2011年注册岩土工程师基础考试培训资料--积分学

,一、不定积分,五、平面曲线积分,四、重积分,积分学,二、定积分,三、广义积分,六、积分应用,一、不定积分,1.不定积分概念,定义：若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x),满足,则称F(x)为f(x),在区间I上的一个原函数.,在区间I上的原函数全体称为,定义：,上的不定积分,2.基本积分表,从不定积分定义可知:,或,或,利用逆向思维,(k为常数),或,或,3.求不定积分方法（1）直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法(要求记住基本积分公式）.,第一类换元的基本思路,第一类换元的关键是凑微分，常用的凑微分结果有,（2）换元积分法,第二类换元的解题思路为,使用该公式的关键为,第二类换元常见类型有三角代换倒代换根式代换等,（3.）分部积分法,一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为u.,（1）当被积函数为对数函数和反三角函数时,取被积函数为u,(2)当被积函数为两种不同类型函数乘积时,例4求积分,解：,例5求积分,解,两边同时对求导,得,2、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,1、定积分定义：,二、定积分,性质5,推论：,（1）,（2）,性质4,性质7(定积分中值定理),性质6,积分中值公式,3、积分上限函数的导数,也可写成,牛顿莱布尼茨公式,4、牛顿莱布尼茨公式,5、定积分的计算法,换元公式,（2）第二类换元法,（3）分部积分法,分部积分公式,（1）凑微分法,6、重要结论,三、广义积分,1、无穷限的广义积分,例8.证明第一类p积分,证:当p=1时有,当p1时有,当p1时收敛;p1,时发散.,因此,当p1时,反常积分收敛,其值为,当p1时,反常积分发散.,例9.计算反常积分,解:,2、无界函数的广义积分,例10.计算反常积分,解:显然瑕点为a,所以,原式,例11.证明反常积分,证:当q=1时,当q1时收敛;q1,时发散.,当q1时,所以当q1时,该广义积分收敛,其值为,当q1时,该广义积分发散.,1.二重积分的性质,(k为常数),为D的面积,则,四、重积分（化为累次积分）,特别,由于,则,5.若在D上,6.设,D的面积为,则有,7.(二重积分的中值定理),在闭区域D上,为D的面积,则至少存在一点,使,连续,重要结论：如果积分区域关于x轴对称，被积函数关于自变量y为奇函数，则积分为零；被积函数关于自变量y为偶函数，则积分值等于x轴上半部分积分值的两倍。如果积分区域关于y轴对称，被积函数关于自变量x为奇函数，则积分为零；被积函数关于自变量x为偶函数，则积分值等于y轴右半部分积分值的两倍。,2.在直角坐标系下计算二重积分,若D为X型区域,则,若D为Y型区域,则,解,3.在极坐标系下计算二重积分,例14.计算二重积分,其中D为圆周,所围成的闭区域.,提示:由于积分区域关于X轴对称，被积函数为偶函数，考虑上半圆。再利用极坐标,原式,4.在柱坐标系下计算三重积分,在柱坐标系下化三重积分为三次积分是将积分区域在某个坐标面上投影，将投影区域用极坐标表示，最后找出另一个坐标的变化范围。,1.平面图形的面积,设曲线,与直线,及x轴所围曲,则,边梯形面积为A,右下图所示图形面积为,六、积分应用,例15.计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积.,解:由,得交点,(1)曲线弧由直角坐标方程给出:,所求弧长,2.平面曲线的弧长,(2)曲线弧由参数方程给出:,所求弧长,例15.求曲线,上相应于x从0到1的一段弧长。,连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,