江苏省沭阳县修远中学2020学年高二数学上学期第二次月考试题（实验班）

修远中学修远中学 20202020 学年度第一学期第二次阶段测试学年度第一学期第二次阶段测试 高二数学试题高二数学试题 一、填空题：共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答卷纸的相应位置上 1.命题“x R， 2 10 x ”的否定是 2.复数 2i z i （i为虚数单位）的虚部为 3某课题组进行城市空气质量监测，按地域将 24 个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城 市数分别为 4、12、8.若用分层抽样抽取 6 个城市，则乙组中应该抽取的城市数为. 4若一组样本数据8, ,10,11,9x的平均数为10，则该组样本数据的方差为 5.已知命题， “p为真”是“为假”的条件（从“充要” ， “充分不必要” ， “必要不 p、qp q 充分” ， “既不充分也不必要”中选择适当的填写） 6右图是一个算法流程图，则输出的x的值为 7. 用反证法证明某命题时，对结论“自然数, ,a b c中至多 有 2 个偶数”的正确假设为“假设自然数, ,a b c中” 8在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 22 1 9 xy m 的一 个焦点为（5，0） ，则实数m 9.在区间 1,5内随机取一个数m，则方程 222 41m xy 表示焦点在y轴上的椭圆的概率是 10抛物线 2 (0)yax a上的点 0 3 , 2 Py 到焦点F的 距离为 2，则a _ 11从 3 名男同学，2 名女同学中任选 2 人参加体能测试，则选到的 2 名同学中至少有一名 男同学的概率是 12若采用系统抽样方法从 420 人中抽取 21 人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2， ，420 ，则抽取的21人中，编号在区间241,360内的人数是 13已知函数xxf2)(，xxg 8 1 )(，若1)( 1 x，对 * Nn， ) 1)( )( ) 1)( )( )( 1 xxg xxf x nn nn n ， ， ，则)( 2017 x。 14已知函数 )( ,3 )0(|,ln| )( 33 3 exxe exx xf，存在 321 xxx，)()()( 321 xfxfxf， 则 2 3) ( x xf 的最大值为。 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （本题满分 14 分）在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2,1,1ABBCAA （1）求直线 11 ADB D与所成角； （2）求直线 111 ADB BDD与平面所成角的正弦值. 16. （本小题满分 14 分）已知函数( )cos x f xex，其中e为自然对数的底数. （1）求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程； （2）求函数( )yf x在区间0, 2 上的最值以及此时x的值. 17.（本小题满分 14 分）某同学参加高二学业水平测试的 4 门必修科目考试，已知该同学每 门学科考试成绩达到“A”等级的概率均为 2 3 ，且每门考试成绩的结果互不影响 （1）求该同学至少得到两个“A”的概率； （2）已知在高考成绩计分时，每有一科达到“A” ，则高考成绩加 1 分，如果 4 门学科均达 到“A” ，则高考成绩额外再加 1 分现用随机变量 Y 表示该同学学业水平测试的总加分，求 Y 的概率分布列和数学期望 18.（本小题满分 16 分）已知 1 F、 2 F为椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右焦点， 点 3 1, 2 P 为椭圆上一点，且 12 4PFPF （1）求椭圆C的标准方程； （2）若圆O是以 12 FF为直径的圆，直线l：ykxm与圆O相切，并与椭圆C交于不同 的两点A、B，且 3 2 OA OB ，求k的值 19 （本题满分 16 分）已知函数axxxf 3 )(在( 1,0)上是增函数. 求实数a的取值集合A； 当a为A中最小值时，定义数列 n a满足： 1 ( 1,0)a ，且)(2 1nn afa ， 用数学归纳法证明( 1,0) n a ，并判断 1n a 与 n a的大小. 20.（本小题满分 16 分）已知函数 2 1 ln 2 f xxax，aR （1）求函数 f x的单调区间； （2）若关于x的不等式 11f xax恒成立，求整数a的最小值 参考答案 1.【答案】x R， 2 10 x 2. 2 3 【答案】3 4 【答案】2 5.充分不必要条件 6 【答案】 1 6 7.三个数都是偶数 8 16 9. 