2016年朝阳市重点高中高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年辽宁省朝阳市重点高中高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A= 1， 0， 1， ， B=x|（ x 1） 2 1，则 AB=（ ） A 1， 0， 1 B 0 C 1 D 2已知复数 z 满足（ 1+i） z=2i，则 z=（ ） A 1 i B 1+i C 1 i D 1+i 3设向量 ， ， 满足 = ，且 | |=| |=2， | |=4，则 =（ ） A 4 B 2 C 2 D 4在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，若 C=30， b=3， 面积为 ，则 c=（ ） A 1 B 2 C D 5为调查乘客晕机情况，在某一次恶劣气候飞行航程中， 55 名男乘客中有 24 名晕机， 34名女乘客中有 8 名晕机在检验这些乘客晕机是否与性别相关时，常采用的数据分析方法是（ ） A频率分布直方图 B回归分析 C独立性检验 D用样本估计总体 6某程序框图如图所示，运行该程序，那么输出 k 的值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 7若曲线 f（ x） = x= 处的切线与直线 y 3=0 互相垂直，则实数 a 的值等于（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 8一个正方体截去四个角得到一个多面体，其三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ） 第 2 页（共 21 页） A 4 B C （ 3+ ） D 9函数 f（ x） =x+ ） x）（ x R）的最大值为（ ） A 1+ B 2 C 1 D 1+ 10设双曲线 C： （ b a 0）的左、右焦点分别为 在双曲线的右支上存在一点 P，使得 |3|则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为（ ） A（ 1， 2 B C D（ 1， 2） 11设函数 f（ x）是定义在（ ， 0）上的可导函数，其导函数为 f（ x），且有 2f（ x） + x） x，则不等式（ x+6） 2f（ x+6） f（ 1） 0 的解集为（ ） A（ ， 6） B（ ， 7） C（ 7， 0） D（ 7， 6） 12已知三棱锥 S 所有顶点都在球 O 的球面上，球 O 的表面积为 16， 边长为 3 的正三角形，若 三棱锥 S 体积的最大值为（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若实数 x， y 满足不等式 ，则目标函数 z=x y 的取值范 围为 _ 14若二项式（ ） 6 展开式中的常数项为 120，则正实数 a 的值为 _ 15已知点 P 为抛物线 C： x 上一点，记 P 到此抛物线准线 l 的距离为 P 到圆x2+x+8y+16=0 上的点的距为 d1+最小值为 _ 16设 f（ x）是定义域 R 上的增函数， x， y R， f（ x+y） =f（ x） +f（ y） 1，若不等式f（ x 3） 3 的解集为 x| 2 x 3，记 ，则数列 前 n 项和 _ 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列 前 n 项和 足 an+n N*） （ ）证明：数列 2n 3是等比数列； （ ）设 ，求数列 的前 n 项和 18为了解某学科考试成绩情况，从甲、乙两个班级各随机抽取 10 名同学的成绩进行统计分析，成绩小于 90 分为不及格，抽取甲、乙两个班的成绩记录如下： 甲： 77 75 72 88 86 83 98 95 108 106 乙： 78 79 86 87 88 91 92 93 95 101 （ ）用茎叶图表示两组数据，并指出甲班 10 名同学成绩的方差与乙班 10 名同学成绩的方差的大小（不要求计算出具体值，给出结论即可）； 第 3 页（共 21 页） （ ）从甲班 10 人中取两人，乙班 10 人中取一人，三人中不及格人数记为 X，求 X 的分布列和期望 19如图，在四棱锥 P ，底面 平行四边形， 底面 ，C=，点 E， F 分别是 中点 （ ）证明： 平面 （ ）证明： （ ）求二面角 A C 的余弦值 20如图，已知曲线 + =1（ a b 0， y 0）的离心率 e= ，且经过点 G（ 1， ），曲线 y，过曲线 一点 P 作 两条切线，切点分别为 A， B （ ）求曲线 方程； （ ）求 积的最大值与最小值 21已知函数 f（ x） =x， a R （ ）若 f（ 1） =0，求函数 f（ x）的最大值； （ ）令 g（ x） =f（ x） ，讨论函数 g（ x）的单调区间； （ ）若 a=4，正实数 足 f（ +f（ +3，证明 x1+ 选修 4何证明选讲 22如图，已知圆上的 = ，过 C 点的圆的切线与 延长线交于 E 点，设 M 是 的中点， （ ）证明： （ ）若 ， ，求 