2016年四川省凉山州高考数学三诊试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年四川省凉山州高考数学三诊试卷（理科） 一、选择题：每小题 5 分，共 50 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|x 2 0， B=x|1 x） 0，则 AB=（ ） A（ 1， 2） B 1， 1） C 1， 0） D（ 1， 0） 2 i 为虚数单位， z= ，则 | |=（ ） A B 5 C 1 D 2 3已知 p： “直线 l 的倾斜角 = ”； q： “直线 l 的斜率 k=1”，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为 26，则判断框内的条件应为（ ） A k 5？ B k 4？ C k 3？ D k 4？ 5下列说法中，不正确的是（ ） A已知 a， b， m R，命题 “若 a b”为真命题 B命题 “ R， 0”的否定是： “ x R， x 0” C命题 “p 或 q”为真命题，则命题 p 和 q 命题均为真命题 D “x 3”是 “x 2”的充分不必要条件 6庄子 天下篇中记述了一个著名命题： “一尺之锤，日取其半，万世不竭 ”反映这个命题本质的式子是（ ） A 1+ + + =2 B 1+ + + + 2 C + + =1 D + + 1 第 2 页（共 23 页） 7某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ）A B C D 8如图， 圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 C、 B 在圆 O 上，且点 C 位于第一象限，点B 的坐标为（ ， ）， ，若 |1，则 的值为（ ） A B C D 9已知 椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点且 ，则椭圆和双曲线的离心 率的倒数之和的最大值为（ ） A B C 3 D 2 10已知函数 f（ x） =（ x2+ax+b） b 1 时，函数 f（ x）在（ ， 2），（ 1， +）上均为增函数，则 的取值范围是（ ） A（ 2， B ， 2） C（ ， D ， 2 二、填空题 :共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11若 x=3 ， y= x， y 的大小关系是 _ 12已知 P（ x， y）为区域 内的任意一点，则 z=2x y 的取值范围是 _ 第 3 页（共 23 页） 13设函数 f（ x） =（ C x+1）（ C x+1） （ C x+1）（ C x+1），则 f（ 0） =_（用数字作答） 14已知向量 =（ m， 4）， =（ m+4， 1），若 | + |=| |，则与 方向相同的单位向量的坐标是 _ 15若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为 ，则称该三角形为 “完美三角形 ”有关 “完美三角形 ”有以下命题： （ 1）存在直角三角形是 “完美三角形； （ 2）不存在面积是整数的 “完美三角 形 ”； （ 3）周长为 12 的 “完美三角 ”中面积最大为 4 ； （ 4）若两个 “完美三角形 ”有两边对应相等，且面积相等，则这两个 “完美三角形 “全等 以上真命题有 _（写出所有真命题的序号） 三、解答题 . 16设等差数列 前 n 项和为 2= （ ）求数列 通项公式； （ ）设数列 ，求 前 n 项和 17一个盒子里装有大小均匀 的 6 个小球，其中有红色球 4 个，编号分别为 1， 2， 3， 4，白色球 2 个，编号分别为 4， 5，从盒子中任取 3 个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同） （ 1）求取出的 3 个小球中，含有编号为 4 的小球的概率； （ 2）在取出的 3 个小球中，小球编号的最大值设为 X，求随机变量 X 的分布列 18如图，已知多面体 ， 菱形， 0， 平面 E=1， （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 F D 的余弦值 19在 ，设内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， C） +C ）= （ 1）求角 C； （ 2）若 c=2 ，点 O 满足 | |=| |=| |，求 （ + ）的取值范围 第 4 页（共 23 页） 20已知椭圆 =1（ a 0， b 0）的离心率为 ，过焦点 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 中点为 （ ）求椭圆方程； （ ）过点 A 与椭圆只有一个公共点的直线为 点 F 与 直的直线为 证 交点在定直线上 21对于函数 y=f（ x）的定义域为 D，如果存在区间 m， n