《高等数学》(同济六版)教学★第2章.导数与微分ppt课件

第二章,微积分学的创始人:,德国数学家Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家Ferma在研究,极值问题中提出.,英国数学家Newton,.,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的关系,五、单侧导数,第一节,导数的概念,第二章,.,一、引例,1.变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则到的平均速度为,而在时刻的瞬时速度为,自由落体运动,.,2.曲线的切线斜率,曲线,在M点处的切线,割线MN的极限位置MT,(当时),割线MN的斜率,切线MT的斜率,.,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,.,二、导数的定义,定义1.设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义,.,运动质点的位置函数,在时刻的瞬时速度,曲线,在M点处的切线斜率,.,不存在,就说函数在点不可导.,若,也称,在,若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,注意:,就称函数在I内可导.,的导数为无穷大.,若极限,.,例1.求函数,(C为常数)的导数.,解:,即,例2.求函数,解:,.,说明：,对一般幂函数,(为常数),例如，,（以后将证明）,.,例3.求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,.,例4.求函数,的导数.,解:,即,.,原式,是否可按下述方法作:,例5.证明函数,在x=0不可导.,证:,不存在,例6.设,存在,求极限,解:原式,.,三、导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与x轴平行,称为驻点;,若,切线与x轴垂直.,切线方程:,法线方程:,.,例7.问曲线,哪一点有铅直切线?哪一点处,的切线与直线,平行?写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1),(1,1)处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点(0,0)有铅直切线,.,四、函数的可导性与连续性的关系,定理1.,证:,设,在点x处可导,存在,因此必有,其中,故,所以函数,在点x连续.,注意:函数在点x连续，但在该点未必可导.,反例:,在x=0处连续,但不可导.,即,.,在点,的某个右邻域内,五、单侧导数,若极限,则称此极限值为,在处的右导数,记作,即,(左),(左),例如,在x=0处有,定义2.设函数,有定义,存在,.,定理2.函数,在点,且,存在,简写为,定理3.函数,(左),(左),若函数,与,都存在,则称,显然:,在闭区间a,b上可导,在开区间内可导,在闭区间上可导.,可导的充分必要条件,是,且,.,内容小结,1.导数的实质:,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,5.已学求导公式:,6.判断可导性,不连续,一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,.,思考与练习,1.函数在某点处的导数,区别:,是函数,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系?,？,与导函数,.,2.设,存在,则,3.已知,则,4.若,时,恒有,问,是否在,可导?,解:由题设,由夹逼准则,故,在,可导,且,.,5.设,问a取何值时,在,都存在,并求出,解:显然该函数在x=0连续.,故,时,此时,在,都存在,.,作业,P862,5,6,7,11,16(2),18,20,第二节,牛顿(16421727),伟大的英国数学家,物理学家,天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书(1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等.,莱布尼茨(16461716),德国数学家,哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.,他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计,数法,并把它与中国的八卦联系起来.,.,备用题,解:因为,1.设,存在,且,求,所以,.,在,处连续,且,存在，,证明:,在,处可导.,证：因为,存在，,则有,所以,即,在,处可导.,2.设,故,.,第二节,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,函数的求导法则,第二章,.,解决求导问题的思路:,(构造性定义),求导法则,其他基本初等函数求导公式,证明中利用了两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,.,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商(除分母,为0的点外)都在点x可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题.,.,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:设,则,故结论成立.,例如,.,(2),证:设,则有,故结论成立.,推论:,(C为常数),.,例1.,解:,.,(3),证:设,则有,故结论成立.,推论:,(C为常数),.,例2.求证,证:,类似可证:,.,二、反函数的求导法则,定理2.,y的某邻域内单调可导,证:,在x处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,.,例3.求反三角函数及指数函数的导数.,解:1)设,则,类似可求得,利用,则,.,2)设,则,小结:,推论3),.,在点x可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点x可导,证:,在点u可导,故,（当时),故有,.,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,.,例4.求下列导数:,解:(1),(2),(3),说明:类似可得,.,例5.设,求,解:,思考:若,存在,如何求,的导数?,.,例6.设,解:,记,则,(反双曲正弦),其他反双曲函数的导数看参考书自推.,的反函数,双曲正弦,.,四、初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数(P95),.,2.有限次四则运算的求导法则,(C为常数),3.复合函数求导法则,4.初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明:最基本的公式,其他公式,用求导法则推出.,且导数仍为初等函数,.,例7.,求,解:,例8.,设,解:,求,先化简后求导,.,例9.,求,解:,关键:搞清复合函数结构由外向内逐层求导,.,例10.设,求,解:,.,内容小结,求导公式及求导法则(见P95P96),注意:1),2)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,1.,思考与练习,对吗?,.,2.设,其中,在,因,故,正确解法:,时,下列做法是否正确?,在求,处连续,由于f(a)=0，故,.,3.求下列函数的导数,解:(1),(2),或,.,4.设,求,解:方法1利用导数定义.,方法2利用求导公式.,.,作业,P972(2),(8),(10);3(2),(3);4;6(6),(8);7(3),(7),(10);8(4),(5),(8),(10);10;11(3),(8),(10);*12(4),(8);14,第三节,.,备用题1.设,解：,2.设,解:,求,.,二、高阶导数的运算法则,第三节,一、高阶导数的概念,高阶导数,第二章,.,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,.,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或,的二阶导数,记作,的导数为,依次类推,分别记作,则称,.,设,求,解:,依次类推,例1.,思考:设,问,可得,.,例2.设,求,解:,特别有:,解:,规定0!=1,思考:,例3.设,求,.,例4.设,求,解:,一般地,类似可证:,.,例5.设,解:,.,例6.设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在.,2,又,阶数,.,规律,二、高阶导数的运算法则,都有n阶导数,则,(C为常数),莱布尼茨(Leibniz)公式,规律,规律,用数学归纳法可证,.,例7.,求,解:设,则,代入莱布尼茨公式,得,.,例8.