测量误差的基本知识

测量误差的基本知识,测绘工程系,赵军华,测量误差概述测量误差及其来源,测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等。,测量误差的表现形式,测量误差（真误差=观测值-真值）,（观测值与真值之差）,三者共称为观测条件（观测条件好，测量精度就高，反之，精度就低），观测条件一样叫等精度观测。否则。,（观测值与观测值之差）,1.粗差(错误)超限的误差,错误产生的原因：较多a.可能由作业人员疏忽大意、失职而引起。如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；b.可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；c.可能是容许误差取值过小造成的。错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不允许有错误存在。发现错误的方法：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。,测量误差分为：系统误差、偶然误差和粗差。,测量误差的种类,例：误差处理方法钢尺尺长误差ld计算改正钢尺温度误差lt计算改正水准仪视准轴误差I操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴误差C操作时抵消(盘左盘右取平均),2.系统误差误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。,系统误差产生的原因：仪器工具上的某些缺陷；观测者的某些习惯的影响；外界环境的影响。,测量误差的种类,系统误差对观测值的准确度（偏离真值的程度）影响很大，必须消除。(计算改正、观测方法、仪器检校),A、找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。例：光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。,B、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;例：前后视距相等水准测量中i角误差对h的影响、球气差对h的影响及调焦所产生的影响。盘左盘右取均值经纬仪的CC不垂直于HH；HH不垂直于VV；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。水准测量往返观测取均值仪器和尺垫下沉对h的影响。,C、仔细检校仪器。例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响,测量误差的种类,3偶然误差从表面上看，观测误差的大小和符号均呈现偶然性。,偶然误差产生的原因：主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的温度、风力等外界环境)所造成。,偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。,例如:在某测区，等精度观测了217个三角形的内角之和，得到217个三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差)，然后对三角形闭合差i进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。,5.1.2测量误差的种类,例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。,测量误差的种类,从表中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差出现的个数比大误差多；绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；最大误差不超过27。,偶然误差分布的表示方法：表格法（见课本84页）频率直方图正态分布曲线,偶然误差的特性,a、频率直方图,横坐标以偶然误差为横坐标，纵坐标以频率d(频率/组距)为纵坐标。在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，各矩形的面积=误差出现在该区间的频率(Kn),而所有条形的总面积等于1。所有区间的矩形构成了直方图，如图所示。,偶然误差的特性,b、正态分布曲线,在直方图中：当n，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。正态分布曲线的方程式：,偶然误差的特性,特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。,(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零(抵偿性)：,偶然误差的特性：,偶然误差的特性,误差理论研究的主要对象偶然误差,在测量的成果中：错误可以发现并剔除，系统误差能够加以改正，偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占主导地位，测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。