3 4 10 2 11 【答案】 9 10 12 【答案】6 13 )( 2017 x。1 14 e 1 15.【解析】 试题分析：以 D 为原点建系 . 1 分 （1） 11 cos,0AD B D 3 分 直线 11 ADB D与所成角为 907 分 （2） 11 ( 2,1,0)B BDDn 平面的法向量为 10 分 1 10 sin|cos,| 5 n AD 所求角的正弦值为 10 5 14 分 16.解：（1）( )e cose sin xx fxxx, 斜率(0)1k f (0)1f，切点坐标为(0,1)，切线方程为1yx.6 分 （2）( )e cose sin xx fxxx, 令( )0fx，即e cose sin =0 xx xx， 2 , 0x，得 4 x ； 列表如下： x0 (0,) 44 () 4 2 , 2 ( )fx 正 0 负 ( )f x 1 增极大值减 0 .10 分 当 4 x 时, 4 max 2 ( )()e 42 f xf ；.12 分 当 2 x 时, min ( )()0 2 f xf .14 分 17. 试题解析：（1）设 4 门考试成绩得到“A”的次数为 X,依题意,随机变量 XB（4, 2 3 ）,则 P（X2）=1P（X=0）P（X=1）=1 0413 01 44 2121 CC 3333 = 8 9 , 故该同学至少得到两个“A”的概率为 8 9 . .6 分 （2）随机变量 Y 的可能值为 0,1,2,3,5,则 P（Y=0）= 04 0 4 21 C 33 = 1 81 , P（Y=1）= 13 1 4 21 C 33 = 8 81 , P（Y=2）= 22 2 4 21 C 33 = 8 27 , P（Y=3）= 31 3 4 21 C 33 = 32 81 , P（Y=5）= 40 4 4 21 C 33 =16 81 .11 分 随机变量 Y 的概率分布如下表所示： Y01235 P 1 81 8 81 8 27 32 81 16 81 从而 E（Y）=0 1 81 +1 8 81 +2 8 27 +3 32 81 +516 81 = 232 81 .14 分 18 试题解析：（1）由题意得： 22 19 1, 4 24, ab a 解得 2, 3, a b 则椭圆方程为 22 1 43 xy .6 分 （2）由直线l与圆O相切，得1 1 | 2 k m ，化简得 22 1mk ，.8 分 设 11 ,A x y， 22 ,B xy， 由 22 1, 43 , xy ykxm 消去y，整理得 222 3484120kxkmxm，.10 分 2 222 84 4123416 960kmmkk 恒成立， 所以 12 2 8 34 km xx k ， 2 12 2 412 34 m x x k ， 22 1212 2 312 34 mk y ykxmkxm k ， 22 1mk ， 2 1212 2 553 342 k x xy y k ，.14 分 解得 2 2 k .16 分 19 解析： 2 ( )30fxxa 即 2 3ax在( 1,0)x 恒成立， 3,)A；.4 分 用数学归纳法证明：( 1,0) n a （）1n时，由题设 1 ( 1,0)a ； （）假设kn 时，( 1,0) k a ；.6 分 则当1 kn时，)3( 2 1 )( 2 1 3 1kkkk aaafa ， 由知：xxxf3)( 3 在( 1,0)上是增函数，又( 1,0) k a ， 所以 33 1 111 ( ( 1)3 ( 1)1()(3)0 222 kkkk af aaa ， 综合（） （）得：对任意 * Nn， ( 1,0) n a ，.12 分 3 1 11 (3)(1)(1) 22 nnnnnnnn aaaaaa aa ，因为( 1,0) n a ， 所以 1 0 nn aa ，即 1nn aa .16 分 20 试题解析：（1）函数 f x的定义域为0, 由题意得 2 11 ax fxax xx ， 当0a 时， 0fx ，则 f x在区间0,内单调递增；.2 分 当0a 时，由 0fx ，得 1 x a 或 1 x a （舍去） ， 当 1 0 x a 时， 0fx ， f x单调递增， 当 1 x a 时， 0fx ， f x单调递减.6 分 所以当0a 时， f x的单调递增区间为0,，无单调递减区间； 当0a 时， f x的单调递增区间为 1 0, a ，单调递减区间为 1 , a .7 分 （2）由 2 1 ln11 2 xaxax， 得 2 2 ln12xxaxx， 因为0 x ，所以原命题等价于 2 2 ln1 2 xx a xx 在区间0,内恒成立 令 2 2 ln1 2 xx g x xx ， 则 2 2 212ln 2 xxx gx xx ，.10 分 令 2lnh xxx，则 h x在区间0,内单调递增， 又 11 2ln2011 0 22 hh ， 所以存在唯一的 0 1 ,1 2 x ，使得 000 2ln0h