长 选修 4标系与参 数方程 第 4 页（共 21 页） 23在直角坐标系 ，曲线 （ 为参数， t 0），曲线 s 为参数），在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ，记曲线 交点为 P （ ）求点 P 的直角坐标； （ ）当曲线 且只有一个公共点时， 交于 A、 B 两点，求 |+|的值 选修 4等式选讲 24已知 f（ x） =|2x 3|+6（ a 是常数， a R） （ ）当 a=1 时，求不等式 f（ x） 0 的解集； （ ）如果函数 y=f（ x）恰有两个不同的零点，求 a 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年辽宁省朝阳市重点高中高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A= 1， 0， 1， ， B=x|（ x 1） 2 1，则 AB=（ ） A 1， 0， 1 B 0 C 1 D 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出两集合的交集即可 【解 答】 解：由 B 中不等式变形得：（ x 1） 2 1 0，即（ x 1+1）（ x 1 1） 0， 解得： 0 x 2，即 B=（ 0， 2）， A= 1， 0， 1， AB=1， 故选： C 2已知复数 z 满足（ 1+i） z=2i，则 z=（ ） A 1 i B 1+i C 1 i D 1+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算性质即可得出 【解答】 解： 复数 z 满足（ 1+i） z=2i， （ 1 i）（ 1+i） z=（ 1 i） 2i，化为 2z=2（ i+1）， z=1+i 故选 B 3 设向量 ， ， 满足 = ，且 | |=| |=2， | |=4，则 =（ ） A 4 B 2 C 2 D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由条件得 ，两边平方解出 【解答】 解： = ， ， ， 即 4+4+2 =16 =4 故选： A 4在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，若 C=30， b=3， 面积为 ，则 c=（ ） A 1 B 2 C D 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 利用三角形面积计算公式可得 a，再利用余弦定理即可得出 第 6 页（共 21 页） 【解答】 解：在 ，由题意可得： S= = ，解得 a= c2=a2+2+9 6 =3， 解得 c= 故选： D 5为调查乘客晕机情况，在某一 次恶劣气候飞行航程中， 55 名男乘客中有 24 名晕机， 34名女乘客中有 8 名晕机在检验这些乘客晕机是否与性别相关时，常采用的数据分析方法是（ ） A频率分布直方图 B回归分析 C独立性检验 D用样本估计总体 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 根据题意，利用题目中的数据列 2 2 列联表，求观测值 照数表得出概率结论，是独立性检验 【解答】 解：根据题意，结合题目中的数据，列出 2 2 列联表， 求出观测值 照数表可得出概率结论； 这种分析数据的方法是独立性检验 故选： C 6某程序框图如 图所示，运行该程序，那么输出 k 的值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：当 S=1 时，满足进行循环的条件，故 S=1， k=2； 当 S=1 时，满足进行循环的条件，故 S=2， k=3； 当 S=2 时，满足进行循环的条件，故 S=7， k=4； 当 S=7 时，满足进行循环的条件，故 S=53， k=5； 当 S=53 时，满足进行循环的条件，故 S=2814， k=6； 当 S=2814 时，不满足进行循环的条件， 故输出的 k 值为 6， 故选： C 第 7 页（共 21 页） 7若曲线 f（ x） = x= 处的切线与直线 y 3=0 互相垂直，则实数 a 的值等于（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率，根据直线垂直建立方程关系进行求解即可 【解答】 解：函数的导数 f（ x） = 则 f（ ） = 1， 即函数 f（ x）在 x= 处的切线斜率 k= 1， 直线 y 3=0 的斜率 k= ， f（ x） = x= 处的切线与直线 y 3=0 互相垂直， （ 1） = 1，即 a= 2， 故选： A 8一个正方体截去四个角得到一个多面体，其三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ） A 4 B C （ 3+ ） D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体截去四个角得到一个多面体，进而可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体截去四个角得到一个多面体， 