广义逆矩阵PPT课件

-,1,第七章广义逆矩阵,广义逆矩阵是逆矩阵的推广，与线性方程组的求解有密切联系。给定一个线性方程组Ax=b，当矩阵A可逆时，线性方程组的解可表示为x=A-1b,当矩阵A是奇异矩阵或不是方阵时，线性方程组的解应如何表示呢？当线性方程组是矛盾方程，或者说是不相容方程时，线性方程组能否有其它意义下的解，这种解又应当如何表示呢？,把逆矩阵推广到不可逆方阵或长方矩阵上，这就是所谓的广义逆矩阵。,-,2,广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵一致，而且广义逆矩阵可以给出线性方程组（包括相容的和矛盾方程组）各种解的统一形式。,主要内容：1广义逆矩阵及其分类2A+的计算3几类弱逆4广义逆矩阵与线性方程组的解,-,3,广义逆矩阵方程,设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的逆矩阵A-1，它具有如下性质：,或者说，A-1是下述矩阵方程组的解,-,4,-广义逆矩阵方程,设,若矩阵满足如下四个（Penrose),方程,则称X为A的MoorPenrose逆，记为A+,例：容易由定义直接验算：,若,则,-,5,存在性证明,可以验证X满足广义逆矩阵方程,设，A+存在且唯一，即广义矩阵方程组,定理,有唯一解,设,若,则A是阶零矩阵，可以,验证阶零矩阵满足四个方程。,-,6,对于矩阵方程,如果矩阵G仅满足其中的一个或几个时，可以定义不同的广义逆矩阵。,因此，共可定义,类不同的广义逆。,由A+的存在性可知，15类广义逆都存在，除A+是唯一确定的外，其余各类广义逆矩阵都不唯一确定。,几类弱逆,-,7,Ai=|G满足第i个Penrose方程,对于矩阵，记,Ai,j=|G满足第i,j个Penrose方程,Ai,j,k=|G满足第i,j,k个Penrose方程,广义逆集合,-,8,各类广义逆的关系,几种常用的广义逆矩阵,A1,它的形式记为,A1,2,它的形式记为,A1,3,它的形式记为,A1,4,它的形式记为,-最小二乘广义逆,-自反广义逆,最小范数广义逆,-,9,A1是指仅满足第一个Penrose方程的广义逆，即若AA-1A=A,则记,广义逆A-,说明：1)利用初等行变换，可以求得A-,2）A的减号逆A-不唯一。,例：设,容易验证,均满足,故B，C都是A的减号逆.,3)矩阵A有唯一的A-充分必要条件是A为非奇异矩阵，此时,A-=A-1,-,10,定理A1的表示通式,此定理表明：只要求出中的一个元素，就可得到中所有的元素。,-,11,广义逆矩阵A+的计算：方法一利用满秩分解,如果矩阵A有满秩分解A=BC，则有A+的表达式，即,因此广义逆A+是通常逆矩阵概念的一种推广。广义逆矩阵A+与通常逆矩阵有许多类似的性质，但也有一些不同。,如果A是非奇异矩阵，则并且由上面的公式计算出，从而,-,12,如果矩阵A是行满秩的，A有满秩分解A=ImA，则A+的表达式为,如果矩阵A是列满秩的，A有满秩分解A=AIn，则A+的表达式为,特别地，设为n维列向量，且则,设为n维行向量，且则,-,13,例：求广义逆,-,14,例：设求,由A为列向量，即为列满秩，则,从而,若A既不是行满秩也不是列满秩，则需首先对A进行满秩分解，再求,例：已知,求,矩阵A中分别有两行、两列对应成比例，因此A既不是行满秩也不是列满秩,-,15,首先利用初等行变换求出A的Hermite标准型H为：,设A的满秩分解为，则,于是,-,16,广义逆矩阵A+的计算：方法二奇异值法,设矩阵的奇异值分解为A=UDVH其中U,V分别是m阶、n阶酉矩阵，,则容易验证：,其中,利用此方法，需首先对A进行奇异值分解。,-,17,例：设,求,先求A的奇异值分解。