空间曲线的切线与空间曲面的切平面

第6节空间曲线的切线和空间曲面的切线平面一、空间曲线的切线和法线平面空间曲线c由参数方程的形式给出另外，作为曲线上的2点，的线被称为曲线c的切线，此时，如果成为直线，则该直线被称为曲线c的点处的切线。如果的所有导数都是连续的且不为零(即，空间曲线c是平滑曲线)，则曲线存在于点的切线上。 这是因为切削线的方程式为也可以写成当时，切线的方向向量的极限是切线的方向向量，因此切线方程式是是将越过点并垂直于切线的平面称为空间曲线c位于点处的法线平面，法线平面方程式为空间曲线c从方程如果存在，曲线点处的切线法向平面方程是如果空间曲线c表示为空间中两个曲面的交点，则表示为等式在确定时，可以假定隐函数组在一个附近存在并且满足定理条件，从方程在点附近确定隐函数有。 空间中的曲线c点的切线是即，即法向平面方程是同样，当点有或有时，我们得到的切线方程和法线平面方程具有相同的形状。当它成为向量时，在这种情况下，空间曲线c的切线方向向量是例6.32求曲线点处的切线方程式解时，曲线越过点，曲线在此点的切线向量，曲线的切线方程是即，即二、空间曲面的切线平面和法线把曲面的一般方程式作为曲面上的一点，在设定的附近具有连续的偏导函数，并且。 将曲面设置为通过的平滑曲线是的，有上式要求指导因此，曲面通过的平滑曲线既是点的切线，也是向量因为它们是垂直的，所以它们都在平面上，平面称为曲面的切线平面，矢量称为法向量。 的切平面方程是与切线平面垂直且超出点的直线称为曲面的点法线，其方程式如下所示把曲面方程式有连续偏导函数时，称为平滑曲面。 由以上讨论可知，光滑的曲面有切线平面和法线。在曲面方程式的表现形式如下的情况下，容易得到的切线平面方程式如下法线方程是函数在点上微小，已知为Taylor公式也就是说，函数可以用点附近使用的正切平面近似，误差是高次无限小。如果曲面方程表示为参数作为曲面上的点。 假设如果满足隐藏函数组存在于某一附近的定理条件，则可以根据方程在点附近确定隐藏函数(即和的逆映射)满意。 曲面是通过从方程的两侧分别同时求偏导而得到事故因此，的相切平面方程法线方程是例6.33求曲面点处的切线平面和法线方程式。解曲面方程是剖切面方程是即，即法线方程是练习题6.61 .求曲线点处的切线和法线平面方程2 .求曲线点处的切线和法线平面方程3 .求曲面点处的切线平面和法线方程。4。 证明曲面上任意点的切平面和坐标面形成的四面体的体积是一定的。5 .证明曲面上任意点的截面超过一定点。第七节极值与最大值问题一、无条件极值与一元函数的极值类似，可以引入多变量函数的极值概念。定义6.3元函数定义在点的附近。 在任何方面或()元函数取极大(或极小)的值被称为函数的极大(或极小)的值点。 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。像元函数一样，使元函数的各1次偏导函数同时为零的点称为驻点。 我们有以下定理。定理6.28是多维函数的极值点，并且如果存在一次偏导函数，则该多维函数的驻留点。在一元函数中，它被证明是极值点，费马定理指示极值点处的导数导数为零与一元函数一样，相反，驻点不一定是极值点。 不存在偏导函数的点也可能是极值点。判断为多变量函数的极值点比一元函数复杂得多，以下表示不仅证明二元函数的判别定理。定理6.29是二元函数的驻点，在一个附近具有二阶连续偏导函数。 令，则(1)当时，如果取极小值的话取极大值(2)当时，没有取极值(3)当时，有取极值的可能性，也有不取极值的可能性。例6.34求函数的极值。解方程式定居点必须是直线上的点。因为有点，函数取较大的值。容易判断，满足条件的点是函数的极小值点，极小值满足0条件之和的点是函数的极大值点，极大值为0。