正方体的体积为： 8， 每个角的体积均为： （ 1 1） 2= ， 故组合体的体积 V=8 4 = ， 故选： B 9函数 f（ x） =x+ ） x）（ x R）的最大值为（ ） A 1+ B 2 C 1 D 1+ 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 第 8 页（共 21 页） 【分析】 由三角函数公式化简可得 f（ x） =2x ），可得最大值为 2 【解答】 解： f（ x） =x+ ） x） =（ x） x） = x） x） =2 x+ ） =2x ）， 函数的最大值为 2， 故选： B 10设双曲线 C： （ b a 0）的左、右焦点分别为 在双曲线的右支上存在一点 P，使得 |3|则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为（ ） A（ 1， 2 B C D（ 1， 2） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 先利用双曲线的定义，得焦半径 |a，再利用焦半径的取值范围，得离心率的取值范围，再由已知 b a 求得双曲线的离心率范围，两个范围求交集即可得双曲线的离心率范围 【解答】 解： P 在双曲线的右支上， | |2|2a， |a c a e= 2 又 b a， e= e 故选 B 11设函数 f（ x）是定义在（ ， 0）上的可导函数，其导函数为 f（ x），且有 2f（ x） + x） x，则不等式（ x+6） 2f（ x+6） f（ 1） 0 的解集为（ ） A（ ， 6） B（ ， 7） C（ 7， 0） D（ 7， 6） 【考点】 利用导数研究函数的 单调性 【分析】 根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论 【解答】 解：设 g（ x） =x）， g（ x） =2x） + x） 函数 f（ x）是定义在（ ， 0）上的可导函数， 2f（ x） + x） x， 2x） + x） 0， g（ x） =x） 0， 第 9 页（共 21 页） 函数 g（ x） =x）在（ ， 0）上是增函数， （ x+6） 2f（ x+6） f（ 1） 0， g（ x+6） g（ 1）， x+6 1， x 7， 不等式的解集为（ 7， 0） 故选： C 12已知三棱锥 S 所有顶点都在球 O 的球面上，球 O 的表面积为 16， 边长为 3 的正三角形，若 三棱锥 S 体积的最大值为（ ） A B C D 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分 析】 作出棱锥 S 高 线面垂直的判定定理可知 S 在底面的投影为 当球心 O 在棱锥内部时棱锥体积最大，根据球的半径和垂径定理可计算出棱锥的高度 【解答】 解：设球 O 的半径为 r，则 46， r=2即 S=2 设 S 在平面 的投影为 D，则 平面 面 面 D=S， 平面 同理： D 是 垂心， 球心 O 在棱锥内部时，棱锥的体积最大 边长为 3 的等边三角形， = ， =1 S+ = = 故选 C 第 10 页（共 21 页） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若实数 x， y 满足不等式 ，则目标函数 z=x y 的取值范围为 （ 2， 0） 【考点】 简单线性规划 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=x y 表示直线在 y 轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距的范围即可 【解答】 解：不等式组 ，表示的平面区域如图所示， 当直线 z=x y 过点 A（ 0， 2）时， 在 y 轴上截距最大，此时 z 取得最小值 2 当直线 z=x y 过点 B（ 1， 1）时， 在 y 轴上截距最小，此时 z 取得最大值 0 目标函数 z=x y 的取值范围为（ 2， 0） 故答案为：（ 2， 0） 14若二项式（ ） 6 展开式中的常数项为 120，则正实数 a 的值为 2 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，令 x 的指 数等于 0，求出 r 的值，再求正数 a 的值 【解答】 解：二项式（ ） 6 展开式中的通项公式为： = （ 6 r（ ） r=（ 1） r ； 令 6 =0，解得 r=4； 二项式 展开式中的常数项为 1） 44 =1520， 第 11 页（共 21 页） 解得 a= 2 ， 又 a 0， a=2 故答案为： 2 15已知点 P 为抛物线 C： x 上一点，记 P 到此抛物线准线 l 的距离为 P 到圆x2+x+8y+16=0 上的点的距为 d1+最小值为 3 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点和准线方程，设 准线 l，垂足为 K，由抛物线的定义可得|求得圆的圆心和半径，连接 