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文档简介
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面上对应的点位于( ).A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 分析 利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解.解析 因为,所以复数对应复平面上的点是,该点位于第二像限. 故选B.2. 某学校有男、女学生各名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( ).A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法 分析 根据分层抽样的特点求解.解析 由于调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异,因此用分层抽样方法.故选D.3. 在锐角中,角所对的边长分别为.若( ).A B C D 分析 利用正弦定理将边化为角的正弦.解析 在中,. 因为,所以.所以.又为锐角三角形, 所以.故选D.4. 若变量满足约束条件,则的最大值是( ).A B C D 分析 根据不等式组作出其平面区域,令,结合的特征求解.解析 不等式组表示平面区域为图中阴影部分.平行移动,可知该直线经过与的交点时,有最大值为.故选C.5. 函数的图像与函数的图像的交点个数为( ).A B C1 D 分析 作出两函数图像,利用数形结合思想求解.解析 因为时,又当时,在同一直角坐标系内画出与的图像,如图所示,可知与有两个不同的交点.故选B. 6. 已知是单位向量,.若向量满足则的取值范围是( ).A B C D 分析 将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律及向量数量积定义求解.解析 因为,且是单位向量,所以.又因为,所以.因为且,所以,所以.又,所以,所以, 所以.故选A.7已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( ).A B C D 分析 根据正方体的正视图的形状求解.解析 当正方体的俯视图是面积为的正方形时,其正视图的最小面积为,最大面积为. 因为,因此所给选项中其正视图的面积不可能为,故选C.8. 在等腰三角形中,点是边上异于的一点,光线从点出发,经发射后又回到原点(如图).若光线经过的重心,则等于( ).A B C D 分析 以点为原点,建立平面直角坐标系求解.解析 分别以所在直线为轴,轴,为原点建立如图所示的平面直角坐标系. 因为,故.设为线段上的点,点关于的对称点.点关于直线的对称点为.由光的反射定理知,点,一定在直线上.又的重心坐标为,由题意知点在线段上,即、三点共线.因为,所以,解得,即.故选D.二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分)9. 在平面直角坐标系中,若过椭圆,(为参数)的右顶点,则常数 .分析 将参数方程化为普通方程后求解.解析 直线消去参数的得.椭圆消去参数后,得.又椭圆的右顶点为,代入得.10. 已知则的最小值为 .分析 使用柯西不等式求解.解析 因为,所以.所以,即.当且仅当,即时取等号.答案.11. 如图2,在半径为的中,弦相交于点则圆心到弦 的距离为 .分析 根据相交弦定理求出的长,过作弦的垂线.解析 由相交弦定理得.又, 则.所以.过点作的垂线交于,则为的中点, 所以(一) 必做题(12-16题)12. 若则常数的值为 .分析 利用微积分基本定理建立方程求解.解析 因为,所以.13. 执行如图所示的程序框图,如果输入则输出的值为 .分析 利用程序框图表示的算法逐步求解.解析 当时,不成立,执行后的值为; 当时,不成立,执行后的值为; 当时,不成立,执行后的值为; 当时,不成立,执行后的值为; 由于成立,故输出的值为.14设是双曲线的两个焦点,是上一点,若 且的最小内角为,则的离心率为 .分析 根据双曲线的定义及已知条件,利用余弦定理建立关于的方程求解.解析 设点在双曲线右支上,为左焦点,为右焦点,则.又,所以.因为在双曲线中,所以在中所对的角最小且为.在中,由余弦定理得,即,即.所以,所以,即,所以.15设为数列的前项和,则(1)_;(2)_.分析 根据建立关于的关系式,根据的关系式归纳寻找其规律后求解.解析 因为,所以.当为偶数时,当为奇数时,所以当时,.根据以上的关系式及递推式可求.所以所以.答案:(1) (2)16设函数(1)记集合,则所对应的的零点的取值集合为_.(2)若是的三条边长,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)使若为钝角三角形,则,使分析(1)利用不能构成三角形的条件及函数存在零点时,求的范围.(2)中可根据指数函数的性质及构成三角形的条件求证;中由于涉及不可能问题, 因此可举反例验证;利用函数零点的存在性质定理判断.解析(1)因为且不能构成三角形的三边,所以,所以.令得,即.所以.所以.所以.(2)因为是三角形的三条边长,所以.因为,所以.所以当时,.所以.故正确.令,则可以构成三角形.但却不能构成三角形,故正确.因为,且为钝角三角形,所以.又,所以函数在上存在零点.故正确.答案:(1) (2).三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(本小题满分12分)已知函数,.(1)若是第一象限角,且.求的值;(2)求使成立的的取值集合.