天津市第一中学2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）

天津市第一中学2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：(每小题3分，共24分）1.在复平面上，复数对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接把给出的复数写出代数形式，得到对应的点的坐标，则答案可求。【详解】由题意，复数，所以复数对应的点的坐标为位于第一象限，故选A。【点睛】本题主要考查了复数的代数表示，以及复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的代数形式和复数的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。2.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得，即可求得，再求得，利用交集运算得解.【详解】由得：或，所以，所以由可得：或所以所以故选：B【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，还考查了补集、交集的运算，属于基础题.3.设函数（e为自然底数），则使成立的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可得：，结合充分、必要条件的概念得解.【详解】 解得：又“”可以推出“”但“”不能推出“”所以“”是“” 充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查了等价转化思想及充分、必要条件的概念，属于基础题。4.设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】分析：对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得到不等式的解集，然后利用充分条件与必要条件的定义判断即可.详解：，当时，化为，解得；当时，化为，即，解得；当时，化为，解得，综上可得：的取值范围是，“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将含绝对值不等式解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由指数函数的性质可得：，整理可得：，再利用即可判断，问题得解.【详解】且，所以.故选：C【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，还考查了对数的运算及性质，考查计算能力及转化能力，属于中档题。6.已知函数，则使得成立的的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知可得：是偶函数，当时，在为增函数，利用的单调性及奇偶性将转化成：，解得：，问题得解.【详解】因为所以是偶函数.当时，又在为增函数，在为减函数所以在为增函数所以等价于，解得：故选：A【点睛】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的应用，还考查了转化思想及函数单调性的判断，属于中档题。7.已知函数，若、，使得成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】对的范围分类讨论，当时，函数在上递增，在上递减，即可判断：、，使得成立. 当时，函数在上单调递增，即可判断：一定不存在、，使得成立，问题得解.【详解】当时，函数在上递增，在上递减，则：、，使得成立.当时，函数在上递增，在也递增，又，所以函数在上单调递增，此时一定不存在、，使得成立.故选：B【点睛】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数单调性的判断，属于难题。8.已知函数，若方程在上有两个不等实根，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】对的范围分类，即可将“方程在上有两个不等实根”转化为“在内有实数解，且方程的正根落在内”，记，结合函数零点存在性定理即可列不等式组，解得：，问题得解。【详解】当时，可化为：整理得：当时，可化为：整理得：，此方程必有一正、一负根.要使得方程在上有两个不等实根，则在内有实数解，且方程的正根落在内.记，则，即：，解得：.故选：C【点睛】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数零点存在性定理的应用，还考查了计算能力及分析能力，属于难题。二、填空题：(每小题4分，共24分)9.已知为实数，若复数是纯虚数，则_【答案】-3【解析】【分析】利用复数的除法、乘法运算整理可得：，利用复数是纯虚数列方程可得：，问题得解。【详解】若复数是纯虚数，则解得：故填：【点睛】本题主要考查了复数的乘法、除法运算，还考查了纯虚数的概念及方程思想，属于基础题。10.设全集，集合，则_【答案】【解析】【分析】利用已知求得：，即可求得：，再利用并集运算得解.【详解】由可得：或所以所以所以故填：【点睛】本题主要考查了补集、并集的运算，考查计算能力，属于基础题。11.“，”的否定是_【答案】，使得【解析】【分析】直接利用全称命题的否定得解.【详解】“，”的否定是：“，使得”【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题。12.函数的值域为_【答案】【解析】【分析】对的范围分类，即可求得：当时，函数值域为：，当时，函数值域为：，再求它们的并集即可。【详解】当时，其值域为：当时，其值域为：所以函数的值域为：【点睛】本题主要考查了分段函数的值域及分类思想，还考查了指数函数及对数函数的性质，考查计算能力及转化能力，属于中档题。13.已知函数，若，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】对的范围分类讨论函数的单调性，再利用可判断函数在上递增，利用函数的单调性将转化成：，解得：，问题得解.【详解】当时，它在上递增，当时，它在上递增，又所以在上递增，所以可化为：，解得：.所以实数的取值范围是故填：【点睛】本题主要考查了分类思想及函数单调性的应用，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题。14.已知函数的图像经过第二、三、四象限，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用函数的图像经过第二、三、四象限可得：，整理可得：，再利用指数函数的性质即可得解.【详解】因为函数的图像经过第二、三、四象限，所以，解得：又又，所以，所以所以，所以的取值范围是【点睛】本题主要考查了指数函数的性质及计算能力、分析能力，还考查了转化能力，属于中档题。三、解答题：(共5题，52分)15.某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数(1)请列出X的分布列；(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率【答案】（1）X01234P （2）【解析】试题分析：（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望（2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4所以X的分布列为：X01234P （2）由分布列可知至少选3名男生，即P（X3）=P（X=3）+P（X=4）=+=点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力16.从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则实验结束(1)求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率；(2)记实验次数为X，求X的分布列及数学期望【答案】（1）；（2）的分布列为1234【解析】试题分析：解：（I）4分（II）；X的分布列为X1234P12分14分考点：本试题考查了古典概型和分布列的运用。点评：对于古典概型的问题，主要是理解试验的基本事件空间，以及事件发生的基本事件空间利用比值来求解概率，结合排列组合的知识得到。而分布列的求解关键是对于各个概率值的求解，属于中档题。17.已知函数在处取得极值(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在区间上恰有两个丌同的实数根，求实数b的取值范围【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（）函数，对其进行求导，在处取得极值，可得，求得值；（）由知，得令则关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，转化为上恰有两个不同实数根，对对进行求导，从而求出的范围；【详解】（）时，取得极值，故解得.经检验符合题意。（）由知，得 令 则在上恰有两个不同的实数根， 等价于上恰有两个不同实数根. 当时，于是上单调递增； 当时，于是在上单调递增； 依题意有 .【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性以及方程 的实数根问题，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，属中档题18.已知椭圆：的焦距为，其上下顶点分别为、，点，(1)求椭圆的方程；(2)点P的坐标为，过点A任意作直线与椭圆相交于M、N两点，设直线、的斜率依次成等差数列，探究m、n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m、n的关系式，并证明；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2），详见解析【解析】分析】（1）设，求得，利用列方程可得：，即可求得：，利用椭圆：的焦距为可求得：，问题得解.（2）对直线是否与轴重合分类，当直线与轴重合时，利用直线、的斜率依次成等差数列列方程整理可得：，当直线与轴不重合时，设直线方程为，联立直线与椭圆方程可得：，可得：，由直线、的斜率依次成等差数列可得：，整理得：，将，代入整理可得：，整理得：，问题得解.【详解】（1）设，则，即：解得：，又椭圆：焦距为，所以，解得：所以所以椭圆方程为（2）当直线与轴重合时，不妨设，因为直线、的斜率依次成等差数列，所以，可得，当直线不与轴重合时，设直线方程为，联立直线与椭圆方程可得：，整理得：，所以又， ，由直线、的斜率依次成等差数列可得：，所以，将，代入整理可得：，将代入上式整理得：，综上所述：【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了向量垂直的坐标关系及方程思想，还考查了韦达定理及等差数列的应用，考查计算能力、转化能力，属于难题。19.已知函数，(1)若，证明：函数是上减函数；(2)若曲线在点处的切线不直线平行，求a的值；(3)若，证明：(其中是自然对数的底数)【答案】（I）详见解析；（II）；（III）详见解析.【解析】试题分析：(1)由题意二次求导可得，函数是上的减函数.(2)利用题意