D，同时满足下列条件： f（ x）在 m， n上是单调函数； 当 f（ x）的定义域为 m， n时，值域也是 m， n，则称区间 m， n是函数 f（ x）的 “Z 区间 ”对于函数 f（ x） = （ a 0） （ ） 若 a=1，求函数 f（ x）在（ e， 1 e）处的切线方 程； （ ） 若函数 f（ x）存在 “Z 区间 ”，求 a 的取值范围 第 5 页（共 23 页） 2016 年四川省凉山州高考数学三诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：每小题 5 分，共 50 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|x 2 0， B=x|1 x） 0，则 AB=（ ） A（ 1， 2） B 1， 1） C 1， 0） D（ 1， 0） 【考点】 交集及其运算 【分析】 分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等 式变形得：（ x 2）（ x+1） 0， 解得： 1 x 2，即 A= 1， 2， 由 B 中不等式变形得： 1 x） 0= 1 x 1， 解得： x 0，即 B=（ ， 0）， 则 AB= 1， 0）， 故选： C 2 i 为虚数单位， z= ，则 | |=（ ） A B 5 C 1 D 2 【考点】 复数求模 【分析】 根据复数模长的定义与代 数运算性质，求值即可 【解答】 解： i 为虚数单位， z= ， | |=|z|=| |= = = 故选： A 3已知 p： “直线 l 的倾斜角 = ”； q： “直线 l 的斜率 k=1”，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 直线 l 的倾斜角 = ”k=1，即可判断出结论 【解答】 解： p： “直线 l 的倾斜角 = ”k=1； q： “直线 l 的斜率 k=1”， 则 p 是 q 的充要条件 故选： C 4某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为 26，则判断框内的条件应为（ ） 第 6 页（共 23 页） A k 5？ B k 4？ C k 3？ D k 4？ 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算 S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案 【解答】 解：程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示： S 条件？ K 循环前 0/1 第 1 圈 1 否 2 第 2 圈 4 否 3 第 3 圈 11 否 4 第 4 圈 26 是 可得，当 k=4 时， S=26此时应该结束循环体并输出 S 的值为 26 所以判断框应该填入的条件为： k 3？ 故选： C 5下列说法中，不正确的是（ ） A已知 a， b， m R，命题 “若 a b”为真命题 B命题 “ R， 0”的否定是： “ x R， x 0” C 命题 “p 或 q”为真命题，则命题 p 和 q 命题均为真命题 D “x 3”是 “x 2”的充分不必要条件 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 A利用不等式的基本性质即可判断出正误； B利用命题的否定定义即可判断出正误； C利用复合命题的真假判定方法即可判断出正误； D “x 3”“x 2”，反之不成立，即可判断出正误 【解答】 解： A若 用不等式的性质可得： a b，因此为真命题； B命题 “ R， 0”的否定是： “ x R， x 0”，正确； C “p 或 q”为真命题 ，则命题 p 和 q 命题至少有一个为真命题，因此不正确； D “x 3”“x 2”，反之不成立，因此 “x 3”是 “x 2”的充分不必要条件，正确 故选： C 6庄子 天下篇中记述了一个著名命题： “一尺之锤，日取其半，万世不竭 ”反映这个命题本质的式子是（ ） 第 7 页（共 23 页） A 1+ + + =2 B 1+ + + + 2 C + + =1 D + + 1 【考点】 数列递推式 【分析】 根据已知可得每次截取的长度构造一个以 为首项，以 为公比的等比数列，但累加和小于 1，进而得到答案 【解答】 解：根据已知可得每次截取的长度构造一个以 为首项，以 为公比的等比数列， + + =1 1， 故反映这个命题本质的式子是 + + 1， 故选： D 7某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的 表面积为（ ）A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积 【解答】 解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为 该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和 