2013 浙江高考数学试卷(文)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（文）选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）.A. B. C. D.分析 直接求两个集合的交集即可.解析：.故选D .2. 已知是虚数单位，则（ ）.A. B. C. D.分析 直接进行复数的运算得出结果.解析 .故先C.3.若，则“”是“”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件分析 分别判断能否推出和能否推出.解析 若，则，所以，即；但当时，有，此时.所以是的充分不必要条件.故选A.4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，（ ）. A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则分析 可以借助正方体模型对四个选项分别剖析，得出正确结论.解析 A项，当时，可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当时，可能平行也可能相交，故错误；C项，当时，故正确；D项，当时，可能与平行，可能在内，也可能与相交，故错误.故选C.5.已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（ ）. A. B. C. D.分析 根据三视图还原出几何体，再根据几何体的形状及相应的尺寸求其体积.解析 此几何体为一个长方体被截去了一个三棱锥， 如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为，故其体积为.三棱锥的三条棱，的长分别为，故其体积为，所以所求几何体的体积为.故选B.6.函数的最小正周期和振幅分别是（ ）.A. B. C. D. 分析 把函数的解析式化简为只含一个三角函数名的三角函数式，再求周期和振幅.解析 ，所以最小正周期为，振幅.故选A 7.已知，函数.若，则（ ）.A. ， B. ， C. ， D. ，分析 根据条件可确定函数图象的开口方向和对称轴，化简即得.解析 因为，所以函数图象应开口向上，即，且其对称轴为，即，所以，故选A.8.已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数的图像如右图所示，则该函数的图像是（ ）. 分析 根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况.解析 从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，时最大，所以函数的图象的变化率也先增大后减小，在时变化率最大.A项，在时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误.B项正确.故选B.9. 如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二.四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是（ ）.A. B. C. D.分析 由椭圆可求出，由矩阵求出，再求出即可求出双曲线方程中的，进而求得双曲线的离心率.解析 由椭圆可知，.因为四边形为矩形， 所以，所以，所以，所以，因此对于双曲线有， 所以的离心率.故选D.10.设，定义运算“”和“”如下：，若正数满足，则（ ）.A. ， B. ，C. ， D. ，分析 理解所给符号后，再作出判断.解析 根据题意知，表示中较小的，表示中较大的.因为，所以.又因为为正数，所以中至少有一个大于或等于，所以.因为，为正数，所以中至少有一个小于或等于，所以.故选C. 非选择题部分（共100分）二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分.11. 已知函数，若，则实数_.分析 直接代入求解.解析 因为，所以，即.12. 从男女名学生中任选名（每名同学被选中的概率均相等），则名都是女同学的概率等于_.分析 分别列出所有的选法和都是女生的选法，利用古典概型概率公式计算概率.解析 用表示三名男同学，用表示三名女同学，则从名同学中选出人的所有选法为：，共15种选法，其中都是女同学的选法有种，即，故所求概率为.13. 直线被圆所截得的弦长等于_. 分析 先求弦心距，再求弦长.解析 圆的方程可化为，故圆心为，半径.又直线方程为，所以圆心到直线的距离为，所以弦长为.14. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_. 分析 可依次求出时的值，直接得出结果，也可先求出的表达式， 再求出时 的值.解析 方法一：根据程序框图可知，当时，；当时，；当时，；当时， ，此时，所以.方法二：由程序框图可知， 当时，.当时，输出.15. 设，其中实数满足，若的最大值为，则实数_.分析 画出可行域，对的斜率进行讨论确定出最优解，代入最大值即可求出的值.解析 作出可行域如图中阴影所示，由图可知，当时， 直线经过点时最大，所以，解得（舍去）；当时，直线经过点时最大，所以，解得（舍去）； 当时，直线经过点时最大，所以，解得，符合.综上可知，.16. 设，若时恒有，则等于_.分析 先取的几个特殊值，看能得到什么具体的结果，再根据条件推导.解析 因为时恒有，当时，可得；当时，可得，所以，所以.由时恒有，得，所以，所以，所以当时，有恒成立，所以. 综上可知，所以.17. 设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于_.分析 为了便于计算可先求的范围，再求的最值.解析 根据题意，得.因为，所以，所以.故的最大值为.三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.18. 在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小；（2）若，求的面积. 分析（1）利用已知条件和正弦定理可求出，进而求出；（2）利用余弦定理求出， 再用面积公式求面积.解析（1）由及正弦定理，得.因为是锐角，所以.（2）由余弦定理，得.又，所以.由三角形面积公式，得的面积为.19. 在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列. （1）求，； （2）若，求分析 （1）用把表示出来，利用成等比数列列方程即可解出，进而根据等差数列的通项公式写出.（2）根据（1）及确定数列的通项公式，确定的符号，以去掉绝对值符号，这需要对的取值范围进行分类讨论.解析（1）由题意得，由，为公差为的等差数列得，解得或.所以或.设数列的前项和为.因为，由（1）得，所以当时，；当时，.综上所述， 20. 如图所示，在在四棱锥中，面， ，为线段上的点.（1）证明：平面； （2）若是的中点，求与所成的角的正切值；（3）若满足面，求的值.分析（1）只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可； （2）利用线面垂直找到线面角，通过解三角形求解； （3）利用线面垂直得到线线垂直，通过三角形求解.解析（1）设点为的交点.由，得是线段的中垂线，所以为的中点，.又因为，所以.所以.（2）连接.由（1）可知，则在平面内的射影为，所以是与平面所成的角. 由题意得.在中，所以.在直角中，.在直角中，.所以与平面所成的角的正切值为.（3）因为，所以.在直角中，所以. 从而，所以.21.已知，函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求在闭区间上的最小值.分析 （1）切点处的导数即为切线的斜率，求导后算出斜率，写出切线方程即可.（2）要确定 的最小值，因为的最值是由其单调性决定的，所以要先利用导数确定的单调性，再确定极值和区间端点的函数值.由于所给区间中含有绝对值，因此要分类讨论.解析 （1）当时，所以.又因为，所以切线方程为，即.（2）记为 在闭区间上的最小值. .令，得.当时，单调递增极大值单调递减极小值单调递增比较和的大小可得当时，单调递减极小值单调递增得.综上所述，在闭区间上的最小值为22. 已知抛物线的顶点为 ，焦点. （1）求抛物线的方程； （2）过作直线交抛物线于两点，若直线分别交直线： 于两点， 求 的最小值. 分析（1）根据条件和抛