一、最有价值的问题在社会生产的各个领域，我们面临着最大的问题，即以最小的成本获得最大利益的问题，这些问题在某些函数范围内可以归结为求最大值和最小值的问题。函数取最大值和最小值的点称为函数的最大值点和最小值点，总称为最大值点的函数的最大值和最小值总称为最大值。1、单项函数上面一定有最大值和和作为闭区间中定义的连续函数最小值。 最大值点可以是区间的两个端点及其最大值点，但是一旦打开该区间，最大值点必定不存在极值点，即驻留点或导数。 所有假定的驻点都是导数不存在的点例6.35求与抛物线上最近的点。解是抛物线上的点，和的距离是考虑到函数，从中可以得到唯一的驻留点，所以抛物线上和最近的点2 .多次函数像元函数那样，元函数的最大值的问题是，通过求出某个区域中的最大值和最小值，求出内部的所有的极值和边界处的最大值，只要从中进行比较就可以选择上位的最大值。例6.36求出平面与点的最短距离。解是平面上的点，与之间的距离是考虑函数，可以从中得到唯一的驻留点，所以平面与点之间的最短距离为三、条件极值问题与Lagrange乘法我们之前研究的极值和最小值的问题，是通过直接赋予目标函数的元函数求出其极值或最小值而无条件极值的问题，但更多的极值和最小值的问题有制约，即条件极值的问题。一般而言，条件极值问题是求目标函数的元函数一系列约束下的极值。我们可以尝试对上述方程用消元法解变量，转化为上一节的无条件极值问题来解决，但由于消元法很难，所以我们需要给出新的方法来求出条件极值。 介绍拉格朗日乘法。 以二元函数为例求目标函数约束下的极值问题。假设点是函数条件下的极值点，满足隐函数存在定理的条件，确定隐函数，则成为单元函数的极值点。 所以呢由隐函数的存在定理得出因此，极值点必须满足以下三个条件：当我们建立拉格朗日函数时，其中所谓拉格朗日乘数是指以上三个条件也就是说，我们讨论的条件极值问题变成了拉格朗日函数的无条件极值问题。 用这种方法求可能的极值点的方法称为拉格朗日乘法。类似地，求目标函数的元函数对于一组约束下的极值，我们可以构建相应的拉格朗日函数然后，求出条件的极值点满足方程式例6.37横截面为半圆形的圆柱形开口浴槽，表面积相同，问其大小如何时，这个碗有最大容积吗？设圆半径为高度为表面积、容积。构造拉格朗日函数解方程式是的，这个时候。从实际情况可以看出，因为一定要达到最大体积，所以当时体积是最大的。练习题6.71 .求函数的极值。2 .求函数的极值。3 .求椭圆上和最远的点4 .求出平面与点的最短距离。5 .求出与曲面上最接近的点6 .容积已知的开顶长浴池，在询问其大小如何时，这个浴池有最小的表面积吗？7 .求出平面与椭圆柱相交的椭圆面积。第八节导数在经济学中的应用一、导数的经济意义1 .极限函数定义6.4函数为导电性的话，导数在经济学中被称为极限函数。在经济学中，我们经常使用边际成本函数、边际收益函数、边际收益等边际函数函数等，一个经济变量对另一个经济变量表示变化率的问题，反映了导数在经济学中的应用。成本函数表示生产某产品时的总成本。 平均成本函数表示生产以某个产品为单位时，平均每单位的成本，如下所示。 边际成本函数是导数，其是相对于成本函数的变化率。由微分近似计算公式可知我们可以用边际成本函数来近似表示在生产单位产品后，生产另一个产品所需的成本。在生产中，平均成本函数当然希望取极小值。 在这种情况下，我们可以得到即，即所以我们决定。 因此，在平均成本函数取极小值的情况下，极限成本函数与平均成本函数相等。 这是经济学中重要的原则，在生产中，如果边际成本函数低于平均成本函数，我们应该增加产量来降低平均成本，如果边际成本函数高于平均成本函数，我们应该减少产量来降低平均成本。以某产品生产单位时的成本为例6.38。 求(一)生产产品100单位时的极限成本和平均成本(二)生产产品数量多少，平均成本最低；解(1)极限代价函数和平均代价函数是所以呢(2)在平均成本函数取极小值情况下，极限成本函数与平均成本函数相等，即因此，生产产品数为50时，平均成本最低。