第八章 第六节.ppt

第六节双曲线,1.双曲线的定义,2.双曲线的标准方程和几何性质,xa或x-a,y-a或ya,坐标轴,原点,坐标轴,原点,(-a,0),(a,0),(0，-a),(0，a),(1,+),a2+b2,2a,2b,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)平面内到点F1(0，4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0，4),F2(0，-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(3)方程(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线方程(m0,n0,0)的渐近线方程是即(),(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于()(6)若双曲线(a0,b0)与(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则(此结论中两条双曲线为共轭双曲线).(),【解析】(1)错误.由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(2)错误.因为|MF1|-|MF2|=8=|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(3)错误.当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m0)的渐近线方程为即当0时，(m0,n0)的渐近线方程为同理当0)的渐近线方程为x2-y2=0即y=x，显然两直线互相垂直，其实轴、虚轴长均为2a,(6)正确.双曲线(a0,b0)的离心率同理答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6),1.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0)，动点M满足|MA|-|MB|=6，则点M的轨迹方程是(),【解析】选D.由|MA|-|MB|=6，且60,b0)的离心率e=2,且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为_.【解析】由已知c=2a.又一个顶点到相应焦点的距离为1，即c-a=1.由得a=1,c=2,b2=c2-a2=4-1=3,双曲线C的方程为答案:,考向1双曲线的定义【典例1】(1)(2012辽宁高考)已知双曲线x2-y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|+|PF2|的值为_.(2)已知定点A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程.,【思路点拨】(1)解题关键是根据双曲线的定义及勾股定理构建关于|PF1|,|PF2|的方程，进而求解.(2)先根据椭圆的定义得出动点F满足的等式，再根据三定点间关系，探究出动点F与两定点A，B的差为常数，从而用定义法求轨迹方程.,【规范解答】(1)不妨设|PF1|PF2|.由双曲线方程x2-y2=1知a=b=1，由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2由已知条件PF1PF2及勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=8上述两式联立，解得|PF1|=+1,|PF2|=-1,故|PF1|+|PF2|=答案:,(2)由椭圆的定义知:|AC|+|AF|=|BC|+|BF|，又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2),所以|AC|=13,|BC|=15,因此|AF|-|BF|=2,所以F的轨迹是双曲线的一支，其中c=7,a=1,b2=48,因此所求轨迹方程为：,【互动探究】本例题(1)中“PF1PF2”改“F1PF2=60”，结果如何？【解析】不妨设|PF1|PF2|，由双曲线方程x2-y2=1,知a=b=1,由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4又F1PF2=60,由余弦定理得：|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=|F1F2|2=(2c)2=8,-得|PF1|PF2|=4代入得：|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|PF2|=4+24=12.,【拓展提升】1.“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用.(2)技巧：经常结合|PF1|-|PF2|2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|PF2|的联系.,2.利用双曲线定义求点的轨迹方程的注意点特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，并且要在其方程中准确限定变量x(y)的范围.,【变式备选】(2013绵阳模拟)过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P，Q两点，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长为_.,【解析】因为x2-y2=8，所以由题设及双曲线的定义得:|PF2|-|PF1|=|QF2|-|QF1|=所以|PF2|+|QF2|-|PF1|-|QF1|=即|PF2|+|QF2|-|PQ|=又因为|PQ|=7，所以|PF2|+|QF2|=7+因此,PF2Q的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=14+答案:14+,考向2双曲线的标准方程和几何性质【典例2】(1)(2012湖南高考)已知双曲线C：(a0,b0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(),(2)(2012浙江高考改编)如图，F1,F2分别是双曲线C：(a0,b0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是_.,【思路点拨】(1)利用待定系数法.先根据双曲线的几何性质，由焦距为10，求出c=5,再将P(2,1)代入渐近线方程，得a=2b，从而由a2+b2=c2，求出a，b.(2)利用双曲线的几何性质，结合图形的特征，通过求PQ的中点，再由|MF2|=|F1F2|构建关于a,b,c的方程，进而求解.,【规范解答】(1)选A.的焦距为10，又双曲线渐近线方程为且P(2,1)在渐近线上，由解得所以方程为,(2)设双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0);B(0,b),点F1，B所在直线为双曲线渐近线方程为由,线段PQ的中点坐标为由a2+b2=c2得，线段PQ的中点坐标可化为直线F1B的斜率为线段PQ的垂直平分线为由|MF2|=|F1F2|得答案:,【拓展提升】1.利用待定系数法设双曲线方程的三种常见类型及相应技巧(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为(mn0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(AB0)，这种形式在解题时更简便.