《高数总复习》PPT课件.ppt

总复习1,一、向量代数与空间解析几何基本要求：理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示法，掌握向量的坐标表示式及向量的运算（线性运算、数量积向量积及混合积），会求单位向量、方向数及方向余弦，会求两向量的夹角及向量在另一向量上的投影；掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交）解决有关问题。会求点到平面和点到直线的距离。理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标面上的投影并会求其方程。,重点与难点：向量的坐标表示式及向量的运算，平面、直线方程及其位置关系，旋转曲面、柱面，空间曲线在坐标面上的投影。,解,已知直线的方向向量为,所以直线的对称式方程为,过点P(3,-1,2)垂直与已知直线的平面方程为,即,得直线与平面的交点为,解方程组,则点P到已知直线的距离为,二、多元函数微分学,基本要求：理解多元函数的概念，了解二元函数的极限与连续性概念，及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件及全微分在近似计算中的应用；了解方向导数与梯度的概念及其计算方法；掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，会求隐函数的偏导数；了解空间曲线的切线和法平面及空间曲面的切平面和法线的概念并会求其方程；了解二元函数的二阶泰勒公式；理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。,重点与难点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数偏导数的求法，多元函数最大值、最小值的求法，条件极值的求法。,1.求极限,2.求偏导数,（1）设,求,其中,具有二阶连续偏导数.,（2）设,其中,具有连续的二阶偏导数，,求,（3）设,求,4.在第一挂限内做椭球面的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。求这切平面的切点，并求此最小体积。,1、求下列极限：,（2）,（4）,2（1）设,求,其中,具有二阶连续偏导数.,解:,2(2)设,其中,具有连续的二阶偏导数，,解,求,2(3)设,求,解:此方程组可确定两个一元隐函数,即,解,切线方程为:,法平面为:,或,即,4、在第一挂限内做椭球面的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。求这切平面的切点，并求此最小体积。,解：设切点为,则,切平面为,四面体体积为,构造拉格朗日函数,总复习2,三、多元函数积分学,基本要求：理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，掌握两类曲线积分的计算方法，掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数；了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握两类曲面积分的计算方法，掌握高斯公式，了解斯托克斯公式；了解散度、旋度的概念并会计算；会用重积分、线积分、面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。,重点与难点：重积分、线积分、面积分的计算，格林公式，高斯公式。,1.计算,其中,是闭区域,3.计算,2.计算,4.计算,是由,其中D,所围成的在第一象限内的闭区域。,6.计算,其中,是由曲面,与平面,和,所围成的闭区域。,的公共部分.,8.计算,其中,是由曲面,与,所围成的闭区域.,9.计算,其中,是由不等式,所确定的闭区域。,1,其中,是闭区域,解,2计算,解.积分域如图.,3计算,于是,也可由区域的对称性直接得到结果为0,解：D(xy)|1x0x1yx1(xy)|0x1x1yx1,4,是由,解：在极坐标下,所以,其中D,所围成的在第一象限内的闭区域。,解,建立如图所示的直角坐标系。,设矩形的另一边长为,则,令,得,6、计算,其中,是由曲面,与平面,和,解：积分区域可表示为(xyz)|0zxy0yx0x1于是,所围成的闭区域。,的公共部分.,解,用柱面坐标,用截面法：,7,其中,是两个球,和,8计算,其中,是由曲面,与,所围成的闭区域.,9、计算,其中,是由不等式,解：在球面坐标下积分区域可表示为,于是,所确定的闭区域。,2.,，其中L为圆周,及x轴,所围成的区域在第一象限内的整个边界（按逆时针方向绕行）.,3.,，其中L是在圆周,上由点（0，0）到点（1，1）的一段弧.,6.,，其中,为锥面,被柱面,所截得的有限部分。,，其中,是球面,的下半部分的下侧；,其中,为圆周,9.计算曲线积分：,若从x轴看去，这圆周是取逆时针的方向。,解,1、,2、,，其中L为圆周,解LL1L2其中L1xaacostyasintt从0变到L2xxy0x从0变到2a因此,及x轴,所围成的区域在第一象限内的整个边界（按逆时针方向绕行）,3、,，其中L是在圆周,解Px2yQxsin2y,由格林公式有,其中L、AB、BO及D如图所示故,上由点（0，0）到点（1，1）的一段弧.,其中,为圆周,按逆时针方向绕行。,解,4、,5、证明:,在整个,平面除去,的负半轴及原点的开,区域,内是某个二元函数的全微分,并求出这样的一个二元函数.,证,是单连通区域,且,6、,，其中,为锥面,被柱面,所截得的有限部分。,，其中,是球面,解的方程为,于是,的下半部分的