江苏省吴江平望中学2020学年高二数学上学期第二次阶段性测试试题

吴江平望中学2020学年第一学期第二次阶段性测试高二数学试卷（满分：160分，考试时间：120分钟） 2020年12月一填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1抛物线的焦点坐标是 2、双曲线的渐近线方程为 .3、焦距为8，短轴长为6，且焦点在轴上的椭圆的标准方程为 .4以为圆心，半径为的圆的标准方程为 5、若椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是 .6已知正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的侧面积为 7、过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB7，则AB的中点到抛物线准线的距离为 .8、棱长为的正方体的外接球的表面积为 9、已知直线与圆，则C上各点到的距离的最小值为 .10已知直线，平面，且，给出下列命题： 若，则； 若，则； 若，则； 若，则其中真命题的个数为 .11、设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点. 若双曲线上存在点A，使F1AF2=90，且，则双曲线的离心率为 .12.已知椭圆内部的一点为，为右焦点，为椭圆上一动点，则的最小值为 13、已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的一个端点为P，若为钝角，则椭圆离心率的取值范围为 .14.已知椭圆的离心率为，过右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本题满分14分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在轴上，离心率为；(2)焦点的坐标为，渐近线方程为.16. (本题满分14分)如图，四棱锥的底面是菱形，且，又是等边三角形， 分别是的中点(1)求证：平面；(2)求证：平面.17（本题满分14分）已知圆：，点（1）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程；（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点记为，为坐标原点，且满足，求使得取得最小值时点的坐标18. (本题满分16分)有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示.为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米.若行车道总宽度为米.(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；(2)现有一辆载重汽车宽米，高米，试判断该车能否安全通过隧道？19.（本题满分16分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2,1)若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使PAQ的角平分线总垂直于x轴.（1）求椭圆的方程（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由20、（本题满分16分）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆C的方程；（2）设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；（3）在的条件下，证明直线与轴相交于定点吴江平望中学2020学年第一学期第二次阶段性测试高二数学试卷（满分：160分，考试时间：120分钟） 2020年12月命题人： 许建冬 审核人：丁莉萍1 填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1抛物线的焦点坐标是 2、双曲线的渐近线方程为 . 3、焦距为8，短轴长为6，且焦点在轴上的椭圆的标准方程为 . 4以为圆心，半径为的圆的标准方程为 5、若椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是 .6已知正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的侧面积为 727. 过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为 .8、棱长为的正方体的外接球的表面积为 9、已知直线与圆，则C上各点到的距离的最小值为 .10已知直线，平面，且，给出下列命题： 若，则； 若，则； 若，则； 若，则其中真命题的个数为 211、设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点. 若双曲线上存在点A，使F1AF2=90，且，则双曲线的离心率为 .12.已知椭圆内部的一点为，为右焦点，为椭圆上一动点，则的最小值为 13、已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的一个端点为P，若为钝角，则椭圆离心率的取值范围为 .14.已知椭圆的离心率为，过右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本题满分14分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在轴上，离心率为；(2)焦点的坐标为，渐近线方程为.15.解：(1)因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，其中. -2分由及离心率得，所以， -5分所以，所求双曲线的标准方程为. -7分(2)由焦点的坐标为，知双曲线的焦点在轴上，故设双曲线的标准方程为，且， -9分因为渐近线方程为，所以， 由得， -12分所以，所求双曲线的标准方程为. -14分16. (本题满分14分)如图，四棱锥的底面是菱形，且，又是等边三角形， 分别是的中点(1)求证：平面；(2)求证：平面.16. (1) 证明：连结.因为是菱形，且，且是等边三角形，因为是的中点，所以.是等边三角形，是的中点，所以， -4分因为，平面，平面，所以平面， -7分(2) 证明：取中点，连结.在中，分别为的中点，所以且，又是菱形，是的中点，所以且，从而且，故四边形是平行四边形，-10分所以，又因为平面，平面，所以平面. -14分17. (本题满分14分)已知圆：，点（1）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程；（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点记为，为坐标原点，且满足，求使得取得最小值时点的坐标17、解： 圆方程可化为（1）当直线与轴垂直时，满足，所以此时 2分当直线与轴不垂直时，设直线方程为，即 3分因为，所以圆心到直线的距离 4分由点到直线的距离公式得 解得所以直线的方程为 6分所以所求直线的方程为或 7分（2）因为，化简得即点在直线上， 10分当最小时，即取得最小，此时垂直直线所以的方程为 12分所以 解得所以点的坐标为 14分18（本题满分16分）有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示.为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米.若行车道总宽度为米.(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；(2)现有一辆载重汽车宽米，高米，试判断该车能否安全通过隧道？17、解：(1)建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为， -2分根据题意，此抛物线经过点，代入抛物线方程解得，所以抛物线的方程为. -6分在此方程中令，得， -8分因此，所以车辆通过隧道时的限制高度为米. -10分(2) 对于抛物线，令，得， -13分因为，所以，该车不能安全通过隧道. -16分19.已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2,1)若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使PAQ的角平分线总垂直于x轴.（1）求椭圆的方程（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由19. 解：（1）因为椭圆C的离心率为，且过点A(2,1)，所以，解得 所以椭圆C的方程为-6分（2）因为PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x2对称设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为k.所以直线PA的方程为y1k(x2)，直线AQ的方程为y1k(x2)设点，由得因为点A(2,1)在椭圆C上，所以x2是方程的一个根，则，所以同理所以又，所以直线PQ的斜率，所以直线PQ的斜率为定值，该值为.-16分20、（本题满分16分）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆C的方程；（2）设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率