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第六章数值微分,张武上海大学计算机学院,1,第六章数值微分,在实际问题中，往往会遇到某函数f(x)是用表格表示的,用通常的导数定义无法求导,因此要寻求其他方法近似求导。常用的数值微分方法有:,一.运用差商求数值微分运用插值函数求数值微分三.运用样条插值函数求数值微分四.运用数值积分求数值微分,2,一.运用差商求数值微分,最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商.,3,4,利用Taylor展开可导出数值微分公式并估计误差.,5,一阶导数的三点公式：,证明:,同样的方法可以得到其它的三点公式是：,6,7,二、运用插值函数求数值微分,设Ln(x)是f(x)的过点x0，x1，x2，xna，b的n次插值多项式，由Lagrange插值余项,有对任意给定的xa，b，总存在如下关系式:,若取数值微分公式,误差为:,8,因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值,称为n+1点求导公式。,9,常用的数值微分公式是n=1,2的插值型微分公式.当n=1时,有,10,例1设f(x)=lnx，x0=1.8，用2点公式计算f(x0)。,11,当n=2时,有,当节点等距时，即有x1=x0+h,x2=x0+2h,h0,上述公式可简化为,12,有时，也将xi统一表为x0,将上述公式写成如下形式,n=2时，计算f(x0)的误差是O(h2),且（4）的误差最小。,13,例2设f(x)=xex，x0=2，用3点公式计算f(x0)。,14,由（6），f(2)22.166996，误差为：1.6910-4,公式(4)计算f(2)较准确。,用5点公式计算f(2)：,当n=4时,可得到5点公式：,15,5点公式计算f(x0)的误差是O(h4),且中点公式（6）的误差小于端点公式（7）。,16,在构造数值微分公式时，不仅要考虑公式的截断误差，而且还要考虑公式的舍入误差。,17,计算f(x0)的总误差是：,从截断误差(h2/6)f(3)(1）的角度看，h越小误差越小。但从舍入误差的角度看，h不能太小。,误差界为：e(h)=e/h+(h2/6)M,这里e=maxe(x0h),M=maxf(3)(x),例3设f(x)=sinx，计算f(0.900)=cos0.900的近似值。,18,解：利用公式,19,三.运用样条插值函数求数值微分,用三转角方程和三弯矩方程可以分别求出在节点处函数f(x)的一阶导数和二阶导数的近似值.,四.运用数值积分求数值微分,2
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