数学模型-教学在线-台州学院ppt课件

数学模型,台州学院数信学院xiazhile,第一章建立数学模型,本章是全书的导言和数学模型的概述，主要讨论建立数学模型的意义、方法和步骤，使得我们可以对建立数学模型有一个全面的、初步的了解。,1.1什么是数学模型1.2数学建模的重要意义1.3数学建模示例1.4数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特点和分类1.6数学建模能力的培养,第一章建立数学模型,1.1什么是数学模型,原型和模型,原型：指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。,模型：为了某个特定目的将原型的某一部分信息检索、提炼而构造的原型替代物。,也可以说模型是为了一定目的，对原型的主要特征进行简化、抽象得到的一个低代价近似替代物。,玩具、照片、房屋模型,实物模型,地图、电路图、分子结构图,符号模型,你常见的模型,需要强调的是：构造模型的目的性，模型不是原型原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的哪些方面和层次。模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。,根据模型替代原型的方式可以对模型进行分类：,我们这门课程主要研究数学模型，那么，什么是数学模型呢？,解：用x表示船速，y表示水速，列出方程：,答：船速每小时20千米/小时.,甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?,x=20y=5,你熟悉的数学模型“航行问题”,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20,y=5）；,用这个答案解释原问题（船速每小时20千米/小时，水速每小时20千米/小时）；,航行问题建立数学模型的基本步骤,最后还要用实际现象来验证上述结果。,对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,建立数学模型的全过程简称为数学建模或建模。,数学模型(MathematicalModel),数学建模（MathematicalModeling),数学模型和数学建模,你身边的数学模型：购房贷款,作为房产公司的代理人，你要迅速准确回答客户各方面的问题。现在要制作一个软件，根据客户所选房屋的建筑面积、每平方米单价、首付比例，贷款种类、贷款期限、还款方式等信息计算下列信息：房款总额、首付款额、月还款额等。,NEW,等额本息还款方式是在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)，这样由于每月的还款额固定，可以有计划地控制家庭收入的支出，也便于每个家庭根据自己的收入情况，确定还贷能力。等额本金还款方式是将本金每月等额偿还，然后根据剩余本金计算利息，所以初期由于本金较多，将支付较多的利息，从而使还款额在初期较多，而在随后的时间每月递减，这种方式的好处是，由于在初期偿还较大款项而减少利息的支出，比较适合还款能力较强的家庭。,准备工作：,分析与假设,贷款种类:1商业2公积金3组合(一般)还款方式:等额本息,等额本金假设首付比例、贷款期限符合政府规定假设自借款日一个月后，每月固定时间还款不考虑贷款利率的变化（当前计算结果贷款利率改变以后失效）,数学建模,房款总额T=建筑面积S每平方米单价R首付款额F=房款总额T首付比例p考虑组合贷款(其他为特例)。设公积金贷款AT-F元，那么商业贷款为B=T-F-A元设后台变量：公积金贷款N1月，年利率r1，商业贷款N2月，年利率r2。,月还款额怎么算？,等额本息情形,设公积金月还M元，第n个月公积金贷款欠款xn.那么xn=xn-1(1+r1/12)-M,计算得xn=xn-2(1+r1/12)2-M(1+r1/12)-M=x0(1+r1/12)n-M(1+r1/12)n-1+1由于x0=A,xN1=0.那么A(1+r1/12)N1-12M(1+r1/12)N1-1/r1=0这样M=Ar1(1+r1/12)N1/12/(1+r1/12)N1-1同理可以计算商业贷款月还款额,第n月还款额公式,等额本金情形,月还本贷款本金还款月数，利息月月清月还款额（贷款本金还款月数）（所欠本金当月利率）第一个月公积金月还A/N1+Ar1/12第二个月公积金月还A/N1+(A-A/N1)r1/12第三个月公积金月还A/N1+(A-2A/N1)r1/12.