数值模拟：第三讲 梁单元

. 3梁单元目标：掌握梁单元进行结构有限元分析的原理。 3.1简梁单元_直梁3.1.1、节点位移和节点载荷，图(a )对于直梁，根据结构和载荷情况分为3个段，每个段为一个单元。 设备之间和端点是节点。 3单元4节点。 梁的任意节点有两个位移分量：挠曲和拐角。任何节点I的位移由矩阵表示，并且是被称为节点I的节点位移。 根据节点位移成分，梁的任意节点I的载荷也有两个项：横力和弯矩，称为广义力。 称为节点I的节点载荷。 梁具有分布载荷时，近似等于节点。 任何节点I的载荷用列表示：3.1.2，简单梁单元的单元特性，单元有两个节点，节点的本地编号： I，j。 每个节点有两个位移分量，每个单元具有四个位移分量333到544的自由度的单元节点位移分量：分析从上述梁结构取出的典型梁单元e。 单元长度l、弹性模量e、截面惯性矩j。 小区节点位移阵列，称为小区e (向量)。 (1)单元的记述、构造中的一个单元一般在节点处的截面中，将从构造的其他部分作用于梁单元的力称为单元节点力。 每个节点2个节点的力成分：剪切力q、力矩m (分别对应节点的2个位移成分)。 单元节点力成分：被称为单元e的单元节点力矩阵(向量)。 注意：如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与局部坐标轴的正方向一致。 因此，节点力正方向和材料力学中的内力正方向的定义不同！ 节点力是梁中的内力，节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。 (参见1115行)，(2)单元的特性研究表明，结构中的一个梁单元的变形由节点位移决定，对于受到一个载荷平衡的单元，一定的节点位移始终与一定的节点力相关联，该关系为单元的弹性特性(刚性特性)。 以下，根据材料力学的结果和单元刚度矩阵的性质确立梁单元的特性，前面的分析表明，在弹性、小变形的前提下，单元保持平衡时的节点力与节点位移之间存在线性关系，以矩阵形式简称：梁单元的刚度方程式：上式中为单元刚度矩阵为方便起见，节点力和节点位移分量由新符号表示，刚性方程表示：为了分析小区刚性矩阵元素的物理意义，在上述方程中： (其中，1、2、3、4为小区自由度编号)，某列的刚性系数对应的节点位移分量为1，其他位移分量全部为0时的节点力分量小区刚性矩阵元素的物理意义，如果根据刚性方程式得到的当前刚性矩阵的物理意义设为刚性系数：则梁单元的变形为右图： 根据材料力学梁的变形求节点力：挠曲：角：用联立求解：根据梁单元的静力平衡条件：迄今为止刚性矩阵的第一列元素。重新设定：梁单元的变形由右图：刚性方程式得出：同样，从梁的变形形式和平衡条件用刚性矩阵的第二列元素：同样的方法求出其馀的两列元素，从而求出单元刚性矩阵：很明显，与弹簧和棒单元一样，该梁单元的刚性矩阵具有以下性质2 )特性3 )主对角要素为恒正。 求刚度矩阵可完全确定单元格的特性。(3)单元刚性方程式的区块，采用矩阵区块方法和运算规则，按节点区块梁单元的刚性方程式。 小区节点输入矩阵块、小区节点位移矩阵块、块形式的小区刚度矩阵：每一子块是21个子阵列。 另外，因为每一子块为22子矩阵，单元刚性方程式的块格式为：上述方程式以块格式展开，两个向量方程式(总共四个代数方程式):上述方程式以块格式表示的单元节点力与节点位移的关系在结构的整体分析中变得更简洁。、3.1.3、离散结构总体分析、已知块形式各单元特性：离散结构各节点作为隔离体，分析其输入平衡。 以单元节点力的反作用力、外负荷、单元节点力、单元节点力、节点2为例，分析其受力与平衡。 