8有限元法基础(白)PPT演示课件

第八章有限元法基础,有限元法是一种新颖而有效的数值方法。它几乎适用于求解所有的连续介质和场的问题。主要优点：,概念清晰，容易掌握。灵活性和通用性强，应用范围极广。它对各种复杂的因素（复杂形状、任意边界条件、非线性等）都能灵活地加以考虑，不会发生处理上的困难。该法采用矩阵形式表达，便于编制计算程序。,1,弹性力学问题平面问题轴对称问题有限元法基本概念有限元法解题基本方法、步骤形函数、应力矩阵、应变矩阵、单元刚度矩阵、整体刚度矩阵等,本章主要内容,2,有限元法发展历史,有限元法起源于40年代提出的结构力学中的矩阵算法。50年代中期，M.J.Turner和R.W.Clough等人将此方法用简单受载铰接的三角平板单元进行了飞机的结构分析，这一工作被认为是有限元法的创始。1960年R.W.Clough正式使用有限元(finiteelement)这一术语，并用这种方法首次求解了弹性力学的二维平面应力问题，引起了人们的极大关注。O.C.Zienkiewicz等对建立有限元法的完备理论体系和计算方法方面作出了重要贡献。随着计算机的迅速发展，有限元法已成为能处理几乎所有连续介质和场问题的一种强有力的数值计算方法。,3,1.建立CAD模型,有限元分析步骤,2.划分网格,3.施加载荷和边界条件,4.计算分析,5.可视化,4,8.1有限元法的简单引例(一维有限元法),设有一只受其自重作用的等截面直杆，上端固定，下端自由。单位杆长的重力为q，杆长为L，横截面面积为A，材料弹性模量为E，试求该直杆各横截面上的位移、应变及应力。,解析法：,任一x截面,由几何方程，应变,由物理方程，应力,轴向位移,位移法：位移应变应力,5,杆单元,有限元解法,1.划分单元,用若干分点把直杆分割成许多有限长度的小段（小段长度可不等）。分点和小段分别称为节点和单元。,例：4节点，3单元（等长）,把每小段的重力等效移置到节点上。移置到节点后的载荷称为节点载荷。,R=R1R2R3R4T,6,对于每一个单元，可以用线性函数去近似地描述实际的单元位移。设单元(e)ij位移函数为：,2.位移函数,ue(x)=1+2x,1,2为待定系数,可由单元两个节点的位移值ui,uj来确定。,将节点坐标和位移(xi,ui),(xj,uj)分别代入上式，解方程组得:,整理得：,7,i,j,xi,xj,x,ui,uj,ue,xj-xi,xj-x,x-xi,形函数的几何解释,8,记f=ue，则,形函数：与x成直线关系，反映了单元的位移形态。,记形函数矩阵为,节点位移列矩阵,N=NiNj,则单元位移f=Ne,用节点位移表示单元位移,9,根据虚功原理，移置前单元载荷所作虚功应等于移置后节点载荷所作虚功，所以有,同样可得,可见，只要把单元重力平均移置到节点上去即可。,Rj(e)=q(xjxi)/2,Ri(e)=q(xjxi)/2,记,则,R1(1)=R2(1)=R2(2)=R3(2)=R3(3)=R4(3)=qL/6,本例各单元长度均等于L/3，故有,3.载荷移置（虚功原理）,10,固定端的节点1还受约束反力R=-qL，于是单元载荷移置后，各节点的节点载荷R1、R2、R3、R4分别为,4.单元应变与应力,用几何方程、物理方程与虚功方程分析单元的应变、应力和节点受力与节点位移的关系。,11,把f=Ne代入几何方程=du/dx，得,矩阵B反映了单元应变与节点位移之间的关系，所以我们把它称为应变矩阵,12,把=Be代入物理方程=E，得,矩阵G反映了单元应力与节点位移之间的关系，所以把它称为应力矩阵。