第N1个月公积金月还A/N1+A1-(N1-1)/N1r1/12,第n月还款额公式,后继工作/例子,编写软件(界面计算)写说明书例子:100平米,单价5000元,首付20%,公积金10万,期限120月,商业利率7.83%*0.85(第一套),公积金利率5.22%(2007年12月21日以后).T,F,M=hmorgage08(100,5000,0.2,100000,120,120,1)等额本息(1):4502元/月(总还54万)等额本金(2):5432，5415，,3351元/月(总还52.7万),计算机技术的飞速发展；,数学向各应用领域渗透。,数学建模作为用数学方法解决实际问题的关键一步，越来越受到人们的重视。,数学建模+计算机技术高新技术领域的利器,1.2数学建模的重要意义,数学建模：数学与实际问题的桥梁,数学建模:应用数学知识解决实际问题的第一步数学建模:通常有本质性的困难和原始性的创新(关键一步)PureMathvsAppliedMath:LogicvsProblemDriving“源”（Motivation）远“流”（Impact）长,实际问题,数学,MathematicalModeling,数学建模进入大学课堂数学建模培养学生的创新能力与综合素质,数学建模课程及数学建模竞赛的发展,数学建模教学和竞赛发展的三个阶段20世纪80年代20世纪90年代21世纪的8年,1.数学建模进入大学课堂,科技进步与社会发展的需要,科技进步与社会发展的需要,作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模有与数学同样悠久的历史。,20世纪科技进步与社会发展对数学建模的推动,数学不仅在工程技术领域继续发挥作用,而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、人口、交通等领域渗透，为数学建模开拓了许多新的领地；,计算机技术和数学软件的迅速发展，为数学建模的应用提供了强有力的工具。,科技进步与社会发展的需要,数学是一种关键的、普遍的、可应用的技术,数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分,数学建模和与之相伴的科学计算正在成为众多领域中的关键工具,教育尤其是高等教育必须反映并满足社会发展的需要,数学建模教学和竞赛发展的三个阶段,80年代初开始进入少数大学课堂1987年出版国内第一本教材姜启源编数学模型1986年和1988年举办了两次全国性的数学建模教学讲习、研讨班80年代末国内有3040所学校开课（基本上在数学）80年代末形成了课程的基本内容和案例教学的基本教学方式1989年我国学生开始参加美国大学生数学建模竞赛,20世纪80年代,数学建模教学和竞赛发展的三个阶段,20世纪90年代,1992年开始的全国大学生数学建模竞赛的迅速发展促进了数学建模教学的开展90年代末开课的学校至少有三四百所授课对象由数学专业向理工、经管等各个专业推广出版了约四十本教材各校针对具体情况相对稳定了教学内容和方法,数学建模教学和竞赛发展的三个阶段,21世纪的8年,计算机技术及数学软件的飞速发展和普及，为改进、丰富数学建模课程的内容提供了条件全国大学生数学建模竞赛发展进入新阶段，与数学建模教学相互促进将数学建模的思想和方法融入数学主干课的研究和实践，推动着数学建模教学的进一步发展出版了约一百多本教材和参考书数学实验课的开设给数学建模课提出了新课题,2.数学建模培养学生的创新能力与综合素质,数学建模课程旨在培养学生“用数学”的能力,数学建模竞赛是国内高校中历史最久、举办届数最多、规模最大的学科竞赛,数学建模竞赛宗旨:创新意识团队精神重在参与公平竞争,数学教育本质上是一种素质教育,数学教育应该培养学生两种能力：“算数学”（计算、推导、证明）和“用数学”（实际问题建模及模型结果的分析、检验、应用）,数学建模课程的特点：引起注意激发兴趣介绍方法培养能力,数学建模课程旨在培养学生“用数学”的能力,美国大学生数学建模竞赛(MathematicalContestinModelingMCM),1985年开始举办，每年一次(2月),我国学生1989年开始每年参加,MCM-2008有约10国(地区)1164队参赛，其中我国占73%;ICM-2008有380队参赛，其中我国占93%,每年赛题和优秀答卷刊登于同年UMAP杂志,1999年起又同时推出交叉学科竞赛（InterdisciplinaryContestinModelingICM),网址：,美国MCM+ICM竞赛规模,我国大学生数学建模竞赛（CUMCM）,1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织,1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月),2008年有31省(市、区）的1022所学校12836队参加,网址：,奖励：全国一等奖（约2%）、全国二等奖（约7%）教育部高教司和CSIAM共同