2016年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年北京市东城区高考数学一模试卷（理科） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知复数 i（ 1+纯虚数，那么实数 a 的值为（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 2集合 A=x|x a， B=x|5x 0，若 AB=B，则 a 的取值范围是（ ） A a 5 B a 4 C a 5 D a 4 3某单位共有职工 150 名，其中高级职称 45 人，中级职称 90 人，初级职称 15 人现采用分层抽样方法从中抽取容量为 30 的样本， 则各职称人数分别为（ ） A 9， 18， 3 B 10， 15， 5 C 10， 17， 3 D 9， 16， 5 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A B 1 C 2 D 4 5在极坐标系中，直线 被曲线 =1 截得的线段长为（ ） A B 1 C D 6一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（ ） 第 2 页（共 19 页） A 2 B C 3 D 7已知三点 P（ 5， 2）、 6， 0）、 6， 0）那么以 焦点且过点 P 的椭圆的短轴长为（ ） A 3 B 6 C 9 D 12 8已知 1， 2为平面上的单位向量， 1与 2的起点均为坐标原点 O， 1与 2夹角为 平面区域 D 由所有满足 = 1+ 2 的点 P 组成，其中 ，那么平面区域 D 的面积为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 6 小题， 每小题 5 分，共 30 分 9在 的展开式中， 系数值为 _（用数字作答） 10已知等比数列 ， ， a32，那么 值为 _ 11如图，圆 O 的半径为 1， A， B， C 是圆周上的三点，过点 A 作圆 O 的切线与 延长线交于点 P，若 C，则 _； _ 12若 ， 且 ，则 值为 _ 13某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表： 货物 体积（升 /件） 重量（公斤 /件） 利润（元 /件） 甲 20 10 8 乙 10 20 10 运输限制 110 100 在最合理的安排下，获得的最大利润的值为 _ 14已知函数 f（ x） =|关于 x 的不等式 f（ x） f（ c（ x 解集为（ 0， +），其中 （ 0， +）， c 为常数当 时， c 的取值范围是 _；当 时， c 的值是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15在 ， ， ，且 （ ）求 长度； 第 3 页（共 19 页） （ ）若 f（ x） =2x+C），求 y=f（ x）与直线 相邻交点间的最小 距离 16已知三棱柱 ， 底面 0， ， ， ，E、 F 分别为棱 中点 （ ）求证 （ ）求直线 成的角； （ ）若 G 为线段 中点， 平面 的射影为 H，求 17现有两个班级，每班各出 4 名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛 ）根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能 比赛项目 男单 女单 混双 平均比赛时间 25 分钟 20 分钟 35 分钟 （ ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率； （ ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行； （ ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可） 18设函数 f（ x） =x 1， a R （ ）当 a=1 时，求 f（ x）的单调区间； （ ）当 x （ 0， +）时， f（ x） 0 恒成立，求 a 的取值范围； （ ）求证：当 x （ 0， +）时， 19已知抛物线 C： p 0），焦点 F， O 为坐标原点，直线 垂直 x 轴）过点F 且与抛物线 C 交于 A， B 两点，直线 斜率之积为 p （ ）求抛物线 C 的方程； （ ）若 M 为线段 中点，射线 抛物线 C 于点 D，求证： 20数列 ，给定正整数 m（ m 1）， 定义：数列 足 i=1， 2， ， m 1），称数列 前 m 项单调不增 （ ）若数列 项公式为： ，求 V（ 5） （ ）若数列 足： ，求证 V（ m） =a b 的充分必要条件是数列 前 m 项单调不增 （ ）给定正整数 m（ m 1），若数列 足： 0，（ n=1， 2， ， m），且数列 前 m 项和 V（ m）的最大值与最小值（写出答案即可） 第 4 页（共 19 页） 2016 年北京市东城区高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知复数 i（ 1+纯虚数，那么实数 a 的值为（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部为 