2.1.1 曲线与方程(1)

观察与分析,我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，如果改变平面与圆锥曲线的夹角，会得到什么呢？,抛物线,双曲线,椭圆,如图：以上三个不垂直于圆锥轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是抛物线，双曲线，和椭圆.,观察与分析,因此我们通常把抛物线，双曲线和椭圆统称为圆锥曲线.,圆锥曲线与科研、生活以及人类生活有着密切的关系.,早在16、17世纪之交，开普勒就发现行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆.,喷泉喷出美丽的抛物线,发电厂冷却塔的外形是双曲线,2.1曲线与方程,2.1.1曲线与方程,重点,难点,掌握曲线的方程，方程的曲线的概念.,使同学们理解曲线的方程的概念.培养学生分析曲线的能力.,我们知道，在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线的方程是x-y=0，这就是说，如果点M（x0，y0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离相等，即x0=y0，那么，点M（x0，y0）是方程x-y=0的解.,M(x0，y0),y,x,0,反过来，如果（x0，y0）是方程x-y=0的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等.,M(x0，y0),y,x,0,一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个一元二次方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：,（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解;（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.,证明与两条坐标轴的距离的积是常数k（k0）的点的轨迹方程是xy=k的解.,图2.1-3,y,x,证明：（1）如图2.1-3，设M（x0，y0）是轨迹上的任一点.因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|y0|=k，即（x0，y0）是方程xy=k的解.,如图2.1-3,y,x,（2）设点M1的坐标（x1，y1）是方程xy=k的解，则x1y1=k即|x1|y1|=k，|x1|，|y1|正是点M1到纵轴和横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由（1）（2）可知xy=k是与两条坐标的距离的积为常数k（k0）的点的轨迹方程.,已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（-2，0），C（2，0）.问：中线AO（O为原点）所在直线的方程是x=0吗？为什么？,解：是，由图可知，等腰三角形ABC的边BC上的中线AO所在直线的方程是：x=0,A,B,C,O,x,y,这里的“曲线”指的是三角形ABC中BC的中线所在的直线,x=0是这条曲线的方程.,在理解什么是“曲线”时，要注意曲线是满足条件的图形；在理解“方程”时，要注意方程包含对其中未知数的限制.比如本例题中，三角形ABC中BC的中线的方程是x=0（0y3）.,注意！,（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程；,“曲线的方程”的概念：,（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这条曲线叫做方程的曲线.,“方程的曲线”的概念：,2.（2006北京理）已知：曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离比它到直线m:y=-4的距离小3.不经过坐标原点的直线l与曲线C相交于两个不同点A,B，且以AB为直径的圆经过坐标原点O,（1）求曲线方程C的方程；（2）求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）三角形ABF的面积是否存在最小值？若不存在请说明理由；（4）设曲线C在点A、B处的切线分别为l1，l2，证明l1与l2的焦点必定在定直线m：y=-4上.,解：（1）解法1：依题意，可知，曲线C是“平面内到顶点F（0，1）的距离与到定直线y=-1的距离相等的点的轨迹”，所以它是以F（0，1）为焦点，以直线y=-1为准线的抛物线.所以曲线C的方程式x2=4y.,（1）解法2：设点P的坐标为（x，y），依题意指点P必定在直线m的上方，即y-4于是|PF|=|y+4|-3=y+1，所以整理得x2=4y所以曲线C的方程是x2=4y.它是以F（0，1）为焦点，以直线y=-1为准线的抛物线.,（2）直线l的斜率显然存在，又直线l不经过坐标原点，故可设直线l的方程为y=kx+b（b0），并设A（x1，y1），B（x2，y2）由，消去y，整理得x2-4kx-4b=0x1+x2=4kx1x2=-4b,若以AB为直径的圆过坐标原点O则x1x2+y1y2=0，即将带入，得解的b=4或b=0（舍去）所以x1x2=-16，直线l的方程为y=kx+4，显然，直线l过定点M（0，4）,（3）由弦长公式得把带入上式，得设点F（0，1）到直线l：kx-y+4=0的距离为d，则,当k=0时，SAFB有最小值，是12AFB的面积存在最小值，最小值是12.,1.下面各对方程中表示的曲线相同的一对是（）.（A）y2=x与y=x（B）y=x与y/x=1（C）y=x与y2=x2（D）y=lgx2与y=2lgx,C,2.如果命题“坐标满足方程f(x,y)0的点都在曲线c上”是不正确的，那么下列命题正确的是（）.,A.坐标满足方程f(x,y)0的点都不在曲线c上B.坐标满足方程f(x,y)0的点有些在曲线c上，有些不在曲线c上C.曲线c上的点不都满足方程f(x,y)0D.一定有不在曲线c上的点，其坐标满足方程f(x,y)0,D,填空题：1.已知ABC的面积为4，A、B两点的坐标分别是（2，0）、（2，0），则顶点C的轨迹方程是_.,y=2和y=2,2.m=2是直线(2m)xmy+3=0和直线xmy3=0互相垂直的_.,充分而不必要的条件,1.若直线l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能围成三角形,求a的取值范围.,解答题,解：由l1、l2相交，需要1a-110，得到a1，此时，解方程组可解得.即l1，l2的交点为（-1-a，1），由l1、l3相交，需11-aa0,a1,又(-1-a,1)l3a(-1-a)+1+10,得a1且a-2,综上，aR且a1且a-2,能保证三交点(-1-a,1),(1,-1-a)、(-1-a,-1+a+a2)互不重合，所以所求a的范围为a(-,-2)(-2,-1)(-1,1)(1,+).,解：如图，设围成四边形为OABC，因OABC有外接圆，且AOC90，故ABC90.两条直线x+3y-7=0,kxy2=0互相垂直，(-)k=-1，即k=3.,2.已知直线x+3y-7=0，kx-y-2=0和x轴、y轴围成四边形有外接圆，求k.,1.已知等腰三角形的三个顶点坐标分别是（0，3）（-2，0）（2，0）.中线AO（O为原点）所在直线方程是x=0吗？为什么？解：是，容易求出等腰三角形ABC的变BC上的中线AO所在的直线是x=0.,2.已知方程ax2