山东大学高数1-1,2 [修复的]PPT演示课件

1,高等数学,人类尚未开垦的最大疆域，是两耳之间的空间。,（上册）,2,课前絮语,1、高等数学的重要性。,硕士研究生入学统考数学试卷分为三种：工学：数学一、数学二经济学和管理学：数学三,数学一：高等数学，线性代数，概率论与数理统计数学二：高等数学，线性代数数学三：微积分，线性代数，概率论,数学一内容比例：高等数学82分线性代数34分概率论与数理统计34分,3,2、适应初等数学到高等数学的转变。,3、适应教学进度。,4、适应直接面授到多媒体教学的转变。,5、作业问题,学无止境，勤能补拙！大学生数学竞赛（北大）,4,自学内容,附录、；2.极坐标,曲线的极坐标方程；3.参数方程。,5,参考书目：,2.考研数学真题分类全解清华大学胡金德作序刘建亚主审张天德主编,3.高等数学同步辅导吴臻主审张天德主编同济大学（第六版）配套,1.吉米多维奇高等数学习题精选精解刘建亚、吴臻主审张天德蒋晓芸主编,6,张天hangtd,山东大学教授、研究生导师、教学能手、高等数学课程负责人、青年教师授课十佳山东省优秀青年知识分子、中青年学术骨干全国大学生数学竞赛山东赛区负责人、硕士研究生入学考试山东阅卷组组长,7,第一章函数与极限,初等数学是常量数学，主要研究常量。,高等数学是变量数学，主要研究变量。,函数是变量之间的依赖关系,函数是高等数学的研究对象。极限的方法是研究函数的基本方法，贯穿于高等数学的始终，它是初等数学与高等数学的分水岭。因此理解函数的概念，掌握极限的理论是学好高等数学的基础。,8,本章先学习函数及其相关概念，介绍函数的基本性质和常见的初等函数；接着讨论数列、函数的极限，包括极限的定义和求几种不同形式极限的常用方法；然后介绍无穷小量和无穷大量，包括无穷小的比较；最后说明函数的连续性，并介绍利用连续函数的性质求解一些常见问题的方法。,9,第一节函数第二节初等函数,10,一、重要知识点：,1.严格单调函数必有反函数，且严格递增（减）函数的反函数也必严格地增（减）。反之，有反函数的函数未必一定是严格单调函数。函数与反函数表示同一条曲线，若用表示自变量，表示因变量，则与的图像关于直线对称，的定义域即为的值域。,2.两个奇函数的和或差仍为奇函数；两个偶函数的和、差、积、商（除数不为0）仍是偶函数；两个奇函数的积与商（除数不为0）为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积与商（除数不为0）为奇函数。,11,3.分段函数是一种特别重要的函数，它用几个的不同的解析式“分段”表示一个函数。所有解析式对应的定义域的并集是该函数的定义域。图像分段的函数不一定是分段函数，分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（曲面）。,12,二、几个重要的概念：,1、邻域,以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记为U(a).,13,分段函数是由几个不同解析式表示的一个函数。不能把它看作多个函数。只不过在定义域的不同集合，有不同的解析式而已。,几个特殊的常用的分段函数：,2、分段函数,分段函数的定义域:,是各个有定义的不同集合的并集。,要注意各段的分界点。,求分界点处的函数值要注意分界点在哪个区间。不同定义区间的自变量，按对应区间的函数表达式求函数值。,14,P4例1.1.4符号函数,例取整函数,15,狄利克雷函数：,16,3、函数的几种特性（有界性、单调性、奇偶性、周期性）,有界性：,定理：在上有界在上既有上界又下界。,17,4、反函数,定义:,设函数y=f(x)的定义域为D,值域为W则对于任意y0W,必定有唯一x0D,使x0=(y0)即：x也是y的函数，记作：x=(y)其定义域为W，值域为D.称为y=f(x)的反函数。相对于x=(y)，y=f(x)称为直接函数。,注:在同一个坐标系中，x=(y)和y=f(x)的图像是同一条曲线，只不过自变量所在的坐标轴不同。,习惯上，总是以x作为自变量，函数记做：y=(x),在同一个坐标系中，y=(x)和y=f(x)的图像是不同的两条曲线，它们关于直线y=x对称。,18,5.五种基本初等函数与初等函数,（1）基本初等函数：,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。,（2）初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。,19,特别说明：反三角函数,20,它们都是多值函数，选取其单值支，相应得到单值函数：,21,6.双曲函数与反双曲函数,双曲函数的性态：,22,双曲余弦：,双曲余弦的性态：,23,双曲正切：,双曲正切的性态：,24,(A),25,双曲函数与反双曲函数都是初等函数。,26,三、例题（做好笔记）,1.求函数的定义域,例1求下列函数的定义域,解,(1)由题意，应满足,所以函数的定义域为：,（2）由题意,解得:,故函数的定义域为：,27,例2设，且，求的定义域。,解,由上面的等式解得,又因为，所以,28,2.求函数解析式,解,所给等式变为：,即,解方程组,得,29,解,30,3.求复合函数的复合过程,例5.写出下列函数的复合过程：,(分解后的函数是：基本初等函数或其四则运算形式),解,31,4.求反函数,解,所以反函数为,32,5、函数特性讨论举例,因此，函数f(x)在R上是有界、单增的奇函数，非周期函数。,绝对值不等式,例8设函数,33,例9常数函数：y=C,显然，常数函数是有界的偶函数，既是单调增加的，又是单调减少的，可以看作以任意常数为周期，当C=