2016年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|y= ， B=x|x| 2，则 A B=（ ） A 2， 2 B 2， 4 C 0， 2 D 0， 4 2函数 f（ x） =2x+x 2 的零点所在区间是（ ） A（ ， 1） B（ l， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 2） 3复数 z= （其中 i 为虚数单位）的虚部是（ ） A 1 B i C 2i D 2 4已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（ ） A B C D 5将函数 f（ x） =x+ ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 g（ x）的图象，则函数 g（ x）的一个减区间是（ ） A ， B ， C ， D ， 6某校高三（ 1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间 100， 128内，将该班所有同学的考试分数分为七组： 100， 104）， 104， 108）， 108， 112）， 112， 116）， 116，120）， 120， 124）， 124， 128，绘制出频率分布直 方图如图所示，已知分数低于 112 分的有 18 人，则分数不低于 120 分的人数为（ ） A 10 B 12 C 20 D 40 第 2 页（共 21 页） 7某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢 4 个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光， 4 个红包中有两个 2 元，两个 3 元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（ ） A 35 种 B 24 种 C 18 种 D 9 种 8在三棱锥 P ，已知 底面 E， F 分别是线段 的动 点则下列说法错误的是（ ） A当 ， 为直角三角形 B当 ， 为直角三角形 C当 平面 ， 为直角三角形 D当 平面 ， 为直角三角形 9已知函数 f（ x） = ，则不等式 f（ f（ x） 4f（ x） +1 的解集是（ ） A（ 3， 0） B（ ， 1） C（ 0， 2） D（ ， 10已知抛物线 y=焦点为 F，经过 y 轴正半轴上一点 N 作直线 l 与抛物线交于 A， =2（ O 为坐标原点），点 F 关于直线 对称点为 C，则四边形 ） A 3 B C 2 D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知双曲线 =1 的右焦点为（ 3， 0），则该双曲线的离心率等于 _ 12 的展开式中， 的系数为 _（用数字作答） 13已知实数 x， y 满足 ，则 x2+2x 的取值范围是 _ 14执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为 _ 第 3 页（共 21 页） 15已知函数 f（ x） =x+出以下四个命题： x 0，不等式 f（ x） 2x 恒成立； k R，使方程 f（ x） =k 有四个不相等的实数根； 函数 f（ x）的图象存在无数个对称中心； 若数列 等差数列，且 f（ +f（ +f（ =3，则 其中的正确命题有 _（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c已知 a= ，且 b2+ （ I）求角 A 的大小； （ ）求 最大值 17已知数列 足 ，（ n+1） n 1） 1，（ n 2， n N*） （ I）求数列 通项公式 （ ）设数列 前 n 项和为 明： 2 18某商场举行购物抽奖活动，抽 奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的 20 个小球，这20 个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为 l 的奇数，则为一等奖，奖金 100 元；若抽取的小球编号是十位数字为2 的奇数，则为二等奖，奖金 50 元；若抽取的小球是其余编号则不中奖现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立 （ I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率； （ ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 19如 图在三棱柱 ，已知侧棱与底面垂直， 0，且 ， ，E 为 中点， M 为 一点， = （ I）证明： 平面 （ ）若二面角 M 的余弦值为 ，求 长度 第 4 页（共 21 页） 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的左右焦点分别为 物线 x 与椭圆C 有相同的焦点，点 P 为抛物线与椭圆 C 在第一象限的交点，且 | （ I）求椭圆 C 的方程； （ ）与抛物线相切于第一象限的直线 l，与椭圆交于 A， B 两点，与 x 轴交于 M 点，线段垂直平分线与 y 轴交于 N 点，求直线 率的最小值 21设函数 f（ x） = （ I）求函数 g（ x） =x 1 f（ x）的极小值； （ ）若关于 x 的不等式 x） 在 1， +）上恒成立，求实数 m 的取值范围； （ ）已知 a （ 0， ），试比较 f（ 大小，并说明理由 第 5 页（共 21 页） 2016 年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1已知集合 A=x|y= ， B=x|x| 2，则 A B=（ ） A 2， 2 B 2， 4 C 0， 2 D 0， 4 【考点】 并集及其运算 【分析】 求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解： A=x|y= =x|4x 0=x|0 x 