(2)当已知双曲线的渐近线方程bxay=0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2-a2y2=(0)，再根据其他条件确定的值.,(3)与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为(0)，再根据其他条件确定的值.,2.双曲线的几何性质的三大关注点(1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点.(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线.(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的焦点三角形.,3.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系(1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程时要注意及判断焦点的位置.(2)已知渐近线方程y=mx(m0)求离心率时，当焦点不确定时，因此离心率有两种可能.,【提醒】双曲线中a，b，c之间的关系为c2=a2+b2,不要和椭圆之间的关系混淆.,【变式训练】已知双曲线的渐近线方程为2x3y=0.(1)求该双曲线的离心率.(2)若双曲线经过点求双曲线的方程.,【解析】(1)当焦点在x轴上时，所以解得当焦点在y轴上时，所以解得即双曲线的离心率为,(2)由双曲线的渐近线方程为2x3y=0,可设双曲线方程为4x2-9y2=(0).双曲线过点46-94=,=-12,故所求双曲线方程为4x2-9y2=-12,即,考向3双曲线与直线、圆及其他圆锥曲线的综合【典例3】(1)(2012新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点，|AB|则C的实轴长为()(2)(2013北京模拟)已知双曲线(a0,b0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线与椭圆：有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为_.,【思路点拨】(1)设出等轴双曲线方程，与抛物线准线方程联立，求得A，B两点坐标，利用|AB|构建方程求解.(2)先写出渐近线方程，利用其和圆相切，构建关于a,b的方程，再利用与椭圆有相同的焦点得c,从而得解.,【规范解答】(1)选C.不妨设点A的纵坐标大于零.设C：(a0),抛物线y2=16x的准线为x=-4,联立得方程组解得：解得a=2,2a=4.C的实轴长为4.,(2)圆C：x2+y2-6x+5=0可化为：(x-3)2+y2=4.所以其圆心C(3,0),半径r=2,双曲线的渐近线方程是：bxay=0,又渐近线与圆相切，所以又椭圆的焦点为(-3,0),(3,0),双曲线的焦点为(-3,0),(3,0),即a2+b2=c2=9由得b=2,c=3,a2=5.双曲线的标准方程为：答案:,【拓展提升】1.解决简单直线与双曲线位置关系问题的方法及相应的技巧(1)通法：将直线l的方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)代入双曲线E的方程F(x,y)=0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元二次方程.解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题.(2)点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解.,【提醒】利用点差法时，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即0.2.解决双曲线与圆、椭圆、双曲线交汇问题的两大策略(1)以图助解，数形结合.(2)各个击破.,【变式训练】已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的一个焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且A与B的中点为N(-12，-15)，则E的方程为(),【解析】选B.方法一：设双曲线的方程为(a0,b0)，由题意知直线l的斜率为可知直线l的方程为y=x-3.联立方程得整理得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则又A与B中点N(-12,-15),5a2=4b2,又c=3,a2+b2=9,可得a2=4,b2=5.故双曲线的方程为,方法二：设双曲线的方程为(a0,b0)，由题意知c=3,a2+b2=9，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有：两式作差得：又直线AB的斜率是所以4b2=5a2，将4b2=5a2与a2+b2=9联立，解得a2=4,b2=5，所以双曲线的方程为,【易错误区】忽略讨论双曲线的焦点位置致误【典例】(2013天津模拟)已知双曲线(mn0)的一条渐近线方程为则该双曲线的离心率e为_.,【误区警示】本题易出现的错误是误认为焦点在x轴上，不讨论焦点位置而丢解.【规范解答】当m0,n0时，故该双曲线的离心率为答案:,【思考点评】1.双曲线的焦点位置与渐近线方程的关系若焦点在x轴上，则渐近线方程为若焦点在y轴上，则渐近线方程为若焦点位置不确定，则要分类讨论.2.巧设共渐近线的双曲线方程共渐近线的双曲线的标准方程可设为(为参数，0)，再利用待定系数法求解，可避免分类讨论.,1.(2012福建高考)已知双曲线的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于()【解析】选C.由已知a2+5=9,解得|a|=2,又c=3,2.(2013郑州模拟)P为双曲线的右支上一点，M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和圆(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为()(A)9(B)8(C)7(D)6【解析】选A.由已知，双曲线的焦点F1,F2正好为两圆的圆心.如图所示，当且仅当PM,PN分别过两圆圆心时，|PM|-|PN|最大.,此时,|PM|=|PF1|+2,|PN|=|PF2|-1,|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|-|PF2|)+3=9.,3.(2012天津高考)已知双曲线C1:(a0,b0)与双曲线C2:有相同的渐近线，且C1的右焦点为则a=_,b=_.【解析】由题意可得解得：a=1,b=2.答案:12,4.(2012湖北高考)如图，双曲线(a0,b0)的两顶点为A1,A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A,B,C,D.则,(1)双曲线的离心率e=_.(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值,【解析】(1)如题干图：化简得：c4-3a2c2+a4=0，即e4-3e2+1=0，又e1,则(2)由题意知：S1=2bc,在OF2B2中连接OA,则AF2=b，矩形ABCD边长答案:,1.如图，F2为双曲线(a0,b0)的右焦点，E为OF2中点，过双曲线左顶点A作两渐近线的平行线分别与y轴交于C,D两点，B为双曲线右顶点.若四边形ACBD的内切圆经过点E，则双曲线的离心率为(),【解析】选C.由题意得：直线AD的方程为：即:bx-ay+ab=0,因为直线AD与四边形ACBD的内切圆相切，故双曲线的离心率为故选C.,2.以双曲线(