F， P， M 三点共线，取得最小值，运用两点的距离公式计算即可得到所求最小值 【解答】 解：抛物线 C： x 的焦点 F（ 1， 0），准线 l： x= 1， 设 准线 l，垂足为 K， 由抛物线的定义可得 | 圆 x2+x+8y+16=0 的圆心为 M（ 2， 4），半径为 r=2， 连接 F， P， M 三点共线，取得最小值 可得 d1+最小值为 | r= 2=3 故答案为： 3 16设 f（ x）是定义域 R 上的增函数， x， y R， f（ x+y） =f（ x） +f（ y） 1，若不等式f（ x 3） 3 的解集为 x| 2 x 3，记 ，则数列 前 n 项和 【考点】 数列与函数的综合 【分析】 由不等式的解集，结合 f（ x）的单调性，可得 x 3 t，可得 2， 3 为方程 x 3=t 的根，再由韦达定理解得 t=3，即 f（ 3） =3令 x=y=1，以及 x=1， y=2，结合条件 f（ 3） =3，可得 f（ 1），再令 x=n， y=1，结合等差数列的求和公式，即可得到所求和 【解答】 解：由不等式 f（ x 3） 3 的解集为 x| 2 x 3， 结合条件 f（ x）是定义域 R 上的增函数，可令 f（ t） =3， 即有 x 3 t，可得 2， 3 为方程 x 3=t 的根， 第 12 页（共 21 页） 即有 2 3= 3 t，解得 t=3， 即有 f（ 3） =3 令 x=y=1，可得 f（ 2） =2f（ 1） 1， 再令 x=1， y=2，可得 f（ 3） =f（ 1） +f（ 2） 1=3f（ 1） 2， 由 f（ 3） =3，可得 f（ 1） = ， 令 x=n， y=1，可得 f（ n+1） =f（ n） +f（ 1） 1=f（ n） + ， 即为 ，且 ， 可得数列 首项为 ，公差为 的等差数列， 可得 Sn=n（ n 1） d= n+ n（ n 1） = 故答案为： 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知数列 前 n 项和 足 an+n N*） （ ）证明：数列 2n 3是等比数列； （ ）设 ，求数列 的前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比关系的确定 【分析】 （ ）通过 an+ 1=21+（ n 1） 2（ n 2）作差可知 1 2n+1，进而化简 即得结论； （ ）通过（ I）裂项可知 = （ ），进而并项相加即得结论 【解答】 （ ）证明： an+1=21+（ n 1） 2（ n 2）， 21+2n 1， 即 1 2n+1， = = =2， 故数列 2n 3是等比数列； （ ）解：由（ I）可知，数列 2n 3是公比为 2 的等比数列， 又 2 3= 6， 2n 3= 62n 1= 32n， 又 +2n 32n， = ， 第 13 页（共 21 页） = = （ ）， （ + + ） = （ ） = 18为了解某学科考试成绩情况，从甲、乙两个班级各随机抽取 10 名同 学的成绩进行统计分析，成绩小于 90 分为不及格，抽取甲、乙两个班的成绩记录如下： 甲： 77 75 72 88 86 83 98 95 108 106 乙： 78 79 86 87 88 91 92 93 95 101 （ ）用茎叶图表示两组数据，并指出甲班 10 名同学成绩的方差与乙班 10 名同学成绩的方差的大小（不要求计算出具体值，给出结论即可）； （ ）从甲班 10 人中取两人，乙班 10 人中取一人，三人中不及格人数记为 X，求 X 的分布列和期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其 分布列 【分析】 （ ）由已知作出茎叶图，并比较甲班 10 名同学成绩的方差与乙班 10 名同学成绩的方差的大小 （ ） X 取值为 0， 1， 2， 3，求出相应的概率，可得 X 的分布列和期望 【解答】 解：（ ）由已知作出茎叶图，得： 由茎叶图得到甲班 10 名同学成绩的方差大于乙班 10 名同学成绩的方差 （ ）由已知得甲班有 4 人及格，乙有 5 人及格， X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = + = ， P（ X=2） = + = P（ X=3） = = ， X 的分布列为： 第 14 页（共 21 页） X 0 1 2 3 P = 19如图，在四棱锥 P ，底面 平行四边形， 底面 ，C=，点 E， F 分别是 中点 （ ）证明： 平面 （ ）证明： （ ）求二面角 A C 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）取 点 O，连结 导出 而平面 平面 此能证明 平面 （ ）推导出 D=1，从而 而 平面 此能证明 （ ）以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A C 的余弦值 【解答】 证明：（ ）取 点 O，连结 点 E， F 分别是 中点， O=O， D=D， 平面 面 平面 平面 平面 平面 （ ） 在四棱锥 P ，底面 平行四边形， 底面 ，C=， D= =1， D=D， 