,13,利用虚功方程分析单元的节点力与节点位移的关系。,5.单元刚度矩阵节点力,直杆分割成小单元后，相邻单元之间的作用力通过节点来传递。,Ui、Uj单元节点i、j处的节点力。规定节点对单元的节点力以沿x轴正方向为正。对单元来说，节点力是外力。,Fe=UiUjT,节点力节点对单元和单元对节点的作用力。节点力记,14,根据虚功原理，经推导,若记,则得,矩阵反映了单元的节点力与节点位移之间的关系，所以把它称为单元刚度矩阵,15,(r,s=i,j。rs时，取“”；rs时，取“”),由Fe=Kee可得,16,用节点平衡方程建立并求解以节点位移为未知量的线性代数方程组。,6.节点平衡方程线性代数方程组（未知量：位移）,在单元对节点的节点力与节点载荷共同作用下应处于平衡状态。故以节点为分离体列节点的平衡方程。,节点受力情况Ui(e)单元e对节点i的节点力。Ri(e)节点i的节点载荷。R支反力。,17,对每个节点列出力平衡方程，得,U1(1)=R+R1(1)U2(2)+U2(1)=R2(1)+R2(2)U3(2)+U3(3)=R3(2)+R3(3)U4(3)=R4(3),写成矩阵形式,18,把各单元刚度矩阵补零升阶到44阶，则,代入上式，得,K=R,K总体刚度矩阵,总体节点位移列阵,总体节点载荷列阵,以节点位移为未知量的线性方程组。,19,(r,s=1,2,3,4。rs时，取“”；rs时，取“”),总体刚度矩阵K,总体刚度矩阵可由各单元刚度矩阵计算：K=Ke,因各单元长度均等于L/3，故由Krs=EA/(xj-xi)，得,Krs=3EA/L,由Krs得,20,把K和R具体表达式代入K=R，得,此时K为一奇异矩阵（|K|=0,即任一行/列所有元素之和为0）。故求解前还需处理边界条件。,由于u1=0已知，可划去K中对应的第一行与第一列，划去与R的第一列。不让节点1的平衡方程进入线性代数方程。,线性代数方程组,21,7.求解方程组,边界条件处理后得,求解这个线性代数方程组，可得节点位移,此即有限元法的计算结果，与解析解相同。,利用节点位移可求得单元应变和应力。,22,有限元法解题步骤,连续体离散化把连续弹性体分割成许多小单元，并把单元载荷等效移置到节点成为节点载荷；,单元特征分析以节点位移e为基本未知量，选一单元位移函数，并用节点位移表示单元位移f=Ne；通过几何方程用节点位移表示单元应变=Be；通过物理方程用节点位移表示单元应力=Ge，通过虚功方程用节点位移表示节点力Fe=Kee。,23,总体结构合成通过节点平衡方程建立以节点位移为未知量、以总体刚度矩阵为系数的线性代数方程组K=R。,边界条件处理求解线性方程组（节点位移、单元应力）,以节点位移为基本未知量的求解方法称为位移法。,有限元法求解流程,24,8.2平面问题有限元法,1.平面问题及其基本方程,平面问题即二维问题，应力、应变只与两个坐标方向的变量有关。可分为平面应力问题和平面应变问题两类。,(1)平面应力问题,均匀薄板，板边受平行于板面且沿厚度均匀分布的载荷时，可认为沿厚度方向的应力分量等于零，即xoy面的应力z=xz=yz=0。称为平面应力问题。,Z向应变=0？,25,(2)平面应变问题,长度很大的柱形体，轴线为z轴，载荷z轴（/横截面）且沿z轴均匀分布时，可认为沿z轴方向应变分量为0（无位移），即z=xz=yz=0。x,y,xy/xoy平面，这种问题就称为平面应变问题。,Z向应力=0？,26,应力列阵=xyxyT,应力-应变关系=D(物理方程),泊松比E弹性模量,D弹性矩阵（对称矩阵）。