2.3.1直线与平面垂直的判定1

2.3.1直线与平面垂直的判定,一条直线与一个平面垂直的意义是什么？,问题,引入新课,旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直,与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直,直线垂直于平面内的任意一条直线,平面的垂线,垂足,1、直线与平面垂直的定义,如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作,二、直线与平面垂直的画法,画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示,直线与平面的一条边垂直,直线与平面垂直,除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？,如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：,过的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）,当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直,1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？,练习,一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直,三、直线与平面垂直判定定理：,线不在多，相交就灵,记忆：线线垂直，则线面垂直,四、直线和平面所成的角：,如图所示，一条直线PA和平面相交，但不垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。,过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。,斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角。,斜线,斜足,射影,4、如果三条直线共点、且两两垂直，其中任一条直线是否垂直于另两条直线确定的平面？为什么？5、如果一条直线垂直于一个三角形的两边，能否断定这条直线和三角形的第三条边垂直？为什么？,练习,已知：ab，a求证：b,例1如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。（此定理可看作线面垂直的判定公理二）,证明：在平面内作两条相交直线m，naam,anbabm，bnb,例2已知：b，c,bc=E，=a，c，b。求证：a。,证明：b，=a，ba；c，=a，ca；bc=E，b，c,a。,例3已知：正方体中，AC是面对角线，BD是与AC异面的体对角线。求证：ACBD,证明：连接BD正方体ABCD-ABCDDD正方体ABCDAC、BD为对角线ACBDDDBD=DACDDBACBD,例4:如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PCPB=PD.求证：PO平面ABCD,例5如图，圆O所在一平面为，AB是圆O的直径，C是圆周上一点,且PAAC,PAAB,求证：（1）PABC（2）BC平面PAC,归纳:1.要证明线线垂直,往往转化为证明线面垂直,然后用线面垂直的基本性质.2.要证明线面垂直,只要在该平面内找到两条相交直线与已知直线垂直就行.,探究1.(1)过一点有几条直线与已知平面垂直？(2)过一点有几个平面与已知直线垂直?,过空间一点P作直线l的垂面有且只有一个,如图(3)(4),过空间一点P作的垂线有且只有一条；如图(1)(2),探究2：如图PAo所在平面，AB是o的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？,如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,则在这个四棱锥的四个侧面中有几个直角三角形呢?,三棱锥中最多有4个直角三角形,四棱锥中最多也有4个直角三角形.,1.判断题：,课堂练习：,2、如图，空间中直线L和三角形的两边AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（）A平行B垂直C相交D不确定,B,L,研探新知,1、二面角的有关概念及其记法与表示,观察思考:展示一张纸面，并对折让学生观察其形状，然后引导学生将它与角进行类比，归纳出二面角的概念及记法与表示.,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。,这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。,棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角AB。有时为了方便，也可在，内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角PABQ。如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角l或PlQ。,研探新知,2、二面角的度量,提出问题:二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二面角的大小呢？,师生活动：在预先准备好的二面角的模型的棱上取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线，通过实验操作，研探二面角大小的度量方法二面角的平面角。,在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角。,（1）在表示二面角的平面角时，要求“OAL”，“OBL”；（2）AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角时叫直二面角。（4）二面角的平面角的范围是:,注意:,3、两个平面互相垂直,观察:,教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.,两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。,两个平面互相垂直通过画成：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面与垂直，记作：。,两个平面互相垂直的画法及其表示:,4、两个平面垂直的判定,判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面的判定定理,两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直,注：这个定理简称“线面垂直，则面面垂直”,下面我们来证明这个定理,求证：,分析：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BECD，使ABE为二面角-CD-的平面角,求证：,证明：设a=CD，则BCD,ABCD,在平面内过点B作直线BECD，则ABE是二面角-CD-的平面角，又ABBE，即二面角-CD-是直二面角,如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直,C,D,A,B,课堂诊断:,1.如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线，则.（）,2.如果平面内有一条直线垂直于平面内的两条直线，则.（）,3.如果平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则.（）,4.若m，m，则.(),5.二面角指的是（）A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。,B,应用举例，强化所学,例1：如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周一不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC,证明：设O所在平面为，由已知条件，有PA，BC在内，所以，PABC，因为，点C是不同于A，B的任意一点，AB为O的直径，所以，BCA90，即BCCA又因为PA与AC是PAC所在平面内的两条相交直线，所以，BC平面PAC，又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC平面PBC。,探究：你还能发现哪些面互相垂直？,附:角与二面角之间的关系,角,图形,构成,表示法,O,顶点,边,边,A,B,二面角,从平面内一点出发的两条射线所组成的图形.,从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形.,定义,射线,点,射线,半平面,棱,半平面,AOB,二面角,a,或,AB,a,棱,面,面,A,B,一、复习,1。直线和平面垂直的定义,直线和平面相交，并且和这个平面内的任何一条直线都垂直。,2。直线和平面垂直怎样判断？,判定定理：如果一个条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.,线线垂直,线面垂直,线面垂直定义或判定定理,线面垂直定义,唯一性公理一,过一点有且只有一条直线和已知平面垂直,唯一性公理二,过一点有且只有一个平面和已知直线垂直,线线平行的性质定理：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面若ab，a则b,这个可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理，现在请同学们改变这个定理的题设和结论，写出它的逆命题,若a，b，则ab,下面就让我们看看这个命题是否正确？,已知：a，b求证：ab,分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行,我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法,您知道用反证法证明命题的一般步骤吗？,否定结论推出矛盾肯定结论,证明：假定b与a不平行设bO，b是经过点O与直线a平行的直线，ab，a，b经过同一点O的两条直线b，b都垂直于平面是不可能的因此，ab,已知：a，b求证：ab,如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行这就是直线和平面垂直的性质定理；,学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离,例1、已知：一条直线l和一个平面平行求证：直线l上各点到平面的距离相等,分析：首先，我们应该明确，点到平面的距离定义，在直线l上任意取两点A、B，并过这两点作平面的垂线段，现在只要证明这两条垂线段长相等即可,证明：过直线l上任意两点A、B分别引平面的垂线AA1、BB1，垂足分别为A1、B1AA1，BB1，AA1BB1（直线与平面垂直的性质定理）设经过直线AA1和BB1的平面为，A1B1l，lA1B1AA1=BB1（直线与平面平行的性质定理）即直线上各点到平面的距离相等,直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离,本例题的证明，实际上是把立体几何中直线上的点到平面的距离问题转化成平面几何中两条平行直线的距离问题这种把立体几何的问题转化成平面几何的问题的方法，是解决立体几何问题时常常用到得方法,例2、图1-77，已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面（1）求证：EF平面GMC（2）若AB4，GC2，求点B到平面EFG的距离,解：（1）连结BD交AC于O，E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，ACBD，EFACACGCC，EF平面GMC,（2）可证BD平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG,六、练习1已知矩形ABCD的边长AB6cm，BC4cm，在CD上截取CE4cm，以BE为棱将矩形折起，使BCE的高CF平面ABED，求：（1）点C到平面ABED的距离；（2）C到边AB的距离；（3）C到AD的距离,（1）作FHAB于H，作FGAD于G，则CHAB，,面面垂直的性质,如果(1)里的直线都和垂直吗？,D,E,F,(2)什么情况下里的直线和垂直？,面面垂直的性质,面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。,