0 求得 a 的值 【解答】 解： i（ 1+= a+i 为纯虚数， a=0，即 a=0 故选： B 2集合 A=x|x a， B=x|5x 0，若 AB=B，则 a 的取值范围是（ ） A a 5 B a 4 C a 5 D a 4 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 由 5x 0，可得 B=（ 0， 5），再利用集合的运算性质即可得出 【解答】 解：由 5x 0，解得 0 x 5， B=（ 0， 5）， AB=B， a 5 则 a 的取值范围是 a 5 故选： A 3某单位共有职工 150 名，其中高级职称 45 人，中级职称 90 人，初级职称 15 人现采用分层抽样 方法从中抽取容量为 30 的样本，则各职称人数分别为（ ） A 9， 18， 3 B 10， 15， 5 C 10， 17， 3 D 9， 16， 5 【考点】 分层抽样方法 【分析】 根据分层抽样的定义建立比例关系，即可求出各职称分别抽取的人数 【解答】 解：用分层抽样方法抽取容量为 30 的样本， 则样本中的高级职称人数为 30 =9， 中级职称人数为 30 =18， 初级职称人数为 30 =3 故选： A 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） 第 5 页（共 19 页） A B 1 C 2 D 4 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：当 k=0 时，满足进行循环的条件，故 S= ， k=1， 当 k=1 时，满足进行循环的条件，故 S= ， k=2， 当 k=2 时，满足进行循环的条件，故 S=1， k=3， 当 k=3 时，满足进行循环的条件，故 S=2， k=4， 当 k=4 时，不满足进行循环的条件， 故输出的 S 值为 2， 故选： C 5在极坐标系中，直线 被曲线 =1 截得的线段长为（ ） A B 1 C D 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 分别得出直角坐标方程，求出圆心（ 0， 0）到直线的距离 d即可得出直线 被曲线 =1 截得的线段长 =2 【解答】 解：直线 化为直角坐标方程： x y+1=0 曲线 =1 即 x2+ 圆心（ 0， 0）到直线的距离 d= 直线 被 曲线 =1 截得的线段长 L=2 =2 = 故选： D 第 6 页（共 19 页） 6一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（ ） A 2 B C 3 D 【考点】 由三视图求面积、体 积 【分析】 由三视图可知：该几何体为四棱锥 P 中底面 直角梯形，侧棱底面 可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为四棱锥 P 中底面 直角梯形，侧棱 底面 最长的棱为 =3 故选： C 7已知三点 P（ 5， 2）、 6， 0）、 6， 0）那么以 焦点且过点 P 的椭圆的短轴长为（ ） A 3 B 6 C 9 D 12 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 设椭圆的标准方程为： + =1（ a b 0），可得： c=6， 2a=|可得 b= 【解答】 解：设椭圆的标准方程为： + =1（ a b 0）， 可得： c=6， 2a=| + =6 ，解得 a=3 第 7 页（共 19 页） b= = =3 椭圆的短轴长为 6 故选： B 8已知 1， 2为平面上的单位向量， 1与 2的起点均为坐标原点 O， 1与 2夹角为 平面区域 D 由所有满足 = 1+ 2 的点 P 组成，其中 ，那么平面区域 D 的面积为（ ） A B C D 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 以 O 为原点，以 方向为 x 轴正方向，建立坐标系 出 、 的坐标，根据 = + 写出 的坐标表示，利用向量相等列出方程组，求出点 P 的坐标满足的约束条件，画出对应的平面区域，计算平面区域的面积即可 【解答】 解：以 O 为原点，以 方向为 x 轴正方向，建立坐标系 则 =（ 1， 0）， =（ =（ ， ）， 又 = + =（ + ， ），其中 0， 0， + 1； 设 =（ x， y）， 则（ x， y） =（ + ， ）， ， 解得 ； 由于 0， 0， + 1， ， 它表示的平面区域如图所示： 第 8 页（共 19 页） 由图知 A（ ， ）， B（ 1， 0）； 所以阴影部分区域 D 的面积为 S= 1 = 故选： D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9在 的展开式中， 系数值为 20 （用数字作答） 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用二项式定理展开式的通项公式即可得出 【解答 】 解： = （ 2x） 5 r =25 3r 2r 令 5 2r=3，解得 r=1 0 故答案为： 20 10已知等比数列 ， ， a32，那么 值为 128 