,应变列阵=xyxyT,平面应力问题,平面应变问题,平面应力平面应变：EE/(1-2),/(1-),(3)平面问题应力-应变关系,27,2.连续体的离散化,离散化无限个质点的连续体有限个单元的集合体从数学意义上讲，就是把微分方程的连续形式转化为代数方程组，以便于进行数值解。,规定：离散化的集合体，单元间仅在节点处铰接，单元间的力只通过节点传递，外载荷只加在节点上。,矩形单元,三角形单元,弹性体,28,平面问题常用单元的类型,三节点三角形,四节点矩形,四节点四边形,八节点曲边形,最简单的单元是三角形单元,29,3.单元分析,三角形单元三个节点i,j,m按逆时针方向编号，节点坐标为i(xi,yi),j(xj,yj),m(xm,ym).,平面力学问题中，每个节点有两个位移分量：u水平分量,v垂直分量,e=ijmT=uiviujvjumvmT,三角形单元的位移向量可写成,30,位移法中，以六个节点位移分量作为基本未知量。对应的物理量是六个节点力分量.,节点力是结构受外力作用引起单元与单元之间的内力，它通过节点来传递的。,在平面问题中，节点力只有两个分量：U水平分量，V垂直分量。,节点力分量可写成,Fe=FiFjFmT=UiViUjVjUmVmT,31,单元分析的任务，就是推导基本未知量e与其对应量Fe之间的关系，即,Fe=Kee,Ke单元的刚度矩阵。它是一个66阶矩阵。,单元分析步骤,下面按此顺序求出相邻各量之间的转换关系，最后综合起来，得到由节点位移求节点力的关系，从而求出单元刚度矩阵Ke。,32,(1)单元位移函数,单元分析的第一步是由单元的六个节点位移分量推算单元内任一点的位移。为此，首先必须选择位移插值函数。,假设三角形内部任一点的位移u(x,y)，v(x,y)是坐标x、y的线性函数，则,(8-28),1,2,6待定参数。,u(x,y)=1+2x+3yv(x,y)=4+5x+6y,33,为三角形单元面积,把单元三节点i,j,m的坐标及位移分别代入式(8-28)，得,a,b,c与节点坐标有关的常数,34,把系数i代入式(8-28)，并按ui、uj、um和vi、vj、vm集项，得,写成矩阵形式,式中,Ni三角形单元形函数，反映单元的位移形态,单元形函数矩阵,35,形函数的几何解释,36,(2)单元刚度矩阵,根据设定的单元位移函数，依次利用几何方程、物理方程与虚功方程，即可导出节点位移与节点力间的关系式，亦即单元刚度方程，从而建立单元刚度矩阵。,几何方程,将位移函数代入并化简,节点位移应变,37,B应变矩阵，各元素只是与单元节点坐标有关的常量，因此单元内任意点的应变分量为常量，故称为常应变单元。,简记为,应变矩阵,式中,38,弹性矩阵D和应变矩阵B中各元素都是常量，故单元中的应力分量也是常量。不同的单元往往具有不同的应力。因此在相邻单元的公共边界上，将存在应力突变。,物理方程,节点位移应力,或写成,式中,应力矩阵,39,外力(节点力)所做虚功等于应力所做虚功,节点位移节点力（推导单刚）,设厚度为t的三角形单元发生某种虚位移，节点虚位移为*e，引起的虚应变为*e，则虚功方程为,将*=B*e和*T=(*e)TBT代入上式，得,（外力与内应力）,40,单元的刚度方程,可写成,单元刚度矩阵(简称单刚),式中,或,D和B都是常量,Ke表示单元的刚度，与弹簧刚度的物理本质相同，即抵抗变形的能力。Ke为66阶方阵，共有36个刚度元素(因三角形单元的节点力向量与节点位移向量都有6个分量)。