签章,1999年起竞赛分为甲组(本科)、乙组(高职高专组),优秀论文刊登于次年工程数学学报（2000年前为数学的实践与认识）,我国CUMCM竞赛规模,参赛同学大多数来自工程、经管等非数学专业,17年来直接参加全国竞赛的学生超过23万人；至少有200万名学生在竞赛的各个层面上得到培养锻炼,在竞赛推动下学校普遍开设数学建模课程,地区性、行业性的数学建模联赛（或邀请赛）,同学们自发组织数学建模协会,两次全国性的大学生数学建模夏令营（2001，2006）,数学建模竞赛受益面不断扩大,许多学校举办校内竞赛或选拔赛,内容,赛题：工程、管理中经过简化的实际问题,答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求解(通常用计算机)、结果分析和检验等的论文,形式,3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛,可使用任何“死”材料(图书/互联网/软件等),但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论）,宗旨,创新意识团队精神重在参与公平竞争,标准,假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。,数学建模竞赛内容与形式,数学建模竞赛CUMCM近年题目,CUMCM题目特点,题目来源:实际研究课题的简化、改编；有实际背景问题的编撰；合适的社会热点（或兴趣）问题,题目背景尽量通俗易懂，涉及的专业知识不深,题目需要的数学知识一般不超过本科的三门主干课（非数学专业）内容及统计、优化、计算等基本方法；专科题目力求少用大学数学内容,解题所用的数学方法尽量多元化、综合化,可以查阅到一些参考材料，但是无法照搬现成文献,兼顾数据的处理与数据的收集,竞赛培养创新精神和综合素质,赛题紧密结合科技和社会热点问题，培养理论联系实际的学风和实践能力,解决方法没有任何限制，培养主动学习、独立研究的能力,没有事先设定的标准答案，留有充分余地供同学们发挥聪明才智和创造精神,综合运用学过的数学知识和计算机技术(选择合适的数学软件)通过数学建模分析、解决实际问题的能力,三天内自由地使用图书馆和互联网，培养同学在短时间内获取与赛题有关知识的能力,分工合作、取长补短、求同存异、同舟共济，培养同学的团队精神和组织协调能力,完成一篇用数学建模方法解决实际问题的完整的科技论文，培养同学的文字表达能力,竞赛培养创新精神和综合素质,在三天开放型竞赛中自觉遵守纪律，培养诚信意识和自律精神,数学建模竞赛是大学阶段除毕业设计外难得的一次“真刀真枪”的训练，相当程度上模拟了学生毕业后工作时的情况丰富、活跃了广大同学的课外生活为优秀学生脱颖而出创造了条件,竞赛培养创新精神和综合素质,数学建模竞赛的赛后效果,竞赛三阶段:赛前培训、三天竞赛、赛后继续,2004年的“饮酒驾车”赛题是让学生分析、估计司机饮用少量酒后多长时间驾车才符合交通规则,重庆某校师生与当地交警大队联系，由交警大队安排司机做试验，由师生分析：根据司机肇事时的血液酒精浓度推测他饮用了多少酒；根据司机肇事若干时间后的血液酒精浓度推测他肇事时的浓度,该成果参加第九届“挑战杯”全国大学生课外学术科技作品竞赛并获奖,2006年赛题“出版社的资源配置”由高教社提供的素材形成,赛后高教社批准了与该题相关的研究项目，吸取竞赛优秀论文的创意和一些大学生参加，进行实用研究,“一次参赛，终生受益”,学生在学习专业课、毕业设计阶段及进入社会后的发展中表现出明显的优势，不少人免试读研，得到用人单位和研究生导师的普遍欢迎,数学建模竞赛的赛后效果,竞赛反响一例：IBM中国研究中心-招聘条件3Awardinmathematicalcontestinmodelingisaplus,咏数学建模,数学精微何处寻,纷纭世界有模型.描摹万象得神韵,识破玄机算古今.岂是空文无实效,能生妙策济苍生.经天纬地展身手,七十二行任纵横.,椅子能在不平的地面上放稳吗?,问题分析,模型假设,通常三只脚着地,放稳四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,1.3数学建模示例：椅子问题,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C两脚与地面距离之和f(),B,D两脚与地面距离之和g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD绕O点旋转,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f(),g()是连续函数,对任意,f(),g()至少一个为0,数学问题,已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()g()=0;且g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,证明,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)0，知f(/2)=0,g(/2)0.