用二次函数求面积最值

九年级上册,用二次函数求图形面积的最值,一、审题分析：题目背景，学情分析，教材编写意图,二、解题过程：知识准备，说题目意思说题目的解法，解题操作，解题归纳,三、总结提升:解题方法总结，题目变式延伸,四、评价分析：教法设计，教学反思,说题流程,原题展现习题22.3,7.如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小。,一、审题分析-题目背景,1、题材背景：本题出自人教版九年级上册22.3的第7题.,3、方法背景：学生从小学开始就知道正方形面积公式是正方形面积等于边长乘边长，边长大正方形面积也就大，边长小面积就小，所以此题的关键在于怎么求出正方形EFGH边长的最小值。,2、知识背景：本题涉及的知识点有：正方形的性质及面积，全等三角形的证明，勾股定理，抛物线的顶点、二次函数的最值,几何图形中的动点问题。,4.思想背景：化归思想、函数思想、数形结合思想。,一、审题分析-学情分析,1.学生特点：本题的教学对象是九年级学生，他们的观察能力有所发展，有一定的模仿能力，会想到课本49页探究1是通过二次函数性质求图形面积最大或最小值，具有了一定化归思想。,2.估计学生会出现的错误：有学生直接认为四个直角三角形全等，也就有了AE=BF，先求出小正方形的边长，然后再利用边长的平方求面积。甚至会选取E在几个特殊点时求正方形EFGH的面积，然后从中取个最小面积所对的AE值作为题目的答案。,一、审题分析-编者意图,此题作为二次函数与实际问题的一个综合运用题目，编者要求学生能用运动变化的观点看数学问题，进一步发展学生的数形结合思想。,本题从旨在引导利用二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，特别是顶点坐标的意义来求面积的最小值，也是对课本49页探究1的变式与拓展。也让学生去感受数学来源于生活并服务于生活。,二、解题过程-知识准备,1能抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向，顶点坐标是，当x=时，y有最值是.,2学生看课本49页探究1的解法，再次感受把图形面积化为二次函数关系式来表示的化归思想。,二、解题过程-说题目意思,题目类型：本题从二次函数与实际问题的关系考察学生数形结合思想，是个综合性较强的题目。,已知条件：有两个正方形，内部小正方形的顶点E，F，G，H分别位于外部大正方形ABCD的四条边上。,待求的结论是：问我们当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？这样的一个问题情景学生还是比较熟悉的。当AE的长改变时会引起EF也发生变化，正方形EFGH的面积也就随之改变。所以此题是一个动态几何问题，题目就是相当于问AE等于多少时EF最长。,二、解题过程-说题目意思,待求的结论是：问我们当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？这样的一个问题情景学生还是比较熟悉的。当AE的长改变时会引起EF也发生变化，正方形EFGH的面积也就随之改变。所以此题是一个动态几何问题，题目就是相当于问AE等于多少时EF最长。,画出函数y=x2-2x-3的图象，这是题目对我们的第一要求。到这个阶段应该如何作图？列表、描点、连线是作函数图象的三步曲，但现在我们已经对二次函数图象比较熟悉，就应采用五点作图法。,说题目,说题目,此题分为三问，第一问：方程的解是什么，第二、三都是x取什么值时，函数的值大于或小于0。由易到难，步步为营，符合数学设问由浅入深的原则。,做好这个题对以后高中数学求函数值域、解一元二次不等式有很大的帮助，所以此题也是初高中数学的连接纽带。,x2-2x-3=0,-1,1,-4,-3,y=x2-2x-3=x2-2x+1-1-3=(x-1)2-4,3,2,y=x2-2x-3,画函数图象的步骤：1)列表2)描点3)连线(用圆滑的曲线),画出函数图象：,-10,0-3,1-4,2-3,30,说解法,分析：这道题作为二次函数的典型复习题，用于复习和巩固二次函数的图象及其性质。（1）分别令x=0，y=0即可求得交点坐标；（2）把函数解析式转化为顶点坐标形式，即可得顶点坐标；（3）根据图象与x轴交点可知方程的解；、根据图象即可得知x的取值范围。,说解法,y=x2-2x-3,解：由图象知方程x2-2x-3=0的解为x1=-1，x2=3,解答,y=x2-2x-3=(x+1)(x-3),x-1或x3,-1x3,当时，函数值小于0.,当时，函数值大于0；,说思想,本题的设计先考察了把一元二次方程一般式化成顶点式、化归的数学思想方法，其次有效地考查了学生的作图能力，最后要求学生充分展现数形结合思想。,数学是研究现实世界中数与形关系的学科。我国著名数学家华罗庚教授有这么一段名言：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。”此名言见人教版教师教学用书九上P105,二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围(3)写出不等式ax2+bx+c0的解集。,题形变式,解:(1)由抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象,可得x1=1，x2=3；(2)由图先找到抛物线的对称轴，要y随x的增大而减小则x的取值范围为x2;(3)ax2+bx+c0不等式解集为1x3。,问题:(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围(3)写出不等式ax2+bx+c0的解集。,说反思,实际解题时有些学生为什么会对这类题感到困惑呢？我想主要是因为他们不能较快的由关系式作出抛物线草图，或者不能理解图象上点的坐标的意义，也就是缺乏数形结合思想。,原题引申1,1.画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答：(1)方程x2-2x-3=5的解是什么；(2)x取什么值时，函数的值大于5；(3)x取什么值时，函数的值小于5。,-1,1,-4,-3,y=x2-2x-3=x2-2x+1-1-3=(x-1)2-4,3,2,y=x2-2x-3,画出函数图象：,-10,0-3,1-4,2-3,30,说解法,-1,1,-4,-3,3,2,y=x2-2x-3,解答,解：由图象知方程x2-2x-3=5的解为x1=-2，x2=4,当时，函数值小于5.,当时，函数值大于5；,x-2或x4,-2x4,2.二次函数y=ax2+bx+c（a0）与一次函数y=mx+n的图象如图所示，直线与抛物线交于（0，3），（3，1）两点,根据图象解答问题：(1)写出方程ax2+bx+c=mx+n的根；(2)写出不等式ax2+bx+cmx+n的解集;(3)写出不等式ax2+bx+cmx+n的解集。,原题引申2,一叶知秋，题海不是解决问题的最好方法，如果能够深入研究我