因为,为,对应的特征向量为：,令,其中,设,则的特征值,-,18,把,扩充为的一组标准正交基得：,再令,则,从而,-,19,广义逆A+的性质设,其中,且,-,20,-,21,11、设,9、若有满秩分解式A=BC，则,都是酉矩阵，则,-,22,12、当A是Hermite矩阵时，,-,23,举例说明广义逆不具有通常意义下逆矩阵的下列性质：,（4）A与A+的非零特征值并不互为倒数。,（1）,（2）,（3）,-,24,例证1,又B为满秩矩阵，则,-,25,例证2,可验证,-,26,考虑非齐次线性方程组,其中给定，而,为待定向量。,若,方程组是相容方程组；否则，称为矛盾方程组或不相容方程组。,则线性方程组有解，则称该,关于线性方程组的求解问题，常见的有以下几种情形：,1）在相容时，若系数矩阵，且非奇异，即,则有唯一解,但当A是奇异方阵或长方矩阵时，它的解,不唯一，我们可以利用减号逆给出方程组的通解。,线性方程组求解,-,27,2）如果方程组相容，且其解有无穷多个，可求出具有极小范数的,解，即,其中为欧氏范数，可以证明满足此条件,的解是唯一的，称为极小范数解。,3）若方程组不相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际问题中，需要求出这样的解：,其中为欧氏范数，称这个问题为求矛盾方程组的最小二乘问题，相应的x为矛盾方程组的最小二乘解。,4）一般说来，矛盾方程组的最小二乘解是不唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有最小范数的解,是唯一的，称之为极小范数最小二乘解，或最佳逼近解.,-,28,（一）相容方程组的通解,为线性方程组的解的充分必要条件是,我们已知相容,，其中,定理对于任意,，都存在,，使,定理说明，对于任意的,是线性方程组的一个特解。,给定一个线性方程组,广义逆矩阵与线性方程组的求解有着密切关系。利用减号逆、最小范数广义逆、最小二乘广义逆以及加号逆可以给出上述诸问题的解。,-,29,定理齐次线性方程组的通解是,证明:对于任意向量，成立,其中是任意向量。,即是齐次线性方程组的解。,-,30,设X0是齐次线性方程组的任一解，则,因此，是齐次线性方程组的通解。,推论相容线性方程组的通解为,其中是任意向量。,-,31,例1、求解,将方程组改写为矩阵形式,其中,由于,所以该方程组是相容的。,首先求得A的一个减号逆。,由A是行满秩矩阵，则,从而,-,32,原方程组的通解为,其中为任意向量。,-,33,定义相容线性方程组的所有解中2范数最小的解称为方程组的最小范数解，记为,（二）相容方程组的最小范数解,定理相容线性方程组的最小范数解是唯一的，并且可表示为,其中是A的最小范数广义逆。,-,34,例2、求方程组,的最小范数解,由于A为行满秩矩阵，因此为满秩方阵，则有,所以,即,从而,此解即是,中欧氏范数最小的一个,-,35,一个线性方程组是矛盾方程组或不相容方程组，它没有通常意义下的解，但可以寻求该方程组在某种含义下的近似解。,（三）不相容方程组的最小二乘解,-,36,定义不相容方程组的最小二乘解,定义为满足下列条件的近似解,说明：和其它任何近似解相比较，所导致的误差平方和,最小。,矛盾方程组的最小二乘解导致的误差平方和是,唯一的，但最小二乘解不一定唯一。,-,37,定理：设是一个最小二乘解，则矛盾方程组的最小二,乘解的通解为,其中y为任意向量,定理设，则是不相容方程组,的最小二乘解的充分必要条件是,-,38,例3、求矛盾方程组,的最小二乘解,系数矩阵A和向量b为,由A为列满秩矩阵，则可求得A的一个最小二乘逆为：,于是，求得一个最小二乘解为,-,39,定理不相容方程组的最佳逼近解是唯一的，并且,定义不相容方程组的最佳逼近解定义为满足下列条件的最小二乘解，记为,（四）不相容方程组的最佳逼近解,可以看出不相容方程组的最佳逼近解是方程组的所有最小二乘解中范数最小的近似解。,其中是方程组的最小二乘解的集合。,-,40,说明：由于加号逆既是减号逆又是最小范数逆、最