,准确度(测量成果与真值的差异）,最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）,测量平差（求解最或是值并评定精度）,先了解几个概念:,精（密）度（观测值之间的离散程度）,衡量精度的指标主要有:,方差、标准差、中误差、相对误差、极限（容许）误差、协方差、权等。,评定精度的指标,标准差的数学意义,上式中称为方差，称为标准差：,正态分布密度函数,1.方差与标准差:,中误差,测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。,2.中误差:,上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：,观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：,i=i-X,中误差,中误差,m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比较离散，其精度较低：,m1=2.7是第一组观测值的中误差；m2=3.6是第二组观测值的中误差。,中误差,误差绝对值与观测量之比。,一般用于表示距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。,绝对误差:有符号，并且有与观测值相同的单位的误差。（如真误差和中误差）绝对误差主要用于衡量其误差与观测值大小无关的观测值的精度。（如角度、方向等）,在某些测量工作中，如测距。绝对误差不能完全反映出观测的质量。,相对误差（相对中误差）,K2K1，所以距离S2精度较高。,例：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。,解：,相对误差（相对中误差）,根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：,误差出现在K倍中误差区间内的概率为：,将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(|m)=0.683=68.3P(|2m)=0.954=95.4P(|3m)=0.997=99.7,测量中，一般取两倍中误差(2m)或三倍中误差(3m)作为容许误差，也称为限差：,|容|=3|m|或|容|=2|m|,极限（容许）误差,在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。误差传播定律：说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。,间接观测量:在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的,由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为间接观测量。例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a和前视读数b来求得的：h=ab。间接观测量的误差：由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此间接观测量函数(h)也必然受到影响而产生误差。,误差传播定律,1.一般函数的中误差,代入(b)得,对(a)全微分：,设有函数：,误差传播定律,对Z观测了k次，有k个式,对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1n且ij）,对K个(e)式取总和：,误差传播定律,(f)式两边除以K，得(g)式：,由偶然误差的抵偿性知：,(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：,即,误差传播定律,上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。,通过误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤：,1.列出函数式；2.对函数式求全微分；3.套用误差传播定律，写出中误差式。,误差传播定律,2.几种常用函数的中误差,误差传播定律,(2).线性函数的中误差,解：对上式全微分：,由中误差式得：,误差传播定律,(3).算术平均值的中误差式,对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。,误差传播定律,(4).和差函数的中误差,当等精度观测时：上式可写成：,误差传播定律,解：,观测值函数中误差公式汇总,误差传播定律,协方差与协方差阵,协方差是用数学期望来定义的。设有观测值x和y，它们的协方差定义是：式中：和分别是x和y的真误差。设是xi观测值xi的真误差，y是观测值yi的真误差，而协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均值，即,实际上n总是有限值，所以也只能求得它的估值，记为,当X和Y相互独立时：,但是，逆命题却不一定成立，即协方差为零并不意味着相互独立。只有当和服从联合正态分布时，协方差为零才是相互独立的充分条件。