数列的概念与简单表示法 (2)

,1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).,2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.,1.数列的概念,按照一定的顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每个数叫做这个数列中的项.,2.数列的分类,数列按项数来分,分为有穷数列、无穷数列;按项的增减规律分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列,递增数列an+1an,递减数列an+1an,常,数列an+1=an,递增数列与递减数列统称为单调数列;按任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分,可分为有界数列和无界数列.,3.数列与函数的关系,(1)从函数观点看,数列可以看成是以正自然数集N*(或它的有限子集1,2,n)为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.,(2)数列同函数一样有列表法、解析法、图象法三种表示方法.,4.数列的通项公式,如果数列an的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示,那么这个公式叫这个数列的通项公式.,5.数列的递推公式,如果已知数列an的首项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫数列的递推公式.,6.数列的前n项和,数列an的前n项之和叫做数列的前n项和,常用Sn表示,即Sn=a1+a2+an.Sn与an的关系是:,一个数列的通项公式唯一吗?是否每个数列都有通项公式?,提示:不唯一,如数列-1,1,-1,1的通项公式可以是an=(-1)n或an=,有的数列没有通项公式.,提示,由数列前几项求数列通项,1.数列1,的一个通项公式是(),考点一,解析,A.20B.21,C.22D.23,解析:由图知,a1=1+2,a2=1+2+3,a3=1+2+3+4,a5=1+2+3+4+5+6=21.,答案:B,解析,3.数列,2,则2是该数列的(),A.第6项B.第7项,C.第10项D.第11项,解析:原数列可写成,2=,20=2+(n-1)3,n=7.,答案:B,解析,4.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.,(1)-1,7,-13,19,(2)0.8,0.88,0.888,(3),-,-,(4)0,1,0,1,解:(1)符号问题可通过(-1)n表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的,绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).,(2)将数列变形为(1-0.1),(1-0.01),(1-0.001),an=(1-).,解析,1.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:,(1)分式中分子、分母的特征;,(2)相邻项的变化特征;,(3)拆项后的特征;,(4)各项符号特征.,并对此进行归纳、联想.,2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.,3.观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观察出项与项数之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换从而使问题得到解决.,由递推公式求数列通项公式,1.已知数列an中,a1=2,an+1=an+n,则a5为(),考点二,解析,解析,解析,解析,由a1和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等.,1.对于形如“an+1=an+f(n)”型的递推关系式求通项公式,只要f(n)可求和,便可利用累加的方法.,2.对于形如“=g(n)”型的递推关系式求通项公式,只要g(n)可求积,便可利用累积或迭代的方法.,3.对于形如“an+1=Aan+B(A0且A1)”型递推关系求通项公式,可用迭代,法或构造等比数列法.,由an与Sn的关系求通项an,考点三,解析,解析,解析,解析,1.当an与Sn在一个等式中,一般可利用an与Sn的关系,消去an或Sn,再进行求解.,2.an与Sn的关系式an=Sn-Sn-1的使用条件是n2,求an时切勿漏掉n=1的情况.一般地,当a1=S1适合an=Sn-Sn-1时,an=Sn-Sn-1;当a1=S1不适合an=Sn-Sn-1时,an=;若用an+1=Sn+1-Sn(nN*),虽然不用分情况讨论,但此式不包括第1项a1,对a1仍需验证.,数列的简单性质,1.下列说法正确的是(),考点四,解析,解析,解析,解析,1.数列是一类特殊的函数,解题时注意函数与方程思想的应用,以及