4， B=x|x| 2=x| 2 x 2， 则 A B=x| 2 x 4， 故 选： B 2函数 f（ x） =2x+x 2 的零点所在区间是（ ） A（ ， 1） B（ l， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 2） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 据函数零点的判定定理，判断 f（ 1）， f（ 0）， f（ 1）， f（ 2）的符号，即可求得结论 【解答】 解： f（ 1） =2 1+1 2= 0， f（ 0） = 1 0， f（ 1） =1 0， f（ 2） =4 0， 故有 f（ 0） f（ 1） 0，由零点的存在性定理可知： 函数 f（ x） =2x+x 2 的零点所在的区间是（ 0， 1） 故选： C 3复数 z= （其中 i 为虚数单位）的虚部是（ ） A 1 B i C 2i D 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的化数形式的乘除运算法则求解 【解答】 解： z= = = = =1+2i， 复数 z= （其中 i 为虚数单位）的虚部是 2 故选： D 4已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（ ） 第 6 页（共 21 页） A B C D 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 几何体为椎体与柱体的组合体，分四种情况进行判断 【解答】 解：由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体， （ 1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为 A， （ 2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为 B， （ 3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为 C， （ 4）若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为 故选： D 5将函数 f（ x） =x+ ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 g（ x）的图象，则函数 g（ x）的一个减区间是（ ） A ， B ， C ， D ， 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 根据三角函数的图象变换关系求出 g（ x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可 【解答】 解：将函数 f（ x） =x+ ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵 坐标不变， 则 y=2x+ ）， 即 g（ x） =2x+ ）， 由 22x+ 2， k Z， 第 7 页（共 21 页） 得 x ， k Z， 即函数的单调递减区间为 ， ， k Z， 当 k=0 时，单调递减区间为 ， ， 故选： D 6某校高三（ 1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间 100， 128内，将该班所有同学的考试分数分为七组： 100， 104）， 104， 108）， 108， 112）， 112， 116）， 116，120）， 120， 124）， 124， 128，绘制出频率分 布直方图如图所示，已知分数低于 112 分的有 18 人，则分数不低于 120 分的人数为（ ） A 10 B 12 C 20 D 40 【考点】 频率分布直方图 【分析】 由频率分布直方图求出得分数低于 112 分的频率，从而求出高三（ 1）班总人数，再求出分数不低于 120 分的频率，由此能求出分数不低于 120 分的人数 【解答】 解：由频率分布直方图得分数低于 112 分的频率为： （ 4= 分数低于 112 分的有 18 人， 高三（ 1）班总人数为： n= =50， 分数不低于 120 分的频率为：（ 4= 分数不低于 120 分的人数为： 50 0 人 故选： A 7某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢 4 个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光， 4 个红包中有两个 2 元，两个 3 元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（ ） A 35 种 B 24 种 C 18 种 D 9 种 【考点】 计数原理的应用 【分析】 根据红包的性质进 行分类，若甲乙抢的是一个 2 和一个 3 元的，若两个和 2 元或两个 3 元，根据分类计数原理可得 【解答】 解：若甲乙抢的是一个 2 和一个 3 元的，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢走，有 2 种， 若甲乙抢的是两个和 2 元或两个 3 元的，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢走，有 种， 第 8 页（共 21 页） 根据分类计数原理可得，共有 12+6=18 种， 故选： C 8在三棱锥 P ，已知 底面 E， F 分别是线段 的动点则下列说法错误的是（ ） A当 ， 为直角三角形 B当 ， 为直角三角形 C当 平面 ， 为直角三角形 D当 平面 ， 为直角三角形 【考点】 棱锥的结构特征 【分析】 A当 ，又 底面 得 用线面垂直的判定与性质定理可得 可判断出正误 B当 ，无法得出 为直角三角形，即可判断出正误； C当 平面 ，可得 用线 面垂直的判定与性质定理可得： F 可判断出正误； D当 平面 ，可得 C 可知： 用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误 