江西省宜春南苑实验学校2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）

宜春南苑实验学校2020学年下学期期中考试高二年级数学（理）试卷 一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若复数zai的实部与虚部相等，则实数a()A. 1 B. 1 C. 2 D. 2【答案】B【解析】由于复数zai的实部与虚部分别为，故由题设可得，应选答案B。2. 18171698等于 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为从有11个数，所以，应选答案D。3. 的值为 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，故选D.考点：二项式系数的性质.【方法点睛】本题主要考查了二项式系数的性质，属于基础题.解答本题的关键是根据题中各二项式系数上标和下标的特征找到解题的突破口，容易发现各二项式系数的下标和上标都是依次加，如果把用代替就可以利用性质从前面开始逐步合并，最终得到，再利用性质得到.4. 凸十边形的对角线的条数为 ( )A. 10 B. 35 C. 45 D. 90【答案】B【解析】因为10边形有10个顶点，而1个顶点可以和7个定点连成对角线，所以10个顶点是条对角线，由于每条对角线都计算了两次，所以有35条对角线，应选答案B。5. (x2)6的展开式中x3的系数是 ( )A. 20 B. 40 C. 80 D. 160【答案】D【解析】因为二项展开式中的是降幂，2是升幂，当的指数降为3时，2的指数升为3，二项式系数的上标升至3，其系数是数，应选答案D。6. 若100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为从件产品中任取件产品 共有种取法，从件产品中任取件产品没有次品的取法共有种，所以从件产品中任取件产品至少有件次品的不同取法的种数是 ，故选C.考点：阅读能力及组合的应用.7. 用反证法证明命题：“若系数为整数的一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”对该命题结论的否定叙述正确的是( )A. 假设a，b，c都是偶数B. 假设a，b，c都不是偶数C. 假设a，b，c至多有一个是偶数D. 假设a，b，c至多有两个是偶数【答案】B【解析】试题分析：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B点评：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”8. 教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【答案】D【解析】因为从一层到五层共有5层，运用分步计数原理可知：共有种不同的走法，应选答案D。9. 函数f(x)x33x+1在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是（ ）A. 1，1 B. 3，-17 C. 1，17 D. 9，19【答案】B【解析】因为，所以可得，令可得，容易算得，故最大值和最小值分别是，应选答案B。点睛：解答本题的思路是先求函数的导数，求出其极值点，再求出极值点对应的函数值（包括区间端点），最后再确定这些函数值中的最大值和最小值，简化问题的求解过程，值得借鉴和思考。10. 已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图像如图所示，则()A. 函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B. 函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C. 函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D. 函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点【答案】A【解析】试题分析：所给图象是导函数图象，在处左右两侧函数值取正负，故函数在有极大值，在处有极小值.故选A.考点：函数的极值.11. 设，则a，b，c的大小关系()A. abc B. bac C. acb D. bca【答案】A【解析】借助定积分的计算公式可算得，所以，应选答案A。12. 已知数列1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，则数列的第k项是()A. akak1a2k B. ak1aka2k1C. ak1aka2k D. ak1aka2k2【答案】D【解析】由题设可知数列的第项是个数，对于答案A中，由于，因此有个项，故不正确；对于答案B，因为，所以有个项，故不正确；对于答案C，因为，所以有个项，故也不正确；对于答案D，因为，所以有个项，故正确，应选答案D。点睛：解答本题的关键是运用观察归纳的思维方法，首先确定第项必有个数这一事实，依据单项选择题的问题特征，运用逐个检验和验证的数学筛选法进行逐一判定，最终达到减少选择项或得到选择项的目的。二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13. 若函数f(x)，则f(x)的导函数f(x)=_.【答案】【解析】因为，所以，应填答案。14. 已知复数z134i，z2ti，且z1是实数，则复数z2的模_.【答案】【解析】因为，所以，由题设可得，所以，应填答案。15. 观察下列等式：132332, 13233362,根据上述规律，第五个等式为_【答案】132333435363212.【解析】由13+23=(1+2)2=32;13+23+33=(1+2+3)2=62;13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102得,第五个等式为13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.16. 