又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为 1 2=，底面积为 ， 观察三视图可知，轴截面为边长为 2 的正三角形，所以轴截面面积为 2 2 = ， 则该几何体的表面积为 + 故选： A 8如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 C、 B 在圆 O 上，且点 C 位于第一象限，点B 的坐标为（ ， ）， ，若 |1，则 的值为（ ） 第 8 页（共 23 页） A B C D 【考点】 任意角的三角函数的定义 【分析 】 由条件利用任意角的三角函数的定义求得 ）、 ）的值，可得 而求得所给式子的值 【解答】 解： |1，点 B 的坐标为（ ， ），故 |1， 等边三角形， ， 又 ， ， ） = ， ） = ， ） = （ ） = ） + ） = + = ， （ ） = ） ） = = = （ 2 1） = ， 故选： A 9已知 椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点且 ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A B C 3 D 2 【考点】 椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论 【解答】 解：设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a 半焦距为 c， 第 9 页（共 23 页） 由椭圆和双曲线的定义可知， 设 |2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为 ， 由余弦定理可得 4 2+（ 2 2 在椭圆中， 化简为即 43 即 ， 在双曲线中， 化简为即 4 即 ， 联立 得， =4， 由柯西不等式得（ 1+ ）（ ） （ 1 + ） 2， 即（ ） = 即 ， d 当且仅当 时取等号， 法 2：设椭圆的长半轴为 曲线的实半轴为 半焦距为 c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设 |2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为 ， 由余弦定理可得 4 2+（ 2 2（ 2+（ 2 由 ，得 ， = ， 令 m= = = ， 当 时， m ， 第 10 页（共 23 页） ， 即 的最大值为 ， 法 3：设 m， |n，则 ， 则 a1+a2=m， 则 = ， 由正弦定理得 = ， 即 = = 故选： A 10已知函数 f（ x） =（ x2+ax+b） b 1 时，函数 f（ x）在（ ， 2），（ 1， +）上均为增函数，则 的取值范围是（ ） A（ 2， B ， 2） C（ ， D ， 2 【考点】 利用导数研究函数的单调性；简单线性规划 【分析】 根据：求导公式求出函数的导数，在根据二次函数图象求出 a， b 的取值范围，绘制出 a， b 的取值范围，根据线性规划求出其取值范围 【解答】 解：由 f（ x） = a+2） x+a+b数 f（ x）在（ ， 2），（ 1， +）增函数， a+2） x+a+b 0 恒成 立， ， ， b=（ z 1） a 2z， 设 y=（ z 1） x 2z， ， 由图象可知在点 B（ 1， 1）取最大值为 z= ，在点 A（ 1， 1）取最小值 z= 2 的取值范围为（ 2， ， 故答案选： A 第 11 页（共 23 页） 二、填空题 :共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11若 x=3 ， y= x， y 的大小关系是 x y 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用对数的运算性质分别比较两数与 1 的大小得答案 【解答】 解： ， x=3 30=1， 又 y=， x y 故答案为： x y 12已知 P（ x， y）为区域 内的任意一点，则 z=2x y 的取值范围是 0， 6 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出 z 的范围即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： 第 12 页（共 23 页） ， 由 ，得 A（ 2， 2）， 由 z=2x y 得： y=2x z， 显然直线过（ 0， 0）时， z 最小，最小值是 0， 直线过（ 2， 2）时， z 最大，最大值是 6， 故 z 0， 6， 故答案为： 0， 6 13设函数 f（ x） =（ C x+1）（ C x+1） （ C x+1）（ C x+1），则 f（ 0） = 1012 （用数字作答） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 将 f（ x）两边取自然对数，根据对数的运算性质，将其化简为 x） =） +C x+1） +C x+1） +C x+1），两边对 x 求导， 化简整理求得 f（ x）的解析式，将 x=0，代入求得 f（ 0） =（ C +C +C +C ），根据二项式定理求得 f（ 0）的值 【解答】 解：两边取自然对数得： x） =C x+1） +C x+1） +C x+1）+C x+1）， 两边对 x 取导数得 = + + + ， 故 f（ x） =（ + + + ） f（ x） f（ 0） =（ C +C +C +C ） f（ 0）， f（ 0） =（ C +C +C +C ）， f（ 0） =1， 第 13 页（共 23 页） 故 f（ 0） =C +C +C +C =210 =1012 故答案为： 1012 14已知向量 =（ m， 4）， =（ m+4， 1），若 | + |=| |，则与 方向相同的单位向量的坐标是 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由已知向量的坐标求出 + 与 的坐标，代入 | + |=| |求得 m 值，进一步得到 的坐标，则与 方向相同的单位向量的坐标可求 【解答】 解： =（ m， 4） ， =（ m+4， 1）， ， 由 | + |=| |，得（ 2m+4） 2+52=25，即 m= 2 = ， 与 方向相同的单位向量的坐标是 故答案为： 15若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为 ，则称该三角形为 “完美三角形 ”有关 “完美三角形 ”有以下命题： （ 1）存在直角三角形是 “完美三角形； （ 2）不存在面积是整数的 “完美三角形 ”； （ 3）周长为 12 的 “完美三角 ”中面积最大为 4 ； （ 4）若两个 “完美三角形 ”有两边对应相等，且面积相等，则这两个 “完美三角形 “全等 以上真命题有 （ 3）（ 4） （写出所有真命题的序号） 【考点】 命题的真假判断与应用；进行简单的合情推理 【分析】 （ 1）在 ， C=90， A=60，可得三边之比为： 1： ： 2，即可判断出真假 （ 2）由 S= 面积是整数，则存在正整数 x，使得 x，此式不成立，即可判断出真假 （ 3）设 C= ，可得 a+b+c=12， c2=a2+2化为 16 +48 0，解出即可判断出真假 （ 4）设 C= =边分类讨论： 若夹角 的两条边分别相等，可得此两个三角形全等； 若夹角 其中一条边相等，由于面积相等，夹角 另一条边必然相等，此两个三角形全等 第 14 页（共 23 页） 【解答】 解：（ 1）若 ， C=90， A=60，则三边之比为： 1： ： 2，因此不存在直角三角形是 “完美三角形，因此（ 1）是假命题； （ 2）由 S= 面积是整数，则存在正整数 x，使得 x，由于 a， 式不成立，因此不存在面积都是整数的 “完美 三角形 ”，（ 2）是假命题； （ 3）设 C= ，则 a+b+c=12， c2=a2+2可得（ 12 a b） 2=a2+ 化为 16 +48 0，解得 0 4，即 16，当且仅当 a=b=4 时取等号， 可得周长为 12 的 “完 美三角 ”中面积最大为 =4 ，是真命题； （ 4）设 C= =若夹角 的两条边分别相等，满足条件，则此两个三角形全等； 若夹角 其中一条边相等，由于面积相等，夹角 另一条边必然相等， 可得：此两个三角形全等因此是真命题 以上真命题有（ 3）（ 4） 故答案为：（ 3）（ 4） 三、解答题 . 16设等差数列 前 n 项和为 2= （ ）求数列 通项公式； （ ）设数列 ，求 前 n 项和 【考点】 数列的求和 【分析】 （ 1）通过联立 2=求出首项和公差，进而利用等差数列的通项公式计算即得结论； （ 2）通过（ 1）裂项，进而并项相加即得结论 【 解答】 解：（ 1） 2= 4d=4（ 2a1+d）， 2=a1+d， 解得： ， d=2， n 1； （ 2）由（ 1）可知 ， 并项相加，得 17一个盒子里装有大小均匀的 6 个小球，其中有红色球 4 个，编号分别为 1， 2， 3， 4，白色球 2 个，编号分别为 4， 5，从盒子中任取 3 个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同） （ 1）求取出的 3 个小球中，含 有编号为 4 的小球的概率； （ 2）在取出的 3 个小球中，小球编号的最大值设为 X，求随机变量 X 的分布列 【考点】 离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 第 15 页（共 23 页） 【分析】 （ 1）从盒子中任取 3 个小球，先求出基本事件总数，再求出取出的 3 个小球中，含有编号为 4 的小球的基本事件个数，由此能求出取出的 3 个小球中，含有编号为 4 的小球的概率 （ 2）由题意得 X 的可能取值为 3， 4， 5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分布列 【解答】 解：（ 1） 一个盒子里装有大小均匀的 