高等数学 第七章空间解析几何与向量代数习题课PPT课件

.,1,第七章空间解析几何与向量代数习题课,.,2,一、向量的基本概念,1向量的坐标:,2向量的模:,方向余弦为:,设起点和终点,则,3方向角：向量与三个坐标轴正向的夹角,向量代数,.,3,4单位向量：,5向量的投影：,二、向量的运算,1线性运算,（1）,（2）,2数量积,（1）定义：,（2）坐标表示：,.,4,分配律：,结合律：,（4）向量的夹角：,（5）性质：,2向量积,（1）定义：,（3）运算律：,交换律：,方向：垂直与确定的平面，且符合右手规则。,.,5,结合律：,（4）性质：,分配律：,反交换律：,（3）运算律：,（2）坐标表示：,.,6,一、平面与直线的方程,1平面方程:,（1）点法式方程：,（2）一般方程：,2点到平面的距离：,平面与直线、空间曲面与曲线,.,7,3直线方程：,（1）一般方程：,（2）对称式方程：,（3）参数方程：,.,8,则它们的夹角为：,（2）两平面相交（夹角）,设与平面的法向量分别为与,4线、面之间的位置关系：,（1）两直线相交（夹角）,设与的方向向量分别为与,.,9,（3）直线与平面相交（夹角）,设直线的方向向量为,则,.,10,（4）线、面之间的平行与垂直,设直线与的方向向量分别为，,平面与的法向量分别为,.,11,二、空间曲面,1一般方程：,2旋转面：曲线,.,12,三、空间曲线,1一般方程,2参数方程,3空间曲线在坐标面上的投影曲线：,.,13,向量代数典型例题,解：,方向余弦为,方向角为,.,14,分析：向量相等的定义是向量坐标对应相等。,解：由已知条件得,易得,即当时两向量相等。,方向余弦为。,模为,此时向量为,.,15,【例3】已知都是单位向量，且满足，求.,解：,于是,.,16,解法1：,所以,.,17,解法2：因三向量两两垂直，故可在直角坐标系中设,则,于是,.,18,解：依题意有,即,解得，,与同向的单位向量为,则,.,19,分析：应用向量积构造与两个向量都垂直的向量；,利用向量积模的几何意义得平行四边形的面积。,解：,与同时垂直的单位向量为：,平行四边形面积,.,20,分析：先设出向量，再用两个条件确定其系数。,解：由已知条件,可设,由已知条件有，,则,于是,则,.,21,分析：先求出轴上的单位向量，再利用向量投影公式。,解：设轴的方向余弦分别为，,由已知条件,及,即轴上的正向单位向量为，,于是,得,所以,.,22,（1）为何值时，,分析：（1）用向量垂直的充分必要条件；,（2）用向量积的模的几何意义。,解：（1）当时,即，,亦即，时,故当，时。,.,23,（2）平行四边形面积,则，于是或,.,24,直线与平面典型例题,【例1】求平行于轴且经过两点的平面方程。,解法1:由已知点，确定向量,轴上的单位向量，可确定所求平面的法向量,.,25,平面过点，则所求平面的点法式方程为,即,解法2：平面平行于轴，则平面方程中不含变量,于是,可设平面方程为,点在平面上，满足平面方程，即有,.,26,，得,则平面方程为,即,分析：已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知两点确,定的向量与已知平面法向量的向量积可求出平面的法向量。,.,27,，平面过向量，所以，。,已知平面的法向量为，,因为，所以，可取,则所求平面的点法式方程为,即,解：设所求平面的法向量为，已知平面过点,.,28,【例3】过点且在三坐标轴上截距相等的平面方程。,分析：最简单的方法是利用平面的截距式方程，再用已知,的点确定三个相等的截距。,解：设所求平面的截距式方程为，,将已知点的坐标代入方程确定参数，有,所求平面的截距式方程为。,或写为一般式方程。,解得,.,29,分析：所求平面与已知平面平行，法向量相同，可先设出,平面方程的一般式，再由条件定系数。,解：所求平面与已知平面平行，两者的法向量相同，故可,设所求平面的方程为,已知平面上有点，该点到所求平面的的距离为3，即,可解得或,.,30,代入所设平面方程得所求平面的方程为,或,分析：直线过已知一点，由直线的对称式，只需求直线的,方向向量，直线的方向向量分别与两已知平面的法向量垂直，,可用向量积求出直线的方向向量。,.,31,可取,直线过点，则所求直线方程为,则，。,.,32,解之得。,分析：直线在平面上，则直线上的点都在平面上、直线,的方向向量与平面的法向量垂直。,.,33,求平面的法向量与两者分别垂直，平面的法向量可用向量积求得。,分析：直线上一点及已知点可确定一向量，直线有方向向量；所,解：直线上的点及已知点在所求平面上，,两点构成向量，直线方向向量；,所求平面方程为,即,所求平面的法向量，于是可取,.,34,分析：所求平面过直线，则过直线上点，由平面的点法式，,关键是求出平面的法向量，有两种方法：,（1）用向量积得出与两直线的方向向量都垂直的向量；,（2）先设出平面的法向量，再由条件定系数。,.,35,于是所求平面方程为,即,已知二直线的方向向量为、，,因为,平面过，所以，又因为，所以，则有,解得,取则。,平面方程为：,即,.,36,分析：关键是求出直线的方向向量，可用向量积求得。,从而直线与直线的夹角的余弦为,因此,.,37,.,38,从而所求直线的方程为,即,分析：要想求出点到直线的距离，需求过该点与已知直线垂直,相交的直线和已知直线的交点（即垂线足，或称为投影），,得出交点即可求出。,.,39,即,解：已知直线的方向向量为,.,40,化为参数方程为，将已知直线的参数方程代入,平面方程,得，则,故有交点，,因此所求的距离为,注：求点到直线距离、过一点作与已知直线垂直相交的直线、点在,直线上的投影等几种问题均为同一种类型题，解题过程基本相同。,.,41,分析：所求平面过点，由点法式方程，只需求出平面的,所求平面上，又交线上的一点与已知点所,向量。也可现设出所求平面的法向量，再由条件定其坐标。,又可利用过交线的平面束。,解法1：设两个平面的交线为，方向向量为，已知两平面,的法向量为，因为,.,42,点满足两已知平面方程，故该点在两平面交线上，,则所求平面的方程为,即,可取,.,43,解法2：同解法1交线的方向向量为，,设求平面的法向量为，则，,于是有,，得,取，则,则所求平面的方程为,即,.,44,解法3：过交线的平面束的方程是,即,可得,于是求平面的方程为,即,.,45,分析：应考虑过已知直线的平面束中有一个平面与已知平面垂直，平面束中该平面是直线的投影柱面。,解：过已知直线的平面束方程为,即,其法向量,平面束中有一个平面与已知平面垂直，,.,46,则两者的数量积为零，即,解得,则法向量为.,于是平面束中以此为法向量的平面方程为,即是直线的投影柱面。,则已知直线在已知平面上的投影为,.,47,解：过交线的平面束方程为,即,其法向量为,.,48,即,可得于是所求平面两个:,（1）时,有,即为已知平面。,（