材料力学力学扭转

材料力学,第四章扭转,材料力学,对称扳手拧紧镙帽,工程中承受扭转变形的构件,扭转,材料力学,汽车传动轴,扭转,材料力学,一、扭转的概念及外力偶矩的计算,材料力学,构件特征：等圆截面直杆圆轴。,受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。,变形特征：纵向线倾斜一个角度，称为剪切角(或称剪应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动，称为扭转角。,扭转/扭转的概念及外力偶矩的计算,材料力学,扭转/扭转的概念及外力偶矩的计算,材料力学,二、杆受扭时的内力计算,材料力学,已知圆轴受外力偶矩作用，匀速转动。则,用截面法求内力：,扭转/杆受扭时的内力计算,扭矩,材料力学,扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致，为正；反之为负。,扭转/杆受扭时的内力计算,材料力学,扭转/杆受扭时的内力计算,截面2-2上的内力：,材料力学,（+）,扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。,（-）,扭矩图,扭转/杆受扭时的内力计算,材料力学,例题3-1图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？,扭转/杆受扭时的内力计算,材料力学,经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为,解：,扭转/杆受扭时的内力计算,材料力学,绘出扭矩图：,扭转/杆受扭时的内力计算,材料力学,（-）,扭矩Mn-图,（+）,（在CA段和AD段）,扭转/杆受扭时的内力计算,材料力学,将A、D轮的位置更换，则,扭矩Mn-图,（AD段）,因此将A、D轮的位置更换不合理。,扭转/杆受扭时的内力计算,材料力学,三、圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,薄壁圆筒横截面上的剪应力分布,R0为薄壁圆筒横截面中线的半径，A0为中线所围面积。,材料力学,T,T,1、实验观察,扭转/圆轴扭转时的应力和变形,横截面上存在剪应力,不存在正应力.,刚性平面截面假设圆轴的横截面变形后保持为平面，圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线。,即轴横截面象刚性圆盘一样绕轴线作相对转动。,材料力学,圆轴,许多个套在一起的薄壁圆管，各个薄壁圆管扭转时截面的相对扭转角相同。,扭转/圆轴扭转时的应力和变形,横截面上的剪应力处处垂直于径向，且方向同旋转方向。,横截面上各点剪应力的方向。,材料力学,3、理论分析,(1)几何分析,扭转/圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,小变形条件下,扭转/圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,同理,式中表示扭转角沿轴长的变化率称为单位扭转角，在同一截面上，=常数。,扭转/圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,(2)物理条件剪切胡克定律,扭转/圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,(3)静力平衡条件,(单位扭转角,单位：rad/m),称为极惯性矩，是截面的几何性质，与截面的几何形状、尺寸有关。,扭转/圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,在扭矩相同的条件下，,因此表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。,（横截面上剪应力的计算公式。）,式中称为抗扭截面模量。,扭转/圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,(4)公式中几何量与的计算。,a、实心圆截面,因此,而,扭转/圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,b、空心圆截面,D,式中,而,扭转/圆轴扭转时的应力和变形,材料力学,四、圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,受扭圆轴破坏的标志：,塑性材料：首先发生屈服，在试样表面的横向和纵向出现滑移线，最后沿横截面被剪断。,脆性材料：变形很小，在与轴线约成45的面上断裂。,因此圆轴的强度条件为,式中,（u为扭转极限应力许用剪应力,n为安全系数）,扭转/圆轴的强度条件和刚度条件,（一）强度条件,材料力学,（二）刚度条件,或,的数值按照对机器的要求决定：,精密机器的轴：,一般传动轴：,精度要求不高的轴：,扭转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,解：,由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：,轴的最大剪应力,例题3-2某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为Mx=1500N.m,试校核此轴的强度。已知=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径为？,扭转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,所以此轴安全。,若此轴改为实心轴，而,式中,解得：,扭转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,实心轴的横截面面积为,空心轴的横截面面积,空心轴与实心轴的重量之比：,因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。,扭转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为,根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；,从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比较大，强度和刚度均可提高；,通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。,对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。,扭转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,例题3-3图示等截面圆轴，已知d=90mm,l=50cm,。轴的材料为钢，G=80GPa,求（1）轴的最大剪应力；（2）截面B和截面C的扭转角；（3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔的孔径d应为多大？,扭转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,（+）,（-）,扭矩图,解：,(1)轴的最大剪应力,作扭矩图：,因此,扭转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,（2）扭转角,截面B：,扭转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,截面C,扭转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,（3）BC段孔径d,由,得,解得：,扭转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,例题3-4图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为t的均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。,解：,取微段作为研究对象。,根据平衡条件求得横截面上的扭矩为：,微段两端截面的相对扭转角为,A,B,扭转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,因此,扭转/圆轴的强度条件和刚度条件,材料力学,五、圆轴扭转时斜截面上的应力,材料力学,n,扭转/圆轴扭转时斜截面上的应力,材料力学,斜截面上的正应力和剪应力为:,1、,讨论：,2、,3、,4、,扭转/圆轴扭转时斜截面上的应力,材料力学,六、扭转的静不定问题,材料力学,例题3-5一两端固定的圆截面杆AB受力偶矩作用如图。要求：1）作扭矩图；2）若M=10KN.m,材料的=60MPa，试选择此等直圆截面杆直径。,扭转/扭转的静不定问题,材料力学,例题3-6一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成，杆和管的材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩M以后，杆和管内的最大剪应力，并绘出横截面上应力分布的规律。如果杆和管的材料不相同，结果又怎样？,解：,（1）静力学关系,（2）变形协调条件,扭转/扭转的静不定问题,材料力学,（3）物理关系：,代入变形协调方程，得补充方程,（4）补充方程与静力平衡方程联立，解得,扭转/扭转的静不定问题,材料力学,（5）最大剪应力,杆1：,管2：,扭转/扭转的静不定问题,材料力学,静不定问题的解法：,（1）建立静力平衡方程；,（2）由变形协调条件建立变形协调方程；,（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系：，代入变形协调方程，得到补充