分析(1)利用三角恒等变换公式将,化简为只含一个角的一种三角函数后求解;(2)将变形为只与有关的不等式求解.解析 ,.(1)由得.又是第一像限角,所以.从而.(2)等价于,即,于是,从而,即.故使成立的的取值集合为.18(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量(单位:)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示:这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望. 分析 利腹古典概型求概率,根据所求概率列出分布列,结合期望公式求解.解析(1)所种作物总株数,其中三角地块内部的作物株数为,边界上的作物株数为.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有(种),选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有(种).故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取 株作物,它们恰好“相近”的概率为.(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量的分布列.因为,所以只需求出即可.记为其“相近”作物恰有株数,则.由得.故所求的分布列为所求的数学期望为 .19(本小题满分12分)如图5,在直棱柱(1)证明:;(2)求直线所成角的正弦值. 分析 可利用空间线面垂直的性质证明线线垂直,通过转化角求直线与平面所成的角的正弦值;也可建 立空间直角坐标系用向量证明线线垂直,求直线与平面所成的角的正弦值.解析 解法一:(1)如图所示,因为,所以.又,所以.而,所以.(2)因为,所以直线所成的角等于直线所成的角(记为).如图,连接.因为棱柱是直棱柱,且,所以,从而.又,所以四边形是正方形,于是.故,于是.由(1)知,所以.故.在直角梯形中,因为,所以.从而,故,即.连接,易知是直角三角形,且,即.在中,即.从而.即直线所成角的正弦值为.解法二:(1)易知,两两垂直,如图所示,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.设,则相关各点的坐标为.从而.因为,所以.解得或(舍去).于是.因为,所以,即.(2)由(1)知,.设是平面的一个法向量,则即令,则.设直线所成角为,则,即直线所成角的正弦值为.20(本小题满分13分)在平面直角坐标系中,将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径成为到的一条“路径”.如图6所示的路径与路径都是到的“路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面内三点处. 现计划在轴上方区域(包含轴)内的某一点处修建一个文化中心.(1)写出点到居民区的“路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(2)若以原点为圆心,半径为的圆的内部是保护区,“路径”不能进入保护区,请确定点 的位置,使其到三个居民区的“路径”长度值和最小.分析 将到“路径”长度之和转化为含绝对值的和,分类讨论求解.解析 设点的坐标为. (1)点到居民区的“路径”长度最小值为.(2)由题意知,点到三个居民区的“路径”长度之和的最小值为点分别到居民区的“路径”长度最小值之和(记为)的最小值.当时,.因为, (*)当且仅当时,不等式(*)中的等号成立.又因为, (* *)当且仅当时,不等式(* *)中的等号成立,所以,当且仅当时,等号成立. 故点的坐标为时,到三个居民区的“路径”长度之和的最小,且最小值为.当时,由于“路径”不能进入保护区,所以,此时,由知,故,当且仅当时等号成立. 综上所述,在点处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民点“路径”长度之和最小.21(本小题满分13分)过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线,且,相交于点,相交于点,以为直径的圆,圆(为圆心)的公共弦所在的直线记为.(1)若,证明;(2)若点到直线的距离的最小值为,求抛物线的方程.分析(1)表示出直线方程代入抛物线方程,利用向量数量积的坐标运算求解;(2)求出两圆,的方程以及他们的相交弦方程,然后利用点到直线的距离公式及函数思想求解.解析(1)由题意知,抛物线的焦点为,直线的方程为.由得.设两点的坐标分别为,则是上述方程的两个实数根,从而.所以点的坐标为,.同理可得点的坐标为,于是.因为,所以.故.(2)由抛物线的定义得,所以,从而圆的半径.故圆的方程为,化简得.同理可得圆的方程为.于是圆,圆的公共弦所在直线的方程为.又,则的方程为.因为,所以点到直线的距离为.故当时,取最小值.由题设,解得.故所求的抛物线的方程为.22(本小题满分13分)已知,函数.(1)记在区间上的最大值为,求的表达式;(2)是否存在,使函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.分析(1)去掉绝对值号将函数转化为分段函数后求导,根据极值点的横坐标在区间上进行分类讨论;(2)根据题意将问题转化为函数单调性不一致区间上的两个点的导数乘积为建立方程,根据方程解的情况确定点的存在性.解析(1)当时,
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