,单刚的物理意义,41,Ke可写成分块形式,(r,s=i,j,m),Krs=BrTSst子矩阵,22阶,Kij表示当节点j处产生单位位移，其余节点完全被约束时，在节点i处需施加的节点力，如把Kij展开,Kij11节点j处产生单位水平位移(uj=1)，节点i处所需施加的水平节点力；Kij21节点j处产生单位水平位移(uj=1)，节点i处所需施加的垂直节点力；其余类似。,42,对称性。单刚是对称矩阵，即Ke=(Ke)T，或Kij=Kji.,奇异性。单刚是奇异矩阵，即|Ke|=0,亦即单刚不存在逆矩阵。,单元此时未受任何约束，当有节点力作用时，除了单元本身变形外，还会产生任意的刚体位移，因而节点位移无确定值。,单刚的性质,单刚元素只与单元材料性质(E,)和单元几何形状、尺寸大小有关，而与单元的位置无关。单刚与位移函数紧密有关。所取位移函数不同，导出的单刚也不同。,43,4.载荷移置,(1)载荷移置原则,按静力等效原则把非节点载荷移置到节点上。静力等效原则：原载荷与节点载荷在任一轴上的投影之和以及对任一轴的力矩之和都相等。,(2)载荷的移置,载荷：集中力、体力（如重力）和面力等。,静力等效原则与虚功等效原则等价，即单元的原载荷与移置后的节点载荷在相应虚位移上所作虚功相等。,44,设单元ijm中任意一点M(x,y)受集中力P，其分量为Px和Py，即P=PxPyT。,集中力的移置,将此载荷移置到单元各节点上，则单元节点载荷向量为Re=XiYiXjYjXmYmT。,节点载荷Re与集中力P的关系为,（8-55）,Re=NiPxNiPyNjPxNjPyNmPxNmPyT,Re=NTP,Ni,j,m是K点的形函数值。,45,体力的移置,设单元上有分布体力，单位体积的体力p=pxpyT，可将单元中微元体tdxdy上的体力ptdxdy看作集中载荷P，则用式(8-55)积分微元体，得到,(设单元是等厚平板),于是，体力移置的单元节点载荷列阵为,46,面力的移置,设单元一边受分布面力p，其分量为px和py，即p=pxpyT。,即,可将微元面积tds上的面力ptds看作集中载荷P，则用式(8-55)对整个边界面积分，得到,47,单元上同时受到集中力、体力和面力时，可按上述方法分别移置，然后迭加。,面力移置的单元节点载荷列阵为,48,整体分析,第三步工作是总体结构合成，通过节点平衡方程建立以总体刚度矩阵为系数、节点位移为未知量的线性代数方程组,方程组右端向量就是总体节点载荷列矩阵，可由单元载荷移置结果迭加求得。因此，总体结构合成的主要任务是形成总体刚度矩阵。,K=R,49,5.总体刚度矩阵,结构总体刚度方程的合成原则：,(1)各单元变形后，应在节点处保证协调地相互连接。即相聚于节点i的单元，在节点i处必须有相同的位移：,（上标1,2,n表示单元编号）,i1=i2=in=i,(2)各节点处应满足力的平衡条件，即环绕节点的各单元对其作用力的合力应等于该节点上的节点载荷。,环绕节点i的所有单元求和；Ri节点上的载荷,50,设离散后的单元组合体有五个节点四个单元，节点与单元的编号及总体节点载荷如图所示。,(1)节点的平衡方程,节点l,2有约束，v1=u2=v2=0。节点3,4,5有节点载荷。,51,建立节点平衡方程时要解除节点约束，以约束反力代之。节点约束反力与节点载荷具有同样性质，可广义地称为节点载荷。