像边际成本函数一样，可以研究其它边际函数。需求函数表示销售某产品时个别产品的价格。 那么，单调递减函数。 收入函数的极限收入函数为。利润函数是边际收益函数是。利润函数取极大值时，即获得最大利润所需的条件是边际利润等于边际成本。 为了获得最大利益，还需要以下条件：也就是说。 因此，同时获得最大利益。例6.39某产品生产单位时的成本为需求函数。 生产产品的数量多少才能获得最大利益？获得收益的函数得到我们得到了。容易验证。 因此，生产产品的数量达到100单位水平就能获得最大利益。2 .灵活性在经济学中，我们总是使用灵活的概念，灵活性也是变化率的问题，与导数的概念密切相关。定义6.5如果函数可以在点处导出，则称为函数点与点之间的弹性的当时界限为函数点处的弹性或者即，即如果有导电性的话，可以相应地给出上弹性函数的定义小时候有近似计算公式也就是说，函数的弹性是函数的相对变化量和自变量的相对变化量的比，上式表示发生变化时发生变化如果价格为，则需求函数为产品需求量。 需求函数是单调递减函数，逆函数也称为需求函数，是上述需求函数。需求函数相对于价格的导数称为极限需求函数。 需求函数的灵活性因为是单调递减函数。收入函数是的，有如果需求波动幅度小于价格波动幅度并且被称为低弹性，则这是单调递增函数。 也就是说，价格上涨会增加收益，价格下降会减少收益。如果需求变动幅度大于价格变动幅度，被称为高弹性，则为单调递减函数。 也就是说，价格上涨时收益减少，价格下降时收益增加。如果是这样的话，需求波动幅度和价格波动幅度相同，称为单位弹性。 也就是说，即使价格改变，收益也不会改变。和需求灵活性的研究一样，我们也可以探讨供给的灵活性。供给函数是指商品制造商供给量与价格的关系函数。 单调递增函数。 边际供给函数是价格的导数，供给弹性函数是例6.40将某产品的需求函数作为其中的价格。(1)求需求函数的灵活性用需求的灵活性来说明价格在哪个范围内变化，价格下降反而会增加收益。解(1)需求函数的灵活性。(2)易得时，此时价格下降会增加收益。二、其他应用实例导数在经济学中有很多应用，下面举例说明。首先，考虑连续复利率问题。 假定初期资金是年利率的话，年后资金是。 假设通常一年计入多次利息，一年计入多次利息我们在这里是连续复利率计算问题，可以得到因此，得到了连续复利计算公式。例6.41某企业酿造好酒，如果现在立刻出售，总收入，如果储藏，年后出售，收入是多少？ 以银行的年利率为例，按连续复利率计算，问几年后出售会使收入现值最大。从连续复利率计算出解，年后总收入的现值由得。 因此在储藏年销售，总收入现值最大。接下来，我再举一个应用问题。例6.42某企业生产某型号仪表，年产量为a台，分几批生产，假设每批生产准备费为b元，产品均匀投放市场，上批使用后立即生产下一批，平均库存量为批的一半。 每年一台机器的库存费用为c元。 询问如何选择批次以使年库存和准备费之和最小化。以拆卸批次为基础，库存费、年生产批次数、生产准备费、总费用是的，是的。因此，批量为台的情况下，年内库存费和准备费之和最小。多变量函数的偏导函数在经济学中也应用非常广泛。 元函数的偏导函数称为对的极限函数。 我们与单元函数类似，能够引入边际成本函数、边际收益函数、边际收益函数等。 另外，也可以像一元函数那样导入函数的偏弹性概念。 在此不一一详述。下面是一些多变量函数的应用问题。例6.43假设一家企业在两个分开的市场销售同一产品，两个市场的需求函数各不相同其中的和是售价，和是销售量。 总成本函数为(一)该企业实行价格歧视战略时，确定该产品在两个市场的销售量和价格，以确保该企业获得最大利润(二)该企业实施价格歧视战略时，确定该产品在两个市场的销售