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， ， a32， ， =32， 解得 ， q=2 那么 7=128 故答案为： 128 11如图，圆 O 的半径为 1， A， B， C 是圆周上的三点，过点 A 作圆 O 的切线与 延长线交于点 P，若 C，则 ； 第 9 页（共 19 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 证明 等边三角形，得到 ，利用 ，可求 【解答】 解：由题意， C， P= P+ C， C， 等边三角形， ， 故答案为： ， 12若 ，且 ，则 值为 【考点】 二倍角的正弦 【分析】 利用已知及两角差的正弦函数公式可得 ，两 边平方，利用二倍角公式即可解得 值 【解答】 解： = （ 0， 两边平方可得： 1 ， 故答案为： 13某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表： 货物 体积（升 /件） 重量（公斤 /件） 利润（元 /件） 第 10 页（共 19 页） 甲 20 10 8 乙 10 20 10 运输限制 110 100 在最合理的安排下，获得的最大利润的值为 62 【考点】 简单线性规划 【分析】 运送甲 x 件，乙 y 件，利润为 z，建立约束条件和目标函数，利用线性规划的知识进行求解即可 【解答】 解：设运送甲 x 件，乙 y 件，利润为 z， 则由题意得 ，即 ，且 z=8x+10y， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=8x+10y 得 y= x+ ， 平移直线 y= x+ ，由图象知当直线 y= x+ 经过点 B 时，直线的截距最大，此时z 最大， 由 ，得 ，即 B（ 4， 3）， 此时 z=8 4+10 3=32+30=62， 故答案为： 62 14已知函数 f（ x） =|关于 x 的不等式 f（ x） f（ c（ x 解集为（ 0， +），其中 （ 0， +）， c 为常数当 时， c 的取值范围是 1， 1 ；当 时， 2 【考点】 分段函数的应用；对数函数的图象与性质 【分析】 当 0 x 1 时， f（ x） = f（ x） = （ ， 1），当 x 1 时， f（ x）=f（ x） = （ 0， 1），进而将 和 代入，结果斜率公式分类讨论可得答案 【解答】 解： 函数 f（ x） =| 第 11 页（共 19 页） 当 0 x 1 时， f（ x） = f（ x） = （ ， 1）， 当 x 1 时， f（ x） =f（ x） = （ 0， 1）， 当 时， f（ x） f（ c（ x 化为： f（ x） f（ 1） c（ x 1） 当 0 x 1 时， f（ x） f（ 1） c（ x 1）可化为： c，则 c 1， 当 x 1 时， f（ x） f（ 1） c（ x 1）可化为： c，则 c 1， 故 c 1， 1； 当 时， f（ x） f（ c（ x 化为： f（ x） f（ ） c（ x ） 当 0 x 时， f（ x） f（ ） c（ x ）可化为： c，则 c f（ ） = 2， 当 x 1 时， f（ x） f（ ） c（ x ）可化为： c，则 c f（ ） = 2， 当 x 1 时， f（ x） f（ ） c（ x ）可化为： c，则 c 1， 故 c= 2， 故答案为： 1， 1， 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15在 ， ， ，且 （ ）求 长度； （ ）若 f（ x） =2x+C），求 y=f（ x）与直线 相邻交点间的最小距离 【考点】 两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象 【分析】 （ ）利用诱导公式求得 得 C 的值，咋利用余弦定理求得 长度 （ ）由 f（ x） =2x+C），求得 值，可得 |最小值 【解答】 解：（ ） ， C=45 ， ， =4， 第 12 页（共 19 页） （ ）由 ，解得 或 ， k Z， 解得 ，或 ， Z 因为 ，当 k1=取等号， 所以 当 时，相邻两交点间最小的距离为 16已知三棱柱 ， 底面 0， ， ， ，E、 F 分别为棱 中点 （ ）求证 （ ）求直线 成的角； （ ）若 G 为线段 中点， 平面 的射影为 H，求 【考点】 直线与平面所成的角；棱柱的结构特征 【分析】 （ I）由 可得出 平面 是 （ A 为原点建立坐标系，求出 和 的坐标，计算 即可得出直线 成的角； （ 出 和平面 法向量 ，则 ， | 【解答】 证明：（ ） 底面 面 0， 又 面 面 B=A， 平面 面 （ ）以 A 为原点建立空间直角坐标系 A 图所示： 则 0， 0， 1）， ， ， ， 直线 成的角为 45 第 13 页（共 19 页） （ ） ， ， =（ 0， 0， 1） 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ， 令 ，则 = = 平面 的射影为 H， 平面 成的角， |= 17现有两个班级，每班各出 4 名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能 比赛项目 男单 女单 混双 平均比赛时间 25 分钟 20 分钟 35 分钟 （ ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率； （ ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行； （ ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可） 【考点】 计数原理的应用 【分析】 （ ）求出三场比赛的种数，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有 1 种，根据概率公式计算即可， （ ）令 A 表示女单比赛、 B 表示男单比赛、 C 表示混双比赛，分别求出按不同顺序比赛时，第三场比赛等待的时间，再根据平均数的定义即可求出， （ ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少 【解答】 解：（ I）三场比赛共有 种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有 1 种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为 （ ）令 A 表示女单比赛、 B 表示男单比赛、 C 表示混双比赛 第 14 页（共 19 页） 按 序进行比赛，第三场比赛等待的时间是： 0+25=45（分钟） 按 序进行比赛，第三场比赛等待的时间是： 0+35=55（分钟） 按 序进行比赛，第三场比赛等待的时间是： 0+25=45（分钟） 按 序进行比赛，第三场比赛等待的时间是： 5+25=60（分钟） 按 序进行比赛，第三场比赛等待的时间是： 5+20=55（分钟） 按 序进行比赛，第三场比赛等待的时间是： 5+25=60（分钟） 且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为 ，所以平均等待时间为， （ ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少 18设函数 f（ x） =x 1， a R （ ）当 a=1 时，求 f（ x）的单调区间； （ ）当 x （ 0， +）时， f（ x） 0 恒成立，求 a 的取值范围； （ ）求证：当 x （ 0， +）时， 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ） a=1 时得出 f（ x），进而得到 f（ x） =1，这样便可判断导数符号，根据符号即可得出 f（ x）的单调区间； （ ）可以由 f（ x） 0 恒成立得到 恒成立，这样设 ，求导，根据导数符号便可判断 g（ x）在（ 0， +）上单调递减，这便可得到 g（ x） 1，从而便可得出 a 的取值范围； （ ）容易得到 等价于 1 0，可设 h（ x） =1，求导数，并根据上面的 f（ x） 0 可判断出导数 h（ x） 0，从而得到 h（ x） h（ 0） =0，这样即可得出要证明的结论 【解答】 解：（ ）当 a=1 时，则 f（ x） =x 1， f（ x） =1； 令 f（ x） =0，得 x=0； 当 x 0 时， f（ x） 0， f（ x）在（ ， 0）上单调递减； 当 x 0 时， f（ x） 0， h（ x）在（ 0， +）上单调递增； 即 a=1 时， f（ x）的单调减区间为（ ， 0），单调赠区间为 0， +）； （ ） 0； f（ x） 0 恒成立，等价于 恒成立； 设 ， x （ 0， +）， ； 当 x （ 0， +）时， g（ x） 0； g（ x）在（ 0， +）上单调递减； x （ 0， +）时， g（ x） g（ 0） =1； a 1； 第 15 页（共 19 页） a 的取值范围为 1， +）； （ ）证明：当 x （ 0， +）时， 等价于 1 0； 设 h（ x） =1， x （ 0， +）， ； 由（ ）知， x （ 0， +）时， x 1 0 恒成立； ； h（ x） 0； h（ x）在（ 0， +）上单调递增； x （ 0， +）时， h（ x） h（ 0） =0； 因此当 x （ 0， +）时， 19已知抛物线 C： p 0），焦点 F， O 为坐标原点，直线 垂直 x 轴）过点F 且与抛物线 C 交于 A， B 两点，直线 斜率之积为 p （ ）求抛物线 C 的方程； （ ）若 M 为线段 中点，射线 抛物线 C 于点 D，求证： 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ I）设 A（ B（ 直线 垂直 x 轴）的方程可设为与抛物线方程联立可得： ，由直线 斜率之积为 p，即 可得： 利用根与系数的关系即可得出 （ 用中点坐标公式、斜率计算公式可得：直线 方程为 ，代入抛物线 C： x 的方程，解出即可得出 【解答】 （ I）解： 直线 点 F 且与抛物线 C 交于 A， B 两点， ， 设 A（ B（ 直线 垂直 x 轴）的方程可设为 ， 直线 斜率之积为 p， 第 16 页（共 19 页） ，得 由 ，化为 ， 其中 =（ p） 2 0 x1+， p=4，抛物线 C： x （ ）证明：设 M（ P（ M 为线段 中点， ， 直线 斜率为 直线 方程为 代入抛物线 C： x 的方程， 得 0， 20数列 ，给定正整数 m（ m 1）， 定义：数列