节点2的受力如下：1)外部负载：2)单元(1)与(2)上节点力的反作用力：根据节点2的静力平衡条件：单元节点力的反作用力、外部负载、单元节点力、单元节点力、节点2的外部负载等于节点2对所有连结单元的节点力之和，即、将先前给出的单元(1)、(2)的块形式的单元刚度方程式代入节点2的平衡方程式：同样，从节点3的平衡中得出：从节点1、4的平衡中得出：以上4个节点的平衡方程式结合成矩阵形式得出： (学生们放学后练习显然，结构总刚度矩阵也可以从各单元刚度矩阵整体扩大并重叠，方法与前述弹簧单元和杆单元相同。 由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中其所具有的性质(对称、奇异、主对角元素常数正)不变，因此整个结构的刚度矩阵仍然保持着这些性质。 因为总刚性矩阵有很多零要素，所以矩阵有稀疏性。 非零元素沿主对角线呈带状分布(节点编号是否满足一定条件？ 中所述情节，对概念设计中的量体体积进行分析。 总之，根据前弹簧、直杆和这里的梁结构有限元总刚度矩阵的特征，可以初步总结结构有限元总刚度矩阵的性质：1)对称性2 )奇异性3 )稀疏性4 )非零元素的带状分布、结构总刚度矩阵的讨论、 关于结构有限元的平衡方程的讨论，平衡方程左边的总刚度矩阵与位移矩阵的乘积等于结构中每一节点的总节点力，因此每一子块的每一行代表节点位移对该行的总节点力的贡献。 平衡方程的右端是各节点的外载荷。 因此，有限元平衡方程表示系统中每个节点受到的外部载荷与受到的单元的反作用力之和之间的平衡。 对于特定的结构，方程式中必须存在与已知位移相对应的未知载荷(反作用力)，因此在求解平衡方程式之前需要进行约束处理，分离求解与未知位移相关的方程式。 然后，利用求出的位移，从剩馀方程式求出反作用力。3.2平面内普通梁单元、模拟、平面刚架、拉伸、弯曲组合、单元变形特征、节点位移分量、节点载荷分量、平面梁单元、结构节点位移、结构节点载荷、节点自由度： 3，3.2.2、单元与节点、建立两者的关系3.2.2、局部坐标系中平面梁单元中有2个节点： I的j局部坐标系下节点位移成分：轴向位移：横向位移：拐角：局部坐标系下节点力成分：轴向力：横向剪切力：弯矩：元素中有6个位移成分的6自由度元素节点位移列：元素节点力列：，元素特性方程式分别研究了两种变形模式下的刚度特性。 利用前面学到的棒单元与简单梁单元的节点力和节点位移关系(单元刚性方程)进行联立，整理成矩阵形式，得到以下组合变形下的平面梁单元刚性方程式：上述刚性方程式为：块形式：中：刚性矩阵的一个子块： 3.2.3、全坐标系下刚性矩阵坐标变换、局部坐标系下的节点位移：全坐标系下的节点位移：节点位移向量坐标变换：考虑到节点的角度不变，节点变换矩阵：省略、节点坐标变换矩阵、节点输出向量和节点位移向量表示相同的坐标变换关系，单元刚性矩阵的坐标变换：将节点位移和节点力矢量坐标变换式代入局部坐标系的单元刚性方程式：3.2.4，平面刚架的整体分析，平面刚架整体分析的原理与弹簧系统，桁架，直梁的整体分析相同。 从每个节点的外部载荷与结构的节点力之间的平衡推导出系统的平衡方程式。 引入制约来解决。 总刚度矩阵通过整体坐标叠加各单元刚度矩阵得到：整体平衡方程：3.3三维空间梁单元概述，3.3.1单元功能：模拟3.3.2单元的特性分析，基本思路与平面梁单元相同：首先在局部坐标系中创建单元特性描述，转换为整体坐标系下局部坐标系中的节点位移：单元有12个自由度，全局坐标系中的节点位移：局部坐标系中的单元刚度特性分析，三维梁单元的变形模式是轴向拉伸，两个主平面内弯曲，扭曲变形的组合。 前面建立了局部坐标系下杆、简梁的单元特性方程。 利用材料力学中的扭转理论，以相同的原理得到了下列局部坐标系中的单元扭转刚度方程：在小变形条件下，上述变形互不耦合包括拉伸刚性矩阵、简单梁刚性矩阵、扭转刚性矩阵。将上述3种刚性矩阵组合起来，可以得到三维梁单元局部坐标系的单元刚性矩阵。通过单