用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有 _个.【答案】36.【解析】由题设可知：当首位排5和3时，末尾可排2和4，中间三数全排，两种情况共有种；当首位排2和4时，末尾只能排4和2，中间三个数全排，两种情况共有，所以由分类计数原理可得所有符合条件的五位数共有，应填答案。点睛：解答本题时充分借助题设条件，先考虑首位数字的特征，其次考虑末尾数字的要求，中间三个数将剩余的三个数全排的思维模式，运用分类计数和分步计数原理进行分析求解，从而获得答案。三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17. 已知复数，是实数，是虚数单位（1）求复数；（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围【答案】（1）z=2i（2）m（，2）时，复数所表示的点在第一象限【解析】【试题分析】（1）将代入，再借助是实数，其虚部为0建立方程求出的值；（2）将代入，借助其表示的点在第一象限建立不等式组，通过解不等式组求出的取值范围：解：（1）z=bi（bR），=又是实数， b=2，即z=2i（2）z=2i，mR，（m+z）2=（m2i）2=m24mi+4i2=（m24）4mi，又复数所表示的点在第一象限，解得m2，即m（，2）时，复数所表示的点在第一象限18. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.（1）求出；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，（3）根据你得到的关系式求的表达式【答案】（1）41（2）f（n）=2n22n+1【解析】【试题分析】（1）先求出，找出规律，求出；（2）借助归纳推理找出规律：-；（3）借助（2）的规律-运用两边叠加的方法求解：解：（）f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，f（2）f（1）=4=41f（3）f（2）=8=42，f（4）f（3）=12=43，f（5）f（4）=16=44f（5）=25+44=41 （）由上式规律得出f（n+1）f（n）=4nf（2）f（1）=41，f（3）f（2）=42，f（4）f（3）=43，f（n1）f（n2）=4（n2），f（n）f（n1）=4（n1）f（n）f（1）=41+2+（n2）+（n1）=2（n1）n，f（n）=2n22n+119. 有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内(1)共有几种放法？(2)恰有1个空盒，有几种放法？(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？【答案】（1）256（2）144（3）84【解析】【试题分析】（1）依据分步计数原理可得；（2）先从4个小球中取出两个放在一起，分成三堆放入 3个盒子中，运用分步计数原理求解；（3）先分类：即分为一个盒子放1个；另一个盒子放3个和两个盒子中各放2个小球，然后运用分类计数原理进行求解：解(1)44256(种)(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的两个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种不同的放法根据分步乘法计数原理，不同的放法共有C24A34144(种).20. 已知函数f(x)ax2blnx在x1处有极值.(1)求a，b的值；(2)求函数yf(x)的单调区间【答案】（1）a，b1（2）单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，)【解析】【试题分析】（1）先对函数求导，借助极值点即为导数的零点及建立方程组；（2）先对函数求导，再借助导数值的符号与函数单调性的关系，求出单调其单调区间： (1)f(x)2ax，又f(x)在x1处有极值，即解得a，b1. 经检验得a，b1函数f(x)ax2blnx在x1处有极值. (2)由(1)可知f(x)x2lnx，其定义域是(0，)，且f(x)x.令f(x)0，解得x1或x1(舍去)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以函数yf(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，)点睛：本题以含参数的函数解析式为前提条件，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解本题的第一问时，依据题设条件先求出函数的导数，再借助题设条件建立出方程组，通过解方程组求出实数；（2）求函数单调区间的步骤是先对函数求导，再求出函数极值点（导函数的零点），最后将定义域化为以极值点为端点几个区间进行检验判定，确定导函数值的符号，判断出函数的单调性，最终求出单调区间。21. 如图，设是抛物线上的一点 (1)求该抛物线在点处的切线的方程；(2)求曲线、直线和轴所围成的图形的面积.【答案】（1）（2） 【解析】略22. 已知(x2)2n的展开式中各项系数的和比(3x1)n的展开式中二项式系数的和大992，求2n的展开式中：（1）第10项(2) 常数项；(3) 系数的绝对值最大的项【答案】（1）T10-20x-8（2）8 064（3）系数的绝对值最大的是第4项15 360x4.【解析】【试题分析】（1）先二项式的各项系数与二项式系数，借助二者之差为992建立方程求出，再依据二项式展开式的通项公式求出第10项；（2）借助二项式展开式的通项公式，待定出的值；（3）依据最大的意义及二项展开式的通项公式建立不等式组进行求解： 解由题意得22n2n992，解得n5.(