平面 平面 解：（ ）以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， A（ 1， 1， 0）， B（ 1， 0， 0）， C（ 0， 1， 0）， P（ 0， 0， 1）， =（ 1， 1， 1）， =（ 1， 0， 1）， =（ 0， 1， 1）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， 2， 1）， 设平面 法向量 =（ a， b， c）， 第 15 页（共 21 页） 则 ，取 a=1，得 =（ 1， 1， 1）， = = = 二面角 A C 的余弦值为 20如图，已知曲线 + =1（ a b 0， y 0）的离心率 e= ，且经过点 G（ 1， ），曲线 y，过曲线 一点 P 作 两条切线，切点分别为 A， B （ ）求曲线 方程； （ ）求 积的最大值与最小值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，求解方程组得到 a， b 的值，则椭圆方程可求； （ ）设 在直线方程为 y=kx+t，联立直线方程和抛物线方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 A， B 的横坐标的和与积，再分别写出过 A， B 的抛物线的切线方程，运用导数求得切线的斜率，得到切线方程，联立两切线方程求出 P 的坐标，代入椭圆方程得到 k， t 的关系，再由弦长公式求出 |由点到直线的距离公式求出 P 到距离，代入面积公式，利用配方法求得 S 最值 【解答】 解：（ ）由题意可得， e= = ， b2= 将点 G（ 1， ）代入椭圆方程，可得 第 16 页（共 21 页） + =1， 解得 ， ， 则曲线 方程为 +（ y 0）； （ ）设直线 y=kx+t， 联立 ，得 22t=0 设 A（ B（ 则 x1+k， 2t， y=x + ，由 y= 导数 为 y=x， 可得 k1= 则 y=， 同理 y=， 得 P（ （ x1+ 即为（ k， t）， 即 +，即 （ 0 t 1）， 点 P 到 距离 d= ， | = ， | | ， 则 S d| =（ t） =（ 3 3t） = 3（ t ） 2+ ， 当 t= 时，面积取得最大值 ； 当 t=1 时， 面积取得最小值 2 21已知函数 f（ x） =x， a R （ ）若 f（ 1） =0，求函数 f（ x）的最大值； 第 17 页（共 21 页） （ ）令 g（ x） =f（ x） ，讨论函 数 g（ x）的单调区间； （ ）若 a=4，正实数 足 f（ +f（ +3，证明 x1+ 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）用 f（ 1） =0，确定 a 的值，求导函数，确定函数的单调性，即可求函数 f（ x）的最大值； （ ）利用导数的正负，分类讨论，即可讨论函数 g（ x）的单调区间； （ ）将代数式 f（ +f（ +3缩，构造关于 x1+一元二次不等式，解不等式即可 【解答】 解：（ ） f（ x） =x， f（ 1） =0， a= 2，且 x 0 f（ x） =x2+x， f（ x） = ， 当 f（ x） 0，即 x 1 时，函数 f（ x）的单调递减，当 f（ x） 0，即 0 x 1 时，函数 f（ x）的单调递增， x=1 时，函数 f（ x）取得极大值，也是最大值 0； （ ） g（ x） =f（ x） = 1 a） x+1， 所以 g（ x） = 1 a） = ， 当 a 0 时，因为 x 0，所以 g（ x） 0 所以 g（ x）在（ 0， +）上是递增函数， 当 a 0 时， g（ x） =0，得 x= ， 所以当 x （ 0， ）时， g（ x） 0；当 x （ ， +）时， g（ x） 0， 因此函数 g（ x）在 x （ 0， ）是增函数，在（ ， +）是减函数 综上，当 a 0 时，函数 g（ x）的递增区间是（ 0， +），无递减区间； 当 a 0 时，函数 g（ x）的递增区间是（ 0， ），递减区间是（ ， +） 证明：（ ） a=4， f（ x） =x2+x， f（ +f（ +3x1+2（ x1+2+x1+x2+ g（ x） =x，则 g（ x） = 1， 0 x 1 时， g（ x） 0， g（ x）单调递增， x 1 时， g（ x） 0， g（ x）单调递减， g（ x） g（ 1） = 1， 第 18 页（共 21 页） f（ +f（ +32（ x1+2+（ x1+ 1， 即 2（ x1+2+（ x1+ 1 0， 又 正实数， x1+ 选修 4何证明选讲 22如图，已知圆上的 = ，过 C 点的圆的切线与 延长线交于 E 点，设 M 是 的中点， （ ）证明： （ ）若 ， ，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段；圆周角定理 【分析】 （ I）由同圆中等圆弧的性质可得 弦切角定理可得 可得出证明 （ 用弦切角定理可得 相似三角形的判定定理可得 相似三角形的性质可得 ，即可求出 【解答】 （ ）证明： = ， 又 圆的切线， M