三重积分的计算及重积分的应用

.,二、三重积分计算的基本方法,1.选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2.选择易计算的积分序,积分域分块要少,累次积分易算为妙.,图示法,列不等式法,3.掌握确定积分限的方法,累次积分法,.,把积分,化为三次积分,其中由曲面,提示:积分域为,原式,及平面,所围成的闭区域.,P183题7,练习题,.,计算三重积分,其中是由,xoy平面上曲线,所围成的闭区域.,提示:利用柱坐标,原式,绕x轴旋转而成的曲面与平面,P183题8(3),.,三重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1.交换积分顺序的方法,2.利用对称性简化计算,3.消去被积函数绝对值符号,1.积分区域关于坐标面的对称性.,2.被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性.,只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.,利用对称性简化三重积分的计算：,.,其它情形依此类推.,三重积分计算的简化,.,P182题1(1),设有空间闭区域,则有（）,.,例1,解,典型例题,.,例2,解,利用球面坐标,.,例3,解在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,.,第四节,一、立体体积,三、物体的质心,重积分的应用,第十章,四、物体的转动惯量,二、曲面的面积,五、物体的引力,.,二重积分的元素法,将定积分的元素法推广到二重积分，可得二重积分的元素法：,若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性：,并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y)d的形式，其中(x,y)在d内。,f(x,y)d称为所求量U的元素，记为dU，则所求量的积分表达式为：,（即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），,.,一、立体体积,.,一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域的立体的体积为,.,任一点的切平面与曲面,所围立体的体积V.,例1.求曲面,分析:,第一步:求切平面方程;,第二步:求与S2的交线在xOy面上的投影,写出所围区域D;,第三步:求体积V.,(示意图),.,任一点的切平面与曲面,所围立体的体积V.,解:曲面,的切平面方程为,它与曲面,的交线在xOy面上的投影为,(记所围域为D),在点,例1.求曲面,.,例2.求半径为a的球面与半顶角为的,内接锥面所围成的立体的体积.,解:在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,.,二、曲面的面积,.,曲面方程：,D:有界闭区域,求曲面的面积A,.,设光滑曲面,则面积A可看成曲面上各点,处小切平面的面积dA无限积累而成.,设它在D上的投影为d,(称为面积元素),则,(见P99),.,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,.,若光滑曲面方程为,若光滑曲面方程为隐式,则,则有,且,.,曲面面积,其中D是曲面在坐标面z=0上的投影区域,求曲面面积的步骤：,（1）求曲面在坐标面z=0上的投影区域D,（2）在区域D上计算二重积分：,.,同理可得,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,.,解：,球冠在xoy面上的投影区域：,.,.,.,半球面面积：,球面面积：,.,投影区域：,所求曲面：,.,作业,P15510P1751，2，3,习题课,.,三、物体的质心,.,三、物体的质心,设空间有n个质点,其质量分别,由力学知,该质点系的质心坐标,设物体占有空间域,有连续密度函数,则,公式,分别位于,为,为,即:,采用“分割，近似，求和，取极限”可导出其质心,.,将分成n小块,将第k块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.,的质点,即得,此质点,在第k块上任取一点,.,同理可得,则得形心坐标：,.,若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A为D的面积),得D的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度,对x轴的静矩,对y轴的静矩,.,例5.求位于两圆,和,的质心（形心）。,解:利用对称性可知,而,之间均匀薄片,.,柱面坐标,a,.,.,.,用哪种坐标？,例6.,.,.,四、物体的转动惯量,.,设平面有n个质点,该质点系的转动惯量,第k个质点的位置,质点系的转动惯量,质量,.,平面薄片的转动惯量,TheMomentofInertiaofaLamina,.,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,.,例7.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径,解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量,的转动惯量.,.,空间有界闭区域上物体的转动惯量,设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数,该物体位于(x,y,z)处的微元,因此物体对z轴的转动惯量:,对z轴的转动惯量为,.,类似可得:,对x轴的转动惯量,对y轴的转动惯量,对原点的转动惯量,.,解:取球心为原点,z轴为l轴,则,球体的质量,例8.求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.,设球,所占域为,(用球坐标),.,五、物体的引力,.,G为引力常数,五、物体的引力,设物体占有空间区域,物体对位于点P0(x0,y0,z0)处的单位质量质点的引力为,其密度函数,引力元素在三坐标轴上分量为,其中,.,若求xOy面上的平面薄片D,对点P0处的单位质量质点,的引力分量,因此引力分量为,则上式改为D上的二重积分,密度函数改为,即可.例如,其中:,.,例9.,设面密度为,半径为R的圆形薄片,求它对位于点,解:由对称性知引力,处的单位质量质点的引力.,。,.,例10.求半径为R的均匀球,对位于,的单位质量质点的引力.,解:利用对称性知引力分量,点,.,.,作业,P1755，7（1,3），11，14,习题课,.