4，求ABC的面积解析：由余弦定理得：b2a2c22accos B，即b2(ac)22ac2ac，ac3.故SABCacsin B3.10在ABC中，C90，现以am，bm，cm(m0)为边长作一个ABC，试判断ABC的形状解析：最大边长cm所对角为C，则cos C0，C为锐角，而C为ABC的最大角，故ABC为锐角三角形能力升级一、选择题11三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x27x60的根，则三角形的另一边长为(B)A52B2C16 D4解析：设夹角为，所对的边长为m，则由5x27x60，得(5x3)(x2)0，故得x或x2，因此cos ，于是m2523225352，m2.12在不等边三角形中，a为最大边，如果a2b2c2，则A的取值范围是(C)A90A180 B45A90C60A90 D0A0，故知A为锐角，又A是不等边三角形的最大角，故A60，60A90.13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2c2b2)tan Bac，则B(B)A. B.或C.或 D.解析：由(a2c2b2)tan Bac得a2c2b2，再由余弦定理得：cos B，即tan Bcos B，即sin B，B或.二、填空题14在ABC中，已知A60，且最大边长和最小边长恰好是方程x27x110的两根，则第三边的边长为_解析：由A60可知，边a既不是最大边，也不是最小边，故知bc7，bc11，a2b2c22bccos 60b2c2bc(bc)23bc493316，a4.答案：415已知ABC的三边a，b，c，且面积S，则角C_解析：由absin C得a2b2c22absin C，再由余弦定理cos C得sin Ccos C，C.答案：三、解答题16设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a1，b2，cos C.(1)求ABC的周长；(2)求cos(AC)的值解析：(1