特征函数和矩母函数_第1页
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文档简介

。1.矩母函数、矩母函数和特征函数。1.定义。数学期望是随机变量x，2的矩母函数。求原点矩的方法，矩母函数可以用来求X的每个阶的矩，即连续求导的矩母函数，以及点的值。3。定理1将独立随机变量的矩母函数分别设为它们的和，矩母函数为，4。母函数的定义：将X设为一个非负整数值的随机变量，分布律PX=k=pk，k=0，1，则称之为X的母函数。(1)非负整数值随机变量的分布律pk是由其母函数P(s)唯一确定的(2)如果P(s)是X的母函数，如果EX存在，则ex=p (1)如果DX存在，则DX=P(1)P(1)-P(1)2，(3)母函数(4)如果X1和x2是独立且同分布的非负整数值随机变量，并且n是独立于x1和x2的非负整数值随机变量，则母函数H(s)=G(P(s)，EY=ENEX1，其中g (s)和P(s)分别是n和x1的母函数。证明了：(1)、(2)、(2)，如果离散非负整数随机变量的分布规律分别为PX=k=pk，PY=k=qk，k=0，1，那么Z=X的分布规律是PZ=k=ck，其中CK=p0qpk P1 qk-1 pkq Q0的母函数分别是PX(s)，PY(s)，PZ(s)，即(3)、(4)，欧拉公式：2，本征函数本征函数，设x为随机变量，称为复随机变量的数学期望，为x的本征函数，其中t为实数。也可以写成，离散随机变量x，其分布规律是p (x=xk)=PK (k=1，2，)，其特征函数是连续随机变量x，其概率密度是f(x)，其特征函数是，对于n维随机向量x=(x1，x2，xn)，其特征函数是，(2)在(-，)上一致连续。(3)如果随机变量x的n阶矩EXn存在，当k=1时kn，ex=；当k=2时，DX=。(4)非负定函数。(5)如果x1，x2，xn是独立的随机变量，那么x=X1,X2,Xn的特征函数是(6)随机变量的分布函数和特征函数是一一对应和相互唯一的。如果随机变量x是连续的，并且它的特征函数是绝对可积的，那么就有反演公式：(带负号的傅里叶逆变换)，(带负号的傅里叶逆变换)。(例1)，假设随机变量X服从带参数的泊松分布，并求出X的特征函数。由于这个麦克劳林公式，例2，假设随机变量X服从a，b上的均匀分布，并求出X的特征函数。让X服从二项分布B(n，P)并求出X的特征函数g(t)和e x，EX2，DX。解：的分布规律是P(X=k)=q=1-P，k=0，1，2，.例4:设置XN(0，1)并找出X的特征函数。解：例5:假设随机变量x的特征函数是gX(t)，Y=aX b，其中a和b是任何实数，证明Y的特征函数gY(t)是。证据：案例6:设置随机变量y n(，2)，找出y的特征函数为gY(t)。求解：XN(0，1)
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