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文档简介

微分方程的近似解法-差分解法,对三类典型偏微分方程的定解问题，差分解法的基本思想是用函数的差商代替微商，从而把微分运算化成代数运算，求解出在定解区域中足够多的点上的近似值。,1、差分与差分方程,函数f(x)的导数是函数的增量与自变量增量的比值当自变量增量趋于零的极限。即：,一阶差商,高阶差商,由差商代替微商的误差,偏导数的差商表示,差分方程,这样，可根据需要把区域分成适当的网格，着眼于求未知函数在网格节点上的近似解，此时在节点上用差商近似代替微商，把定解问题化为以未知函数在节点上的近似值为未知量的代数方向组（即差分方程），然后求解此差分方程，得到原定解问题在节点上的近似值，这各种方法称为差分方法。由误差分析可知，当区域划分充分精细时，节点处的近似值与精确值将充分逼近。,2、热传导方程定解问题的差分方法,3、波动方程定解问题的差分方法,4、Laplace方程边值问题的差分方法,5、迭代求解（以laplace方程为例）,（1）同步迭代,（2）异法迭代,6、收敛性和稳定性,差分求解法必须满足收敛性和稳定性两个条件。收敛性：要求当频长t，h等趋于零时，差分问题的解U收敛于原偏微分方程的解u，此即收敛性。稳定性：四则运算时舍入误差不可避免，因此前一步的计算会影响后面计算结果的精确性。对于有些差分格式，前面的误差对后面解的影响不大，这种计算格式称为稳定的。而不满足这一条件时，会产生误差积累而影响计算精度，这种差分格式称为不稳定。,关于收敛
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