6 个小球，其中有红色球 4 个，编号 分别为1， 2， 3， 4， 白色球 2 个，编号分别为 4， 5，从盒子中任取 3 个小球， 基本事件总数 n= =20， 取出的 3 个小球中，含有编号为 4 的小球的基本事件个数 m= =16， 取出的 3 个小球中，含有编号为 4 的小球的概率 p= = = （ 2）由 题意得 X 的可能取值为 3， 4， 5， P（ X=3） = = ， P（ X=4） = + = ， P（ X=5） = = ， 随机变量 X 的分布列为： X 3 4 5 P 18如图，已知多面体 ， 菱形， 0， 平面 E=1， （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 F D 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与 平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由 得四点 面如图所示，连接 交于点 O，利用菱形对角线的性质及其线面垂直的判定及其性质可得： 平面 得 平面 得 平面 可证明 第 16 页（共 23 页） （ 2）取 中点 M，推导出 立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 F D 的余弦值 【解答】 证明：（ 1） 四点 面 如图所示，连接 交于点 O， 四边形 菱形， 对角线 平面 C=A， 平面 又 D=B， 平面 面 平面 平面 解：（ 2）取 中点 M， 0， C， 等边三角形， 立空间直角坐标系， B（ ， ），设 F（ ， ， z）， D（ 0， 1， 0）， E（ 0， 0， 1）， A（ 0， 0， 0）， =（ ， ， z）， =（ ， ， 1）， = =0，解得 z= ， F（ ， ， ）， =（ 0， 1， ） ， =（ ， ， 0）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，取 x= ，得 =（ ， 1， 1）， 设平面 法向量为 =（ a， b， c）， 则 ，取 b=1，得 =（ ， 1， 2）， 设二面角 F D 的平面角为 ， = = 二面角 F D 的余弦值为 第 17 页（共 23 页） 19在 ，设内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， C） +C ）= （ 1）求角 C； （ 2）若 c=2 ，点 O 满足 | |=| |=| |，求 （ + ）的取值范围 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 （ 1）由已知展开两角差的正弦和余弦，结合角范围即可 求得 C； （ 2）由 | |=| |=| |，可知 O 为 外心，把 （ + ）转化为 ，再由三角形中的余弦定理结合基本不等式求得 （ + ）的取值范围 【解答】 解：（ 1）在 ，由 C） +C ） = ， 得 ， 即 ， ， 0 C ， C= ； （ 2） ， 由 | |=| |=| |，可知 O 为 外心， 求 （ + ） = = 由 ， 可得 ， 第 18 页（共 23 页） （ + ） = （ + ）的取值范围是（ 0， 12 20已知椭圆 =1（ a 0， b 0）的离心率为 ，过焦点 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 中点为 （ ）求椭圆方程； （ ）过点 A 与椭圆只有一个公共点的直线为 点 F 与 直的直线为 证 交点在定直线上 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ ）由题意得，焦点为椭圆的左焦点，即 F（ c， 0），设弦与椭圆的交点为 A（ x1， B（ 分别代入椭圆方程相减可得： 由点 M 平分弦 经过焦点，利用中点坐标公式、斜率计算公式可 得： ，又 ， a2b2=出即可得出 （ ）设点 N 坐标为（ 由对称性，不妨设 0，由 得椭圆上半部分的方程为 ，利用导数的几何意义与斜率计算公式可得： N 点处的切线方程为，过 F 且垂直于 直线方程为 ，结合，即可得出 【解答】 （ ）解：由题意得，焦点为椭圆的左焦点，即 F（ c， 0）， 设弦与椭圆的交点为 A（ B（ 代入椭圆方程得 式 式，得 点 M 平分弦 经过焦点， 第 19 页（共 23 页） ， ， ， 代入 式得， ，即 ， 又 ， b2= ， ， 即 c=1， ， 椭圆方程为 （ ）证明：设点 N 坐标为（ 由对称性，不妨设 0， 由 得椭圆上半部分的方程为 ， ， N 点处的切线方程为 过 F 且垂直于 直线方程为 由 两式，消去 y 得 其中 ，代入 式，可得 x= 2 点 P 在定直线 x= 2 上 21对于函数 y=f（ x）的定义域为 D，如果存在区间 m， n D，同时满足下列条件： f（ x）在 m， n上是单调函数； 当 f（ x）的定义域为 m， n时，值域也是 m， n，则称区间 m， n是函