因此，对于服从正态分布的观测值，协方差为零和相互独立是等价条件。,协方差为零，表示这两个（或两组）观测值的误差之间互不影响，或者说，它们的误差是不相关的，并称这些观测值为不相关观测值；如果协方差不为零，则表示它们的误差之间是相关的，称这些观测值是相关观测值。由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量，对于正态随机变量而言，“不相关”与“独立”是等价的。,假定有个不同精度的相关观测值，它们的数学期望和方差分别为和，它们两两之间的协方差表示为,用矩阵表示为:式中为观测值向量，简称为观测值；为X的数学期望；为观测值向量的方差-协方差阵，简称为协方差阵。,设有观测值向量和，它们的数学期望分别为和。令：；则的方差阵为：式中和分别为X和Y的协方差阵，是X关于Y的互协方差阵。,根据协方差传播律得的协方差阵：,观测值线性函数的协方差阵,对于非线性函数，应将其转化成线性函数式，然后用线性函数的协方差传播律计算协方差。,设有观测值向量和，的数学期望和协方差阵分别为和，的数学期望和协方差阵分别为和，关于的互协方差阵为。,若有的个线性函数：,若令：,则：,即,设另有的个线性函数,令,即：,根据互协方差阵的定义：,在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为d=23.4mm，其中误差md=0.2mm，求该两点的实际距离D及其中误差mD。解：函数关系式：D=Md，属倍数函数，M=500是地形图比例尺分母。两点的实际距离结果可写为：11.7m0.1m。,【例1】,误差传播定律的应用,【例2】,水准测量中，已知后视读数a=1.734m，前视读数b=0.476m，中误差分别为ma=0.002m，mb=0.003m，试求两点的高差及其中误差。解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得,两点的高差结果可写为1.258m0.004m。,误差传播定律的应用,试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解:(1)测量水平距离的精度基本公式：,求全微分：,水平距离中误差：,其中：,【例3】,误差传播定律的应用,解:(2)测量高差的精度基本公式：,求全微分：,高差中误差：,其中：,试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,【例3】,误差传播定律的应用,图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为mi=2mm，假定视距平均长度为50m，若以3倍中误差为容许误差，试求在测段长度为Lkm的水准路线上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。解:1)每站观测高差为：2)每站观测高差的中误差：因视距平均长度为50m，则每公里可观测10个测站，L公里共观测10L个测站，L公里高差之和为：L(km)高差和的中误差为：,【例4】,误差传播定律的应用,在第二章中，取作为闭合差的容许值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响（如外界环境的影响、仪器的i角误差等）。,往返高差的较差（即高差闭合差）为：高差闭合差的中误差为：以3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：,(接上页),误差传播定律的应用,应用误差传播定律应注意以下两点：(1)要正确列出函数式例：用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为ml=5mm，求全长D及其中误差mD。a）函数式按倍数函数式求全长中误差，将得出b）实际上全长应是10个尺段之和，故函数式应为用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为按实际情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错误的。,应用误差传播定律时要注意的问题,(2)在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。,如有函数式：而：若已知x的中误差为mx，求Z的中误差mz。直接用公式计算,由（a）式得：由（b）式得：代入（c）式得（上面所得的结果是错误的）,应用误差传播定律时要注意的问题,因为y1和y2都是x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此在（a）式的基础上不能应用误差传播定律。正确的做法是：先把(b)式代入(a)式，再把同类项合并，然后用误差传播定律计算。,应用误差传播定律时要注意的问题,多余观测:对一个未知量，进行重复观测。多余观测目的:提高观测成果的质量，发现和消除错误。有一个多余观测，就会产生一个矛盾（闭和差），消除矛盾的过程，称为测量平差。直接观测平差:重复观测产生了观测值之间互不相等这样的矛盾。如何由这些互不相等的观测值求出观测值的最佳估值，同时对观测质量进行评估，即对一个未知量的直接观测值进行平差.根据观测条件，有等精度直接观测平差和不等精度直接观测平差。