设,求,解:,即,用莱布尼茨公式求n阶导数,令,得,由,得,即,由,得,.,内容小结,(1)逐阶求导法,(2)利用归纳法,(3)间接法利用已知的高阶导数公式,(4)利用莱布尼茨公式,高阶导数的求法,如下列公式,.,思考与练习,1.如何求下列函数的n阶导数?,解:,解:,.,(3),提示:令,.,解:,.,各项均含因子(x2),2.(填空题)(1)设,则,提示:,(2)已知,任意阶可导,且,时,提示:,则当,.,3.试从,导出,解：,同样可求,(见P103题4),作业P1031(9),(12);3;4(2);6;9;10(2);*11(2),(3),第四节,.,解:,设,求,其中f二阶可导.,备用题,.,第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,隐函数和参数方程求导,相关变化率,第二章,.,一、隐函数的导数,若由方程,可确定y是x的函数,由,表示的函数,称为显函数.,例如,可确定显函数,可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.,函数为隐函数.,则称此,隐函数求导方法:,两边对x求导(注意y=y(x),(含导数的方程),.,例1.求由方程,在x=0处的导数,解:方程两边对x求导,得,因x=0时y=0,故,确定的隐函数,.,例2.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对x求导,故切线方程为,即,.,例3.求,的导数.,解:两边取对数,化为隐式,两边对x求导,.,1)对幂指函数,可用对数,说明:,注意:,求导法求导:,.,2)有些显函数用对数求导法求导很方便.,例如,两边取对数,两边对x求导,.,又如,对x求导,两边取对数,.,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个y与x之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此时看成x是y的函数),关系,.,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数.,利用新的参数方程,可得,记,.,?,例4.设,且,求,已知,解:,练习:书P112题8(1),解:,注意:,.,例5.抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.,解:先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设为切线倾角,则,.,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出(即t=0)时,倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,.,例6.设由方程,确定函数,求,解:方程组两边对t求导,得,故,.,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对t求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,.,例7.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为500m时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为,则,两边对t求导,已知,h=500m时,.,思考题:当气球升至500m时停住,有一观测者以,100mmin的速率向气球出发点走来,当距离为500m,时,仰角的增加率是多少?,提示:,对t求导,已知,求,.,试求当容器内水,例8.有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解:设时刻t容器内水面高度为x,水的,两边对t求导,而,故,体积为V,则,.,内容小结,1.隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3.参数方程求导法,极坐标方程求导,4.相关变化率问题,列出依赖于t的相关变量关系式,对t求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,.,思考与练习,1.求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解:化为参数方程,当,时对应点,斜率,切线方程为,点击图中任意处动画播放暂停,.,2.设,求,提示:分别用对数微分法求,答案:,.,3.设,由方程,确定,解:,方程两边对x求导,得,再求导,得,当,时,故由得,再代入得,求,.,作业,P1111(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);9(2);10;12,第五节,.,求其反函数的导数.,解:,方法1,方法2,等式两边同时对求导,备用题,1.设,.,求,解：方程组两边同时对t求导,得,2.设,.,二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,*四、微分在估计误差中的应用,第五节,一、微分的概念,函数的微分,第二章,.,一、微分的概念,引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为x,面积为A,则,面积的增量为,关于x的线性主部,故,当x在,取,变到,边长由,其,.,的微分,定义:若函数,在点的增量可表示为,(A为不依赖于x的常数),则称函数,而称为,记作,即,定理:函数,在点可微的充要条件是,即,在点,可微,.,定理:函数,证:“必要性”,已知,在点可微,则,故,在点可导,且,在点可微的充要条件是,在点处可导,且,即,.,定理:函数,在点可微的充要条件是,在点处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点可导,则,.,说明:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,.,微分的几何意义,当很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,.,例如,基本初等函数的微分公式(见P116表),又如,.,二、微分运算法则,设u(x),v(x)均可微,则,(C为常数),分别可微,的微分为,微分形式不变,5.复合函数的微分,则复合函数,.,例1.,求,解:,.,例2.设,求,解:利用一阶微分形式不变性,有,例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意,数学中的反问题往往出现多值性.,注意:,注,数学中的反问题往往出现多值性,例如,.,三、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,.,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,.,的近似值.,解:设,取,则,例4.求,.,的近似值.,解:,例5.计算,.,例6.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为,镀铜体积为V在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,(g),用铜多少克.,估计一下,每只球需,要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,.,*四、微分在估计误差中的应用,某量的精确值为A,其近似值为a,称为a的绝对误差,称为a的相对误差,若,称为测量A的绝对误差限,称为测量A的相对误差限,.,误差传递公式:,已知测量误差限为,按公式,计算y值时的误差,故y的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得x,.,例7.设测得圆钢截面的直径,测量D的,绝对误差限,欲利用公式,圆钢截面积,解:计算A的绝对误差限约为,A的相对误差限约为,试估计面积的误差.,计算,(mm2),.,内容小结,1.微分概念,微分的定义及几何意义,可微,可导,2.微分运算法则,微分形式不变性:,(u是自变量或中间变量),3.微分的应用,近似计算,估计误差,.,思考与练习,1.设函数,的图形如下,试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负.,.,2.,.,5.设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,则,.,作业,P1231;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);9(2);*12,习题课,.,1.已知,求,解：因为,所以,备用题,.,已知,求,解:方程两边求微分,得,2