,节点受力分析,节点的受力情况,规定：单元对节点的节点力为负，与坐标轴正向相反,R2x,R5x,52,节点的平衡方程,按节点并按单元写成矩阵形式,补零升阶到与总体节点载荷列阵同阶,节点力列阵,节点载荷,53,用分块矩阵表示,(A),Fi=UiViT,Ri=RixRiyT,同理可将Fe=Kee用零升阶并按节点序号排列,(B),单元(1),(1)(2)(3)(4),54,(C),(D),单元(3),单元(2),单元(4),(E),55,将式(B)(E)代入式(F)，得,K=R,若某单元组合体有n个节点、m个单元，则其总刚为m个单刚由66阶升阶到2n2n阶后迭加的总和，即,K=K(1)+K(2)+K(3)+K(4),=12345T,K单元组合体的总刚，由四个单刚升阶后迭加之和。,56,(2)总体刚度矩阵的形成方法,按式(B)(E)中的单刚子矩阵代入(F)式，将各个子矩阵对号入座，即得,Krs(i)第i单元刚度矩阵的子矩阵(r,s=1，2，5),Krs(i)+(j)第i单元和第j单元的单刚相应的子矩阵的迭加。如K13(1)+(3)总刚的子矩阵K13=K13(1)+K13(3)。,1010阶,57,1)主对角线子块Krr（r=s）由环绕节点r的诸单元刚度矩阵相应对角子矩阵Krre迭加而成。,总刚形成规律,如节点3被单元(1)，(2)，(3)和(4)所共用，则K33=K33(1)+(2)+(3)+(4)。,环节点(n个)单元,58,2)rs时，若r、s是相邻单元公共边上的两个节点，则总刚子矩阵Krs就是公用该边的两个相邻单元的单刚子矩阵Krse的迭加。,如K53的53边是单元(2)和(4)公共边，则K53=K53(2)+(4)。,r、s为单元公边节点,3-1,3-23-4,3-5,59,3)当rs时，若r、s仅是某单元一个边上的两节点，则它们等于该单元刚度矩阵相应的一个子块。,r、s为单元非公边节点,1-2,1-42-5,4-5,60,4)当rs时，若r、s不同属于一个单元的两个节点，即互不相关的两个节点，则总刚的这些子矩阵Krs=0。,r、s为互不相关的两个节点（分属不同单元）：1-5、2-4,61,总刚子矩阵Krs物理意义(与单刚子矩阵一样)r节点力作用的节点编号，s产生位移的节点编号。当r=s时，该节点的位移与所有公用该节点的单元在该节点的节点力有关。,当rs时，节点s的位移与rs边所在单元的节点r的节点力有关。rs边是内边，涉及两个相邻单元；rs边为边界，只涉及一个单元；r与s不同属于任何单元时，节点s的位移与节点r的节点力无直接关系。,62,1)对称性。总刚为对称矩阵，所有对称于主对角线的元素都相等。利用其对称性可在计算机中只存贮矩阵的上三角或下三角部分。,(3)总刚的特性,2)奇异性。总刚是奇异矩阵。其物理意义是，整体结构可在无约束条件下作刚体运动。故解题时，必须处理边界条件。只有对整体刚度矩阵K进行修改，才能求出节点位移。,3)稀疏性。总刚为稀疏矩阵。r与s分属不同单元时，总刚子矩阵Krs0。单元越多，零元素越多，矩阵就越稀疏。一个高阶总刚总是一个高度稀疏的矩阵(一个节点只与周围68个节点有关，非零元素仅占5左右)。,63,4)带状性。即总刚的非零元素呈带状分布，集中在主对角线两侧。,每一行第一个非零元素到主对角线元素的元素个数，称为半带宽。B=(相邻节点号最大差值1)2,总刚的半带宽B与节点编号方式（次序）有密切关系。,64,上图编号方式相邻节点号最大差值为5，故B=(5+1)2=12。下图相邻节点号最大差值为11，则总刚半带宽B=(11+1)2=24。,仅编号方式不同，导致两者半带宽相差一倍。,总刚是对称矩阵，通常只存入半带宽的元素。为节省计算机内存量，带宽应尽量小。故编号方式应使相邻节点号之差值尽量小，上图编号方式是最好方案。,节点编号,65,6.