,先明确一些概念,等精度直接观测平差,等精度直接观测值的最或是值就是各观测值的算术平均值。,观测值的算术平均值(最或然/是值、最可靠值),证明算术平均值为该量的最或是值：,设该量的真值为X，则各观测值的真误差为1=1-X2=2-Xn=n-X,对某未知量进行了n次观测，得n个观测值1,2,n,则该量的算术平均值为：,等精度直接观测平差的最或然值,当观测无限多次时：,得,当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。,LX,两边除以n：,由,等精度直接观测平差的最或然值,等精度观测值的中误差计算方法,a由真误差来计算当观测量的真值已知时,可根据中误差估值的定义即由观测值的真误差来计算其中误差。,b由改正数（最或然值误差v）来计算在实际工作中，观测量的真值除少数情况外一般是不易求得的。因此在多数情况下，我们只能按观测值的最或然值来求观测值的中误差。,评定精度,观测值的改正数:最或然值x与各观测值i之差，其表达式为:在等精度直接观测中，最或然值x即是各观测值的算术平均值。即显然式是改正数的一个重要特征，在检核计算中有用。,Vi=x-i(i=1,2,n),评定精度,比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，,由改正数来计算等精度观测值的中误差(白塞尔公式)：,评定精度,证明如下：,真误差：,改正数：,对上式取n项的平方和,由上两式得,其中:,评定精度,中误差定义:,白塞尔公式:,评定精度,最或然值的中误差,评定精度,解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计算其中误差：,例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。,7642451.74,评定精度,观测次数与算术平均值中误差的关系：,评定精度,n增加时，M减小；当n达到一定数值后，再增加观测次数，工作量增加，但提高精度的效果就不太明显了。不能单纯靠增加观测次数来提高测量成果的精度。,观测次数n与M之间的变化关系：,1）应设法提高单次观测的精度如:使用精度较高的仪器；提高观测技能；在较好的外界条件下进行观测。2）进行多余观测观测值个数大于未知量的个数；分配闭合差（超限重测）;求观测值的最可靠值(算术平均值或改正后平差值),偶然误差的削弱的方法,评定精度,权的概念权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。,1.权的定义：设一组不同精度的观测值为li,其中误差为mi(I=1,2n)，选定任一大于零的常数，则定义权为：,称Pi为观测值li的权。,不等精度直接观测平差,不等精度观测值的权,对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：,2.权的性质（1）权表示观测值的相对精度；（2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；（3）权的大小由选定的值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个值。,不等精度观测值的权,1.同精度观测值的权对于一组同精度观测值li，一次观测的中误差为m，由权的定义，选定=m2，则一次观测值的权为：,n次同精度观测值的算术平均值的中误差为：,同精度观测值算术平均值的权为：,权与中误差的关系,2.单位权与单位权中误差对于一组不同精度的观测值li，一次观测的中误差为mi。设某次观测的中误差为m，其权为P0，选定=m2，则有：,数值等于1的权，称为单位权；权等于1的中误差称为单位权中误差，常用表示。对于中误差为mi的观测值，其权为：,相应中误差的另一表示方法为：,权与中误差的关系,3水准测量的权与测站数成反比，或者与路线长度成反比。,4角度测量的权与测回数成正比。,5距离测量的权与长度成反比,权与中误差的关系,不等精度观测值的最或是值加权平均值,设对某量进行了n次非等精度观测，观测值分别为l1,l2,ln,其权分别为P1，P2，Pn。则观测量的最或是值为加权平均值：,加权平均值的中误差,不等精度观测值的最或然值及其中误差,协因数和协因数传播律,权是一种比较观测值之间精度高低的指标，可以用权来比较各个观测值函数之间的精度。在此引进协因数和协因数阵的概念解决根据观测值的权来求观测值函数权的问题。,协因数与协因数阵,设有观测值和，它们的权分别为和，它们的方差分别为和，它们之间的协方差为，单位权方差为。令：或写为：称为的协因数或权倒数，为的协因数或权倒数，为关于的协因数或相关权倒数。,协因数与协因数阵,设有观测值向量（或者是观测值函数向量）X和Y，它们的方差阵分别为和，X关于Y的互协方差阵为,单位权方差为。令：或写为：称为X的协因数阵，为Y的协因数阵，为X关于Y的互协因数阵。协因数阵中的主对角线元素就是各个观测值向量的权倒数，它的非主对角线元素是Xi关于Xj(或Xi关于Yj)的相关权倒数。,协因数与协因数阵,设有独立观测值，其方差为，权为，单位权方差为。的协因数阵为则有,协因数传播律,这就是协因数传播律的实用计算公式，也称为权逆阵传播律。通常将协方差传播律与协因数传播律合称为广义传播律。,协因数传播律,设有观测值向量和的线性函数：的协因数阵，的协因数阵，关于的互协因数阵为（），、为常系数阵。