MATLAB数学建模估计水塔的水流量问题

- 估计水塔的水流量自动化12K2 许杨旸 摘要：在估计某地区的用水速度和日总用水量的时候，在已知某时间t下的水位h，以及水塔直径，求出t时刻的水体积，由于没有具体函数，故用差商方法近似求出水体积对时间t的导数即用水速度，再利用三样条插值方法求出不同时刻的用水速度。最终，通过数值积分方法求出日用水总量I。 符号及含义：t：时刻；h：水位高度；D：水塔直径；V：水体积；dV：水流速度；I：日用水总量。一、提出问题某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量） 和日总用水量进行估计。现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。表2给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。表2 水塔中水位原始数据时刻（t）/h00.9211.8432.9493.8714.9785.900水位（t）/m9.6779.4799.3089.1258.9828.8148.686时刻（t）/h7.0067.9288.9679.98110.92510.95412.032水位（t）/m8.5258.3888.22010.82010.500时刻（t）/h12.95413.87514.98215.90316.82617.93119.037水位（t）/m10.2109.9369.6539.4099.1808.9218.662时刻（t）/h19.95920.83922.01522.95823.88024.98625.908水位（t）/m8.4338.22010.82010.59110.35410.180二、求解问题 1、水塔中的水体积计算 求解的问题的关键是求解出用水的速度，即单位时间内的用水体积，由于水塔可以近似成圆柱体，所以水塔的体积V可近似成：V=4D2h式中D为水塔直径D=17.4m，h为水位高度。其中，在三个无法得到水位的时刻，其水位高度用一个负数表示，即该时刻水位为负值，显然现实当中无法出现这样的情况，现在我们用-1表示其水位。 现在开始计算水塔的体积:输入t=0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900 . 7.006 7.928 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032 . 12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037 . 19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908;h=9.677 9.479 9.308 9.125 8.982 8.814 8.686 . 8.525 8.388 8.220 -1 -1 10.820 10.500 . 10.210 9.936 9.653 9.409 9.180 8.921 8.662 . 8.433 8.220 -1 10.820 10.591 10.354 10.180;D=17.4；V=pi/4*D2*h;最终求得V= 2.3011 2.2540 2.2133 2.1698 2.1358 2.0959 2.0654 2.0271 1.9946 1.9546 -0.2378 -0.2378 2.5729 2.4968 2.4278 2.3627 2.2954 2.2373 2.1829 2.1213 2.0597 2.0053 1.9546 -0.2378 2.5729 2.5184 2.4620 2.4207。2、水塔中水流速度的估计 水塔中的水流速度是水塔中水体积对时间的导数，由于没有具体的函数，所以这里利用差商的方法近似求出导数，使用Matlab提供的gradient（）求出齐导数，也就是水流速。 由于在两个时段无法得到具体的水位，因此，计算水塔流速时分成三个时段计算，分别是:第一段，从0时刻到8.967时刻；第二段，从10.954时刻到20.893时刻；第三段，从22.958时刻到25.908时刻。 输入： t1=t(1:10);t2=t(13:23);t3=t(25:28);v1=v(1:10);v2=v(13:23);v3=v(25:28);dv=-gradient(v1,t1) gradient(v2,t2) gradient(v3,t3);得到导数的近似值，如下: dv= 51.1204 47.6090 41.5072 38.2242 36.4474 34.6895 33.8858 34.9411 36.9837 38.4487 70.5862 72.5251 72.7683 65.3094 61.7918 60.9942 57.2190 55.7095 57.2190 58.3251 57.5553 59.0599 54.6395 48.1906 44.8752再利用插值，得到水流速度的连续曲线输入： t=t1 t2 t3;h=0.01;ti=min(t):h:max(t);dvi=interp1(t,dv,ti,spline);这里使用三次样条插值方法，得到图形如下：3、日用水总量的计算 日用水总量是对水流