【解答】 解： A当 ，又 底面 得： 面 为直角三角形，正确 B当 ，无法得出 为直角三角形，因此不正确； C当 平面 ，平面 C，可得 底面 C， 平面 此 为直角三角形，正确； D当 平面 ，可得 C 可知： 平面 此 为直角三角形，正确 故选： B 9已知函数 f（ x） = ，则不等式 f（ f（ x） 4f（ x） +1 的解集是（ ） A（ 3， 0） B（ ， 1） C（ 0， 2） D（ ， 【考点】 分段函数的应用 【分析】 根据分段函数的表达式，讨论 f（ x）的符号，将不等式进行转化求解即可 【解答】 解：由 3x+1=0 得 x= ， 当 x 时， 3x+1 0，则由 f（ f（ x） 4f（ x） +1 得 f（ 3x+1） 4（ 3x+1） +1， 即 3（ 3x+1） +1 12x+4+1， 第 9 页（共 21 页） 即 9x+4 12x+5， 得 x ，此时不等式无解， 当 x 时， 当 x 0 时， f（ x） =3x 1， 则由 f（ f（ x） 4f（ x） +1 得 43x+1， 设 t=3x， 则不等式等价为 3t 4t+1， 设 g（ t） =3t 4t 1，则 g（ 0） =0， g（ 2） =9 8 1=0， 即 g（ t） 0 的解为 0 t 2，即 0 3x 2， 得 0 x 当 x 0 时， f（ x） =3x+1 0， 则 f（ f（ x） =33x+1， 则由 f（ f（ x） 4f（ x） +1 得 33x+1 4（ 3x+1） +1， 设 t=3x+1，则不等式等价为 3t 4t+1， 设 g（ t） =3t 4t 1，则 g（ 0） =0， g（ 2） =9 8 1=0， 即 g（ t） 0 的解为 0 t 2，即 0 3x+1 2， 即 1 3x 1，得 x ， 此时 x 0， 综上所述， x 即不等式的解集为（ ， 故选： D 10已知抛物线 y=焦点为 F，经过 y 轴正半轴上一点 N 作直线 l 与抛物线交于 A， =2（ O 为坐标原点），点 F 关于直线 对称点为 C， 则四边形 ） 第 10 页（共 21 页） A 3 B C 2 D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 先设直线 程为 y=kx+b（ b 0），联立 y=解利用 =2，求出 b，可得直线 程为 y=，设 别为 F 到 O 到 距离，利用四边形 =S （ OAB可得 S 关于 k 的函数，利用导数知识即可求解 【解答】 解：不妨设位于第一象限的交点为 A（ 第二象限的交点为 B（ 则 0， 0 直线方程为 y= x=F 点的坐标为（ 0， ） 设直线 程为 y=kx+b（ b 0），联立 y=解，有 b=0 x1+x2=k， b， =2， b+ b 0， b=2 =， （ k+ ） ；线段 设 别为 F 到 O 到 距离 C 是 F 关于 对称点， C 到 距离 = 四边形 面积 S=S （ OAB 根据点到直线距离公式， ， 又线段 ， 将 代入 S，有 S= （ k+17 ） 由 S 对 k 求导，令导函数 =0，可得 1+ =0，解得 k= 时， S 最小，其值为 3 故选： A 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知双曲线 =1 的右焦点为（ 3， 0），则 该双曲线的离心率等于 【考点】 双曲线的简单性质 第 11 页（共 21 页） 【分析】 利用双曲线 =1 的右焦点为（ 3， 0），求出 |a|，再利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率 【解答】 解： 双曲线 =1 的右焦点为（ 3， 0）， =9， |a|=2， c=3， 双曲线的离心率等于 故答案为： 12 的展开式中， 的系数为 20 （用数字作答） 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 2，求得 r 的值，即可求得展开式中的 的系数 【解答】 解：在 的展开式中，它的通 项公式为 = r（ 1） r， 令 5 r=2，求得 r=3，可得 的系数为 = 20， 故答案为： 20 13已知实数 x， y 满足 ，则 x2+2x 的取值范围是 1， 19 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，而（ x 1） 2+几何意义表示平面区域内的点与（ 1， 0）的点距离 的平方，求出（ x 1） 2+范围，从而求出 x2+2x 的范围即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由 ，解得 A（ 3， 4）， x2+2x=（ x 1） 2+1， 而（ x 1） 2+几何意义表示平面区域内的点与（ 1， 0）的点距离的平方， 0 （ x 1） 2+20， 1 （ x 1） 2+19， 第 12 页（共 21 页） 故答案为： 1， 19 14 执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：模拟执行程序，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S= 值 由于： S= = = = 第 13 页（共 21 页） 故答案 为： 15已知函数 f（ x） =x+出以下四个命题： x 0，不等式 f（ x） 2x 恒成立； k R，使方程 f（ x） =k 有四个不相等的实数根； 函数 f（ x）的图象存在无数个对称中心； 若数列 等差数列，且 f（ +f（ +f（ =3，则 其中的正确命题有 （写出所有正确命题的序号） 【考点】 函数的图象 【分析】 用特殊值的方法即可； 根据函数图象判断； 可用反代的方法判断成立 【解答】 解： 当 x= 时，显然 f（ x） 2x，故错误； 根据函的图象易知，方程 f（ x） =k 最多有三个不相等的实数根，故错误； 根据函数的图象易知函数 f（ x）的图象存在无数个对称中心，故正确； f（ +f（ +f（ =3， al+a2+， ，解得 ，故正确 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c已知 