假设单位权方差为，的方差阵，的方差阵，关于的互协方差阵为（）。由协方差传播律，并顾及协因数阵与协方差阵的关系式，得,由真误差计算中误差及其实际应用,用不同精度的真误差计算单位权方差的计算公式由真误差计算中误差的应用由三角形闭合差求测角方差由双观测值之差求中误差,用不同精度的真误差计算单位权方差的计算公式,设有一组同精度独立观测值，它们的数学期望为，真误差为，有观测值的方差为当n为有限值时得到方差的估值上式是根据一组同精度独立观测值的真误差计算方差的基本公式。现在设是一组不同精度的独立观测值，的数学期望、方差和权分别为、和，。,用不同精度的真误差计算单位权方差的计算公式,为了求得单位权方差，需要得到一组精度相同且其权均为1的独立的真误差，作如下变换：根据协因数传播律得：对于一组不同精度独立的真误差，经变换后，得到一组权为1的同精度独立的真误差：。单位权方差上式就是根据一组不同精度的真误差所定义的单位权方差的理论值。由于n总是有限的，故只能求得单位权方差的估值:,由真误差计算中误差的应用,在一般情况下，观测量的真值(或数学期望)是不知道的。但是，在某些情况下，由若干个观测量(例如角度、长度、高差等)所构成的函数，其真值有时是已知的，因而，其真误差也是可以求得的。例如一个平面三角形三内角之和的真值为180，由三内角观测值算得的三角形闭合差就是三内角观测值之和的真误差。1由三角形闭合差求测角方差2由双观测值之差求中误差,由三角形闭合差求测角方差,设在一个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由各观测角值计算而得的三角形闭合差分别为，则三角形闭合差的方差为当三角形个数为有限的情况下，可求得三角形闭合差的方差的估值运用协方差传播律，并设测角方差均为，得测角方差为：测角中误差为：,由双观测值之差求中误差,设对量分别观测两次，得独立观测值和权分别为其中观测值和是对同一量的两次观测的结果，称为一个观测对。在测量工作中，常常对一系列被观测量分别进行成对的观测。假定不同的观测对的精度不同；而同一观测对的两个观测值的精度相同，即和的权都为。由于观测值带有误差，对同一个量的两个观测值的差数一般是不等于零的。设第个量的两次观测值的差数为,由双观测值之差求中误差,设的真值是运用协因数传播律可得的权：即：这样就得到了个真误差和它们的权。得到由双观测值之差求单位权方差的公式当n有限时，其估值为各观测值的方差为：第对观测值的平均值的方差为：,系统误差与偶然误差的联合传播,由于种种原因，在观测成果中总是或多或少地存在残余的系统误差。由于系统误差产生的原因多种多样，它们的性质各不相同，因而只能对不同的具体情况采用不同的处理方法，不可能得到某些通用的处理方法。对于残余的系统误差对成果的影响，没有严密的计算方法，只有近似估算方法。,观测值的系统误差与综合误差的方差,设有观测值观测量的真值为，则的综合误差可定义为如果综合误差中只含有偶然误差，则：。如果中除包含偶然误差外，还包含系统误差，则：由于系统误差不是随机变量，所以的数学期望为可见，也是观测值的数学期望对于观测值的真值的偏差值。观测值含的系统误差愈小，愈小，愈准确，有时也称为的准确度。,观测值的系统误差与综合误差的方差,当观测值中既存在偶然误差，又存在残余的系统误差时，常常用观测值的综合误差方差来表征观测值的可靠性。顾及系统误差是非随机量，所以综合误差的方差为即观测值综合误差方差等于它的方差与系统误差的平方之和。当系统误差小于等于中误差的三分之一时，即当时，得在这种情况下，如果不考虑系统误差的影响，所求得的减小量不会大于5%。此时，系统误差的影响可以忽略不计。,系统误差的传播,设有观测值的真值、综合误差和系统误差，则：又设有观测值的线性函数：，则线性函数的综合误差与各个的综合误差之间的关系式为：对上式取数学期望得：所以得：上式就是线形函数的系统误差的传播公式。,系统误差的传播,对于非线性函数：，可以用它们的微分关系代替它们的误差之间的关系，然后按线性函数的系统误差的传播公式计算：令：则有线性函数：同样有：,系统误差与偶然误差的联合传播,当观测值中同时含有偶然误差和残余的系统误差时，还有必要考虑它们对观测值的函数的联合影响问题。这里只讨论独立观测值的情况。设有函数：观测值的综合误差为：，函数Z的综合误差为：函数Z的综合误差方差为：当函数为非线性时，Ki为观测量偏导数,最小二乘原理,如果只对几何模型中的必要元素进行观测，而没有多余观测，则在观测值之间不可能产生任何函数关系式，也不存在平差问题。只有在有了多余观测的情况下，才会产生平差问题。例如为确定一个三角形的大小和形状，必要观测数为t=3，如果实际观测了一边三角（n=4）,则存在一个多余观测（r=n-t=1）。现以一边和其中任意两个角作为一个组合来确定三角形的大小和形状，则有三种组合，由于观测值不可避免地含有偶然误差，三种组合所计算的结果将出现微小差别，这说明在具有多余观测的情况下，将无法唯一的确定模型的解。,从函数模型来考虑，由于存在一个多余观测，三个内角真值之间就存在一个条件方程，即：考虑到，代入上式得式中称为条件方程的闭合差或常数项，它是可以根据观测值计算出来的。由于观测值的真值不知道，所以真误差是未知量。要确定真误差的值，显然其解是不唯一的。要确定满足函数模型的唯一的一组解，如果不另外附加一定的约束条件，那是不可能的。到底应该采用什么样的约束条件，才能使模型得到一组具有最佳性质