广东省珠海市2020学年高二数学下学期期末学业质量监测试题 理（含解析）

珠海市20202020学年高二下学期期末学业质量监测数学理试题试卷满分为150分，考试用时120分钟考试内容：选修2-2、选修2-3一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）1.已知，的实部与虚部相等，则（）A. -2B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】利用待定系数法设复数z，再运用复数的相等求得b.【详解】设 （），则 即 .故选C.【点睛】本题考查用待定系数法，借助复数相等建立等量关系，是基础题.2.函数在处的切线与直线:垂直，则（）A. -3B. 3C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用求导运算得切线的斜率，再由互相垂直的两直线的关系，求得的值。【详解】 函数在（1，0）处的切线的斜率是 ，所以，与此切线垂直的直线的斜率是 故选A.【点睛】本题考查了求导的运算法则和互相垂直的直线的关系，属于基础题3.若随机变量满足，且，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二项分布的数学期望和方差求解.【详解】由题意得： 解得： ，故选A.【点睛】本题考查二项分布的数学期望和方差求解，属于基础题.4.若函数的图像如下图所示，则函数的图像有可能是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的增减性与其导函数的正负之间的关系求解。【详解】由 的图象可知：在 ，单调递减，所以当时，在 ，单调递增，所以当时，故选A.【点睛】本题考查函数图象的增减性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题.5.如图所示阴影部分是由函数、和围成的封闭图形，则其面积是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据定积分的几何意义得到阴影部分的面积。【详解】由定积分的几何意义可知：阴影部分面积故选B.【点睛】本题考查定积分的几何意义和积分运算，属于基础题6.某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表男女总计好402060不好203050总计6050110由得，.根据表0.0500.0100.0013.8416.63510.828得到下列结论，正确的是（）A. 有以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”B. 有以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”【答案】C【解析】【分析】根据独立性检验的基本思想判断得解.【详解】因为 ，根据表可知；选C.【点睛】本题考查独立性检验的基本思想，属于基础题.7.已知结论：“在正三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，或是二维变三维；由题目中“在正三角形ABC中，若D是边BC中点，G是三角形ABC的重心，则AG：GD=2：1”，我们可以推断：“在正四面体ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面体ABCD的中心，则AO：OM=3：1”故答案为：“在正四面体ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面体ABCD的中心，则AO：OM=3：1”8.从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有()种A. 1190B. 420C. 560D. 3360【答案】B【解析】【分析】根据分类计数原理和组合的应用即可得解.【详解】要求参赛的3人中既有男生又有女生,分为两种情况：第一种情况：1名男生2名女生，有 种选法；第二种情况：2名男生1名女生，有种选法，由分类计算原理可得.故选B.【点睛】本题考查分类计数原理和组合的应用，属于基础题.9.从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件：取到两数之和为偶数，事件：取到两数均为偶数，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件概率公式可得解.【详解】事件分为两种情况：两个均为奇数和两个数均为偶数，所以，由条件概率可得：，故选D.【点睛】本题考查条件概率，属于基础题.10.已知13个村庄中，有6个村庄道路在维修，用表示从13个村庄中每次取出9个村庄中道路在维修的村庄数，则下列概率中等于的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的概率公式可得解.【详解】由 可知选D.【点睛】本题考查古典概型的概率公式，容易误选B，属于基础题.11.直线：，所得到的不同直线条数是（）A. 22B. 23C. 24D. 25【答案】B【解析】【分析】根据排列知识求解，关键要减去重复的直线.【详解】当m,n相等时，有1种情况；当m,n不相等时，有 种情况，但 重复了8条直线，因此共有条直线.故选B.【点睛】本题考查排列问题，关键在于减去斜率相同的直线，属于中档题.12.凸10边形内对角线最多有( )个交点A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】根据凸边形内对角线最多有个交点的公式求得.【详解】凸边形内对角线最多有 个交点，又 ，故选D.