模糊数学讲义第一章

第一章预备知识,一、集合,二、关系,三、映射与代数系统,五、一些特殊格,四、格,一、集合,1.集合的有关概念,相等:,空集:,不含任何元素的集合,幂集:,X的所有子集的集合称为X的幂集,记为P(X),子集:,真子集:,2.集合的运算(set-theoreticoperations),例如：,表“或”,表“且”,表“非”,.集合的运算的性质,(1)幂等律(idempotence),(2)交换律(commutativity),(3)结合律(associativity),(4)吸收律(absorptionlaws),(5)分配律(distributivity),(6)存在最大最小元,(7)复原律(involution),(8)DeMorgan律（对偶律）,(9)补余律(complementation),28页,推广：,规定：,分配律、对偶律等可推广,4.集合的特征函数(characteristicfunctionofaset),证：,类似可得：,证：,推广：,二、关系(Relations),1.卡氏积(Cartesianproduct),称为,例2.1,例2.2,R表示实数集，,2.关系的概念,注从X到Y的关系与从Y到X关系不同。,例2.3,例2.4,特殊关系：,（1）空关系：,（2）全关系：,（3）恒等关系：,3.关系的运算,例2.5,合成的实际意义。,特别地,4.特征关系,称为R的特征关系。,5.等价关系与划分（EquivalencerelationsandPartition),则称是R一个X上的等价关系。,例2.6,等价类：,定理：若R是X上的等价关系，则：,证明:(1)显然。,由等价关系所确定的等价类的全体构成X的一个划分,6.有限论域上的关系,将R写成矩阵：,行数X中元素个数,列数Y中元素个数,对例2.3,各种运算可在矩阵中进行,三、映射与代数系统,1.映射(mapping),记号：,例3.1,例3.2,象与原象:,例如:,2.映射的合成,2.特殊映射,单射(injection)：,满射(surjection)：,双射(bijection)：,注1.单射或满射的概念与集合有关.例如:,注2.双射为1-1对应.,例3.3,证明:,2.代数系统(algebraicsystems),运算:,例如：,代数系统:,例3.4,类似地,3.代数系统的同态(homomorphism)与同构(isomorphism),例3.5,证明：,由例3.3知:f为双射.,？,类似：,集合与X到0,1的映射在数学上可视为相同的.,四、格,1.偏序集(partiallyorderedset或poset),(1)自反性：,(2)反对称性：,(3)传递性：,例如：,例4.1,2.偏序集中的界,例如:,证：,例4.2,例4.3,注:一个集合的上、下界可能有多个，也可能不存在.,3.上、下确界性质：,证明：,另一方面，,4.格(Lattices),均存在，,例如：,定理4.1,则有：,(1)幂等律：,(2)交换律：,(3)结合律：,(4)吸收律：,证明：,(1)(2)是显然的,定理4.2,证明：,反过来，,类似可证：,两者之间联系：,五、一些特殊的格,1.分配格(distributivelattice):,满足下列分配律,2.有界格(boundedlattice),3.完全格(completelattice),4.完全分配格(completelydistributivelattice),5.软代数(softalgebra),6.布尔代数(Booleanalgebra),例5.1,集合性质,例5.2,例5.3,证明：,不可能.,注意:,引理5.1在一个布尔代数中，,证明：,定理5.3布尔代数一定是软代数。,证明：,=1,类似：,由引理知：,同理可得：,7.优软代数(superiorsoftalgebra),例如：,(0,1,c)是优软代数，非布尔代数,小结,格：幂等、