数字电路第4章逻辑函数及化简

.,第四章逻辑函数及化简,2.6逻辑代数的公式及运算规则P35,Y=F(A,B,C,D,.),变量（逻辑变量）原变量A反变量逻辑函数逻辑表达式,Y=AB=AB,一.逻辑代数中的基本公式P35,分配律:A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C),分配律:A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C),求证:分配律第2条,逻辑代数及运算规则,互补律:,摩根定理,用真值表证明,证明:,7,逻辑代数八个基本定律,B：互补,A：公因子,A是AB的因子,返回,二、逻辑代数的常用公式,A的反函数是因子,与互补变量A相与的B、C是第三项,添加项,常用公式,需记忆,在任何一个逻辑等式（如FW）中，如果将等式两端的某个变量（如B）都以一个逻辑函数（如Y=BC）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规则。,3.运算规则,（1）代入规则,返回,利用代入规则可以扩大公式的应用范围。,（2）反演规则,运用反演规则时，要注意运算的优先顺序（先括号、再相与，最后或），必要时可加或减扩号。,反演变换：“”“”“”“”“0”“1”“1”“0”，原变量反变量反变量原变量,对任何一个逻辑表达式Y作对偶变换，可Y的对偶式Y。,（3）对偶规则,运用对偶规则时，同样应注意运算的优先顺序，必要时可加或减扩号。,对偶变换：“”“”“”“”“0”“1”“1”“0”,利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目减少一半。,互为对偶式,对偶定理：若等式Y=W成立，则等式Y=W也成立。,4.1逻辑函数及表示方法,1、真值表,真值表：是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格,例：举重比赛A、B、C三个裁判，判杠铃完全举起为成功，按一下按扭，只有当二个或二个以上裁判判明成功才表明成功，表决电路灯亮。,设认为杠铃举起为“1”，不举起为“0”，,表决电路灯亮为“1”，不灯亮为“0”。,真值表,10,01,真值表（四输入变量）,四输入变量，16种组合,逻辑函数的表示方法,2、逻辑表达式,逻辑表达式是用来表达描述输入、输出关系,3、逻辑图,逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。,4、波形图,波形图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。,5.卡诺图,4.3逻辑函数公式化简法,一、逻辑函数化间的意义用最少门和输入端来实现函数的功能二、化简标准经济、可靠、品种单一三、化简的方法1、代数法化简利用公式、定律、对逻辑函数化简2、卡诺图化简,P81,1、并项法,逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。,四.逻辑函数的代数化简,2、吸收法,运用摩根定律,（）利用公式，消去多余的项。,、配项法,（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。,、去消法,例1,例2,4.4逻辑函数卡诺图化简,一、最小项和卡诺图（1)定义：是一个与项（乘积项），它包含全部变量，并以原变量或反变量必须出现一次，而且仅出现一次。,例：,P83,(2).n个变量的函数最多有2n个最小例：Yf(A,B,C)为三变量，最多有238项,(3).最小项的编号把最小项中的原变量取1，反变量取0，所得的二进制的数值为最小项的编号。,三变量逻辑函数的最小项,（4）最小项的性质：,任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。,全部最小项的和必为1。即mi=1（i=02n-1）,任意两个不同的最小项乘积必为0,即mimj=0(ij)。,逻辑函数的表示方法,（5）最小项表达式,例将Y=AB+BC展开成最小项表达式。,解：,或：,将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做n变量的卡诺图。,(2).卡诺图的构成,AB,00,01,10,11,m0,m1,m2,m3,A,B,A,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,mi,AB,二变量K图,三变量K图,四变量K图,几何相邻：几何上邻接的小方格所代表的最小项只有一个变量是互为反变量,3变量的卡诺图有23个小方块；,几何相邻”：上下相邻，左右相邻，对角线上不相邻。,四变量卡诺图,（1）从真值表画卡诺图,例：已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。,逻辑函数Y的真值表,1.用卡诺图表示逻辑函数,二、卡诺图化简,卡诺图,利用摩根定律去掉非分配律去掉括号互补律补上所缺变量,（2）从最小项表达式画卡诺图,用卡诺图表示逻辑函数,将逻辑函数最小项表达式中每一项填入卡诺图为1，其余为0。,卡诺图是一张真值表，规定：以行为变量的高位以列作为变量的低位,Y,卡诺图的性质:,（1）任何两个（2i个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。,（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。,（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。,（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。,B,相邻最小项的数目必须为2n个才能合并为一项，并消去n个变量。包含的最小项数目越多，消去变量越多。,2.利用卡诺图化简卡诺图化简原则：,（2)每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。,（1)卡诺圈尽可能圈大，先圈大的，后圈小的，,（3)圈的个数尽量少。,(6)将每一个圈对应的与项进行逻辑加，即得到与或表达式。,(4)卡诺图中所有取值为“1”的方格均要被圈过，即不能漏下取值为“1”的最小项。,圈的面积尽可能大,圈的个数尽可能少,不合适,每个圈至少应包含一个新的最小项,【例1】用卡诺图化简逻辑函数F(A,B,C)=(1,2,3,6,7)的最简与或表达式。,解:1.画出函数F的三变量卡诺图。,2.把函数F表达中出现的最小项，在卡诺图对应小方格中填上1，其余方格填0(常不填)。,3.合并最小项。圈卡诺圈,F(A,B,C)=(1,2,3,6,7),4.写与或表达式,【例2】用卡诺图化简函数,解:根据最小项的编号规则,可知F=m3+m9+m11+m13。得卡诺图。,1,1,1,1,F=(A,B,C,D)=(0,2,3,5,7,8,9,10,11,12,13，14,15),例3,【例4】用卡诺图化简函数,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,不管C只要AB,例5：用卡诺图化简逻辑代数,解:,例6：用卡诺图化简逻辑代数,1,1,1,1,1,1,【例7】用卡诺图化简函数,解:从表达式中可知,F为四变量的逻辑函数，但有三项中缺少一个变量，不符合最小项的规定。因此，每个乘积项中都要将缺少的变量先补上。因为,1,化简得:,例9:,例10:,两点说明：,在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。,在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。,函数可以随意取值（可为0，也可为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为约束项，也叫做随意项或无关项。,1、约束项的含义,例如：判断一位十进制数是否为偶数。,2.6.4具有约束条件的逻辑函数的化简,输入变量A，B，C，D取值为00001001时逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。,A，B，C，D取值为10101111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于约束项。用符号“”、“”或“d”表示。,约束项之和构成的逻辑表达式叫做约束条件或随意条件，用一个值恒为0的条件等式表示。,约束条件,含有约束条件的逻辑函数可以表示成如下形式：,2、含约束项的逻辑函数的化简,在逻辑函数的化简中，充分利用约束项不可能出现条件,在化简过程中，约束项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如果约束项对化简有利，则取1；如果