边界条件的处理,总刚是一个奇异矩阵，不存在逆矩阵。故在形成总刚并建立线性代数方程组后，不能直接求解节点位移，必须先考虑边界条件并进行处理。只有经过边界条件处理，总刚才是非奇异矩阵，才能从总刚方程求得节点位移分量的唯一解。,（1）必要性,边界条件就是支承条件，就是使整个结构受到必要的约束，消除刚体位移。,（2）边界条件,66,图示结构受到三个约束：节点1在铅直方向，节点2在水平和铅直方向都受到约束，即v1=u2=v2=0，这样就可以消除其刚体位移。,R4y,5,1,2,3,4,(1),(2),(3),(4),R3x,R5x,R5y,支撑条件,67,前例总刚是1010阶，总刚方程是10阶线性方程组，由于v1=u2=v2=0，故可把v1、u2、v2所在的第2、3、4行和列统统划去。,（3）处理方法,如用“”表示非零元素，并写出对称矩阵的下三角阵，则处理前的总刚方程为,1010阶,68,处理后的总刚方程为,边界条件处理后，总刚方程变为7阶线性方程组，总刚变成非奇异矩阵。7个线性方程中含7个未知位移量，故可求得唯一解。,77阶,69,总刚处理后有二个变化：一是总刚降阶，如整个结构原有n个节点和r个约束，则总刚在处理前为2n2n阶，而处理后变为(2n-r)(2n-r)阶。二是总刚变为非奇异矩阵。,边界约束处理后的总刚，其对称性和稀疏性并无影响。求解(2n-r)阶的总刚方程即可得(2n-r)个节点位移分量，代入式=Se就可求得各单元的应力分量。,70,7.平面应力问题有限元法计算步骤,根据具体的结构及给定条件，给出计算简图，标明尺寸，外载及支承条件。,计算单刚。可按公式计算单元面积，应变矩阵B，弹性矩阵D，最后形成单刚。,选定坐标系，划分单元，编出单元号与节点号(注意节点编号对总刚带宽的影响)，准备各节点坐标值，材料的弹性模量、泊松比，载荷值及其作用的节点号与作用方向，约束的节点及约束方向或已知位移值。,71,将单刚组集成总刚K。将载荷移置到节点上，并形成载荷向量R。边界条件处理。求解线性方程组以得到节点的位移分量，并可从而求得单元应力,72,8.3轴对称问题,若弹性体的几何形状、物理性质、约束条件及外载荷都是轴对称的，则物体的应力、应变、位移等就是轴对称的。,在轴对称问题中，过对称轴任意面的应力、应变和位移是相同的，因而这类空间问题可以简化为类似平面问题处理。,轴对称问题有限元法与平面问题有限元法基本类似，但在数学上要繁琐一些。,73,1.应力应变关系,轴对称问题采用柱坐标(r,z)表示一点的位移。取z轴为对称轴，这时，应变和位移只与z和r有关，与无关，即,轴对称体的三角形单元,u=u(r,z)w=w(r,z),轴对称问题需考虑四个应力分量,对应的应变分量为,74,几何方程,物理方程,弹性矩阵,75,2.三角形截面环单元,轴对称问题中，采用三角形截面的圆环单元，它是由roz面上的三角形ijm环绕对称轴z旋转一周得到的。,相邻单元在其棱边互相连接，单元的棱边都是圆，称为节圆。每个节圆与roz平面的交点就是节点。,各单元在roz平面上形成三角形网格。基本未知量仍取节点位移。,76,单元节点位移可表示为,仿照平面问题，取线性位移函数,求得单元位移,77,将单元位移代入几何方程，得单元体内的应变,单元的r、z、rz应变分量都是常量；但环向正应变不是常量，它与fi、fj、fm中的r有关。,78,单元的应力分量仍可表示为,应力分量中除rz在单元中为常量外，其余三个正应力在单元中都不是常量。,79,这样，就可以把各个单元近似地当作常应变单元。利用上式求得的是单