【点睛】本题考查凸边形内对角线最多有个交点的公式，属于中档题.二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）13.若，则_【答案】【解析】【分析】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案.【详解】故答案为.【点睛】本题考查导数的概念，属于基础题.14.，其共轭复数对应复平面内的点在第二象限，则实数的范围是_【答案】【解析】【分析】根据共轭复数对应的点所在的象限，列出不等式组求解.【详解】由已知得：，且在第二象限，所以： ，解得： ，所以故答案为 .【点睛】本题考查共轭复数的概念和其对应的点所在的象限，属于基础题.15.若的展开式中，常数项为5670，则展开式中各项系数的和为_【答案】256【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得 ，再用赋值法求出各项系数的和.【详解】由二项式的展开式的通项公式得 ，则 所以所以所以再令得展开式中各项系数的和故答案为【点睛】本题考查二项式展开式中的特定项和各项系数和，属于中档题.16.若，则_【答案】【解析】【分析】利用导数的运算法则即可求解.【详解】由求导运算法则得： ，所以故答案为.【点睛】本题考查导数的运算法则，关键复合函数求导，属于中档题.17.正态分布三个特殊区间的概率值,若随机变量满足，则_【答案】0.1359【解析】【分析】根据正态分布，得出其均值和方差的值，根据的原则和正态曲线的对称性可得.【详解】由题意可知，故答案为【点睛】本题考查正态分布曲线的对称性和的原则，属于基础题.18.已知，且，则_【答案】【解析】【分析】利用复数相等的条件和复数的模运算可以求得.【详解】由复数相等得： 解得：故答案为【点睛】本题考查复数相等和复数的模，属于基础题.19.观察下列等式：，可以推测_（，用含有的代数式表示）【答案】或或【解析】【分析】观察找到规律由等差数列求和可得.【详解】由观察找到规律可得：故可得解.【点睛】本题考查观察能力和等差数列求和，属于中档题.20.若是定义在上的可导函数，且，对恒成立当时，有如下结论：，其中一定成立的是_【答案】【解析】【分析】构造函数，并且由其导函数的正负判断函数的单调性即可得解.【详解】由得即所以所以在和单调递增，因为，所以因所以在不等式两边同时乘以，得正确，、错误.【点睛】本题考查构造函数、由导函数的正负判断函数的单调性，属于难度题.三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21.已知函数.（1）时，求在点处函数切线方程；（2）时，讨论函数的单调区间和极值点【答案】（1）（2）的减区间是和，增区间是；为的极小值点，为的极大值点【解析】【分析】(1)根据函数求导法则求出得切线的斜率，得切线的方程；(2）对函数求导研究导函数的正负，得到函数的单调区间和极值.【详解】解：（1）时，,，在点处的切线：，即：.（未化成一般式扣1分）（2）时，其，由解得，当或时，当时，在和上单减，在上单增，为的极小值点，为的极大值点.综上，的减区间是和，增区间是；为的极小值点，为的极大值点.【点睛】本题考查导函数的几何意义求切线方程，求导得单调性及极值，属于中档题.22.已知的展开式中第三项与第四项二项式系数之比为（1）求；（2）请答出展开式中第几项是有理项，并写出推演步骤（有理项就是的指数为整数的项）【答案】（1）（2）有理项是展开式的第1，3，5，7项，详见解析【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式中的二项式系数求出，再由通项求出有理项.【详解】解：（1）由题设知，解得.（2），展开式通项，且，只有时，为有理项，有理项是展开式的第1，3，5，7项.【点睛】本题考查二项式的展开式的特定项系数和特定项，属于中档题.23.袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个白球2个，现每次从中不放回的取出一球，直到取到白球停止（1）求取球次数的分布列；（2）求取球次数的期望和方差【答案】（1）见解析（2），【解析】【分析】根据相互独立事件概率求出离散型随机变量的分布列、期望和方差.【详解】解：（1）由题设知，则的分布列为1234（2）则取球次数期望，的方差.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.24.某育种基地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取株作为样本进行研究。株高在及以下为不良，株高在到之间为正常，株高在及以上为优等。下面是这个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁。请根据可见部分，解答下面的问题：（1）求的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；（2）通过频率分布直方图估计这株株高的中位数（结果保留整数）；（3）从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量的分布列（用最简分数表示）【答案】（1），补图见解析（2）估计这株株高的中位数为82（3）见解析【解析】【分析】根据茎叶图和频率直方图，求出中位数，得离散型随机变量的分布列。【详解】解：（1）由第一组知，得，补全后的频率分布直方图如图（2）设中位数为，前三组的频率之和为，前四组频率之和为，得，估计这株株高的中位数为82.（3）由题设知，则的分布列为012【点睛】本题考查频率直方图及中位数，离散型随机变量的分布列，属于中档题.25.函数.（1）若函