令h()=f()g(),则h(0)0和h(/2)0,设F()=a()+b()+c()-d(),那么F(0)=a(0)+b(0)+c(0)-d(0)0,根据连续函数介质定理,存在0,使得F(0)=0.又至少三个0,所以第四个也0,商人们怎样安全过河,问题(智力游戏),3名商人3名随从,随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,S允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk,vk)决策,D=(u,v)u+v=1,2允许决策集合,uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=skdk,+(-1)k,状态转移律,求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法编程上机,图解法,状态s=(x,y)16个格点,允许决策移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.,s1,sn+1,d1,，d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,认识人口数量的变化规律,控制人口过快增长,数学建模示例：人口的增长,人类社会在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长。,连续时间马尔萨斯指数增长模型(1798),离散时间模型,x(t)时刻t的人口,基本假设:人口(相对)增长率r是常数(r很小),今年人口x0,年增长率r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,参数x0,r的估计,线性化拟合(姜P10-P11，1790-2000)变换lnx=lnx0+rt，解线性方程组数据的选择长期数据中期数据短期数据,r=0.2022，x1790=6.045，x2000=442.1,程序jye11c,长期数据拟合(1790-2000),r=0.2080，x1790=5.8160，x2000=458.6648,程序jye11c,中期数据拟合(1860-1990),r=0.1563，x1860=37.1889，x2000=331.5627,程序jye11b,短期数据拟合(1900-1990),r=0.1308，x1900=79.844，x2000=295.3584,程序jye11a,不同的拟合方法,直接利用x0数据，仅拟合r？试一试非线性最小二乘拟合？试一试,指数增长模型的局限性,可用于短期人口增长预测,不能预测较长期的人口增长过程,怎样改进？,仔细分析发现：人口增长率r不是常数(逐渐下降),阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境条件等因素对人口增长起着阻滞作用。,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,x(t)S形曲线,x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,阻滞增长模型(Logistic模型),阻滞增长模型非线性拟合(1860-1990数据),r=0.1998，x1860=35.9655，xm=480.59,x2000=274.08,程序jye15b,预测方法,全局方法：直接用拟合函数x2000=274.08局部方法：在1990数据上修正,实际为281.4(百万)，误差约2.5%,模型验证,比较不同方法对2000年预测结果的精度，选定最佳组合模型：Malthus或Logistic拟合：长期、中期、短期等预测：全局或局部方法,阻滞增长模型短期拟合(1900-1990),r=0.1646，x1900=77.7659，xm=745.76,x2000=280.6681,程序jye15a,模型检验,实际为281.4(百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,模型推广：Logistic模型在经济领域和生物领域中的应用,阻滞增长模型(Logistic短期模型),参考阅读：美国2008年人口估计是305(百万)-wikipedia,数学建模的基本方法,机理