a= ，且 b2+ （ I）求角 A 的大小； （ ）求 最大值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ I）由余弦定理可得： = = ，即可得出 （ 正弦定理可得：可得 b= ，可得 + ，根据 B 即可得出 【解答】 解：（ I）由余弦定理可得： = = ， A （ 0， ）， A= （ 正弦定理可得： ，可得 b= ， 2 第 14 页（共 21 页） = + ， B ， 17已知数列 足 ，（ n+1） n 1） 1，（ n 2， n N*） （ I）求数列 通项公式 （ ）设数列 前 n 项和为 明： 2 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ ）依题意，可得 ，再验证 n=1时是否符合该式即可得到答案， （ ）先裂项求和，再放缩法证明即可 【解答】 解：（ ） ，（ n+1） n 1） 1， = ， = ， ， = = ， = = ， ， 又 n=1 时 ，满足上式， 数列 通项公式 ， （ ） =2（ ）， Sn=a1+（ 1 + + ） =2（ 1 ） 2， 问题得以证明 18某商场举行购物抽奖活 动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的 20 个小球，这20 个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小第 15 页（共 21 页） 球编号是十位数字为 l 的奇数，则为一等奖，奖金 100 元；若抽取的小球编号是十位数字为2 的奇数，则为二等奖，奖金 50 元；若抽取的小球是其余编号则不中奖现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立 （ I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率； （ ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 【 考点】 离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）设一次抽奖抽中 i 等奖的概率为 i=1， 2），没有中奖的概率为 此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率 （ ） X 的可能取值为 0， 50， 100， 150， 200，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 【解答】 解：（ ）设一次抽奖抽中 i 等奖的概率为 i=1， 2），没有中奖的概率为 则 2= = ，即中奖的概率为 ， 该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为： P= = （ ） X 的可能取值为 0， 50， 100， 150， 200， P（ X=0） = ， P（ X=50） = = ， P（ X=100） = = ， P（ X=150） = = ， P（ X=200） = = ， X 的分布列为： X 0 50 100 150 200 P =55（元） 19如图在三棱柱 ，已知侧棱与底面垂直， 0，且 ， ，E 为 中点， M 为 一点， = 第 16 页（共 21 页） （ I）证明： 平面 （ ）若二面角 M 的余弦值为 ，求 长度 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分 析】 （ I）建立空间直角坐标系，利用向量关系求出 F 的坐标，根据线面平行的判定定理即可证明证明： 平面 （ ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可 【解答】 （ I）如图，连接 F，连接 E 为 中点， 建立以 A 为坐标原点， 别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： 设 h， 则 A（ 0， 0， 0）， 0， 1， h）， 0， 0， h）， E（ 2， 0， ）， M（ 0， ， 0）， 2， 0， h），设 F（ x， 0， z）， 则 ， ， =（ x， 0， z）， =（ 2， 0， h）， =（ x， 0， z h）， =（ 2， 0， ）， = ， 由 得 z= h， x= ， 或 F 作 则 = = ，则 = 平面平面 面 平面 （ ）设平面 法向量为 =（ x， y， z），平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，则 ，令 z=1，则 x= ， y=0， 则 =（ ， 0， 1）， 第 17 页（共 21 页） 由 得 ，令 z=1，则 x= ， y= ， 即 =（ ， ， 1） |， |= = ， 得 ，即 h= ， 则 长度为 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的左右焦点分别为 物线 x 与椭圆C 有相同的焦点，点 P 为抛物线与椭圆 C 在第一象限的交点，且 | （ I）求椭圆 C 的方程； （ ）与抛物线相切于第一象限的直线 l，与椭圆交于 A， B 两点，与 x 轴交于 M 点，线段垂直平分线与 y 轴交于 N 点，求直线 率的最小值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ I）求得抛物线的焦点，可得 c=1，设 P 为（ ， m），由椭圆的焦半径公式可得，|a+ = ，由椭圆和抛物线的定义可得， 2a= + +1，解方程可得 a=2，由 a， b，c 的关系，可得 b，进而得到椭圆方程； 第 18 页（共 21 页） （ ）设直线 l 的方程为 y=kx+b（ k 0），代入抛物线的方程，由判别式为 0，可得 ，再由椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于 0，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及基本不等式即可得到所求最小值