考研高数精品笔记

第一章函数，极限，连续第1节函数a)逆函数和原始函数是关于y=x对称的。b)只有域中关于原点对称的函数可以讨论奇偶性。c)多个奇函数的和是奇函数。多个双函数的和是双函数。D) 2k个奇数函数的乘积是偶数函数。2k 1奇数函数的乘积是偶数函数。任意双函数和双函数的乘积或双函数。(k=0，1，2.)。E) f(x)是周期函数，周期为T，则f(ax b)也是周期函数，周期为|T/a|。f)基本基本基本函数是力、指数、对数、三角、倒三角函数。基本函数是上述五个主要函数和有限四个运算和复合函数。g)所有基本函数在该域内是连续的。第2节限制a)左右限制存在，存在相同的限制。b)函数在X0限制中为A时，可以用f(X)=A (X)替换函数。其中(等价无穷小)c)限制是有限度的。(极限唯一性)d)和A0在x的邻居中是f(x)0。(担保性)e)函数f(x)在点x=x0有极限的情况下，该点的消除邻接u，u内部f(x)有界限。(边界)F) limf(x)=A，limg(x)=Blim(f(x)g(x)=limf(x)limg(x)=a blim(f(x)-g(x)=limf(x)-limg(x)=a-blim(f(x)* g(x)=limf(x)* limg(x)=a* blim(f(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=a/b limg(x)不等于0Lim (f (x) n=(limf (x) n=anLim (f (x) g (x)=ab(极限的四种运算)g)有限无穷大的和仍然是无限的。无限小的产品仍然是无限的。无穷和有限量的乘积仍然是无限的。H)=lI. l=0，f(x)=o(g(x)。二.l=，f(x)是g(x)的低阶。三.00间隔，f(x)单调递增的间隔；F(x)0的间距，f(x)的单调相减间距。极值：极值点和微分为零的点没有充分的必要条件关系。诱导函数的极值点，其诱导值为0。费马辅助定理断点(微分为零的点)不一定是极值点。一阶判定：在x0的邻域中，x0的左右导数不同的情况下，x0是极值点。二次判定：x0是主点，x0存在f(x)的二次微分。用二阶导数的符号判定。2最大值(封闭间隙)最大值可以出现在(1)极值点(2)区间端点。3凹凸，拐点凹凸：视觉定位：顶部凹函数：f(x1 x22)fx1 fx22凸函数：f(x1x 22)8805；fx1fx22凹面函数：f(x)0凸面函数：f(x)0拐点：f (x)=0或f (x)可能出现在不存在的点上，但不一定。4渐近水平渐近线：如果f(x)朝方向倾斜，则界限为水平渐近线。垂直渐近：如果f(x)倾斜为x0，则极限倾斜为，x0为该函数的垂直渐近线。渐近线：如果f(x)向倾斜，则f(x)-(kx b)=0，(kx b)是该函数的渐近线。其中k=f(x)x，b=limx FX-kx。5函数图像描述使用极值点、拐点、坐标轴和交点、单调、渐近等进行绘制。6曲率弧微分：ds=1 yx2dx曲率是单位弧长的角度变化。曲率：k=dds=d/dxds/dx=| y |(1(y)232曲率半径：=1K曲率圆：从弧上的一点开始，沿垂直方向向凹面移动的长度，以获得曲率圆的中心。第三章一元函数积分第1节无限积分(a)定义1.F(x)=f(x)，f(x)被称为F(x)的原始函数。F(x) C=f(x) c为F(x)的原始函数组。2.fxdx=Fx C等于f(x)的无限积分。(b)特性1.Fxdx=fxdx=Fx C2.fxdx=Fx C=f(x)3.kfxdx=kfxdx4.f1xf2xdx=f1xdxf2xdx(c)基本的几点公式24公式=13(基本衍生表)11(公用公式)(d)积分法1.凑微分法(第一种转换方法)F x xdx=f x c有13个一般公式。2.替代法(第二替代法)fxdx=ftTDT=f(t)c=f-1(x)ct可诱导，具有逆函数。(转换管线、转换三角形、替换)分部积分法Uxdvx=uxvx-vxdu(x)公式：反对幂指3，谁先出现。第2节固定积分(a)定义：分割、近似、总计、限制。几何意义：由曲线和x轴围成的面积的对数总和。(b)性质：1.aafxdx=02.abfxdx=-bafxdx3.abkfxdx=kabfxdx4.abf1xf2x=abf1xdxabf2xdx5.abfxdx=acfxdx cbfxdx6.如果f(x)0，xa，b，则为abfxdx07.如果f (x) 8805g (x)，x-a，b，则为abfxdxabgxdx8.mf(x)m，xa，b，m(B- a)abf xdxm(B- a)(c)基本定理1.积分中值定理：当f(x)连续于a，b时，a，b中存在一些，因此abfxdx=f()(b-a)f()通常称为积分平均。2.可变积分：函数可变上限x=axftdt(x)=f(x)可变下限 x=xftdt (x)=-f (x) x=au (x) ftdt (x)=f UX u (x) x=v (x) bft dt (x)=-f VX v (x)x=v(x)u(x)ftdt(x)=fux UX-fVXv(x)牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x)=f(x)，则abfxdx=Fx|ab=Fb-F(a)第3节非定常积分(广义积分)明确积分：(1)有限区间。(2)区间内的界限。(a)无限区间的广义积分A fxdx=limb abfxdx说，如果极限存在，广义积分就会收敛。如果极限不存在，广义积分可以发散。-bfxdx=lima-abfxdx，广义积分在极限存在的情况下收敛。如果极限不存在，广义积分可以发散。-fxdx=-CFX dx cfxdx说，存在两个广义积分极限时，原始广义积分收敛。据说，如果至少有一个广义积分极限不存在，那么原来的广义积分就会发散。常用公式：a dxxpa0在P0点收敛，其值为a1-pp-1。从P1发射。(b)无限函数的广义积分(缺陷积分)在a点的f(x)无限：abfxdx=lim0 a bfxdx，如果极限存在，则称为积分收敛。如果不存在极限，则称为积分发散。b点处的f(x)无边界：abfxdx=lim0 ab-fxdx，如果存在限制，则称为积分收敛。如果不存在极限，则称为积分发散。在c点，f(