【数学】苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2020届高三年级第一次质量检测（期末）数学试卷含附加题

数学 I 试卷 第 1 页(共 4 页) S 0 I 1 WhileI 6 I I + 1 S S + I EndWhile PrintS （第 4 题） 徐州市徐州市 20192020 学年度高三学年度高三年级年级第一次第一次质量检测质量检测 数学数学 I 参考公式： 1样本数据 1 x， 2 x， n x的方差 22 1 1 () n i i sxx n ，其中 1 1 n i i xx n ； 2圆锥的体积 1 3 VSh，其中S是圆锥的底面圆面积，h是高 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应 位置上 1已知集合|02Axx，|11Bxx ，则AB 2已知复数z满足 2 4z ，且z的虚部小于 0，则z= 3若一组数据 7，x，6，8，8 的平均数为 7，则该组数据的 方差是 4执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 5函数 2 ( )log2f xx的定义域为 6某学校高三年级有 A，B 两个自习教室，甲、乙、丙 3 名 学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在 同一教室上自习的概率为 7若关于x的不等式 2 30 xmx的解集是(1,3)，则实数m的值为 8在平面直角坐标系xOy中，双曲线 2 2 1 3 x y的右准线与渐近线的交点在抛物线 2 2ypx上，则实数p的值为 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题 卡上。 3 作答题目必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作 答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 数学 I 试卷 第 2 页(共 4 页) 9已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 29 8aa， 5 5S ，则 15 S的值为 10已知函数3sin2yx的图象与函数cos2yx的图象相邻的三个交点分别是A，B， C，则ABC的面积为 11在平面直角坐标系xOy中，已知圆M： 22 48120 xyxy，圆N与圆M外切于 点(0,)m，且过点(0, 2)，则圆N的标准方程为 12已知函数)(xf是定义在R上的奇函数，其图象关于直线1x 对称，当 1 , 0(x时， ( )eaxf x (其中e是自然对数的底数)， 若(2020ln2)8f， 则实数a的值为 13如图，在ABC中，D，E 是 BC 上的两个三等分点， 2AB ADAC AE ，则cosADE的最小值为 14设函数 3 ( ) |f xxaxb， 1,1x ，其中a，bR 若( )f xM恒成立，则当M取得最小值时，ab的 值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 PABC 中，APAB，M，N 分别为棱 PB，PC 的中点，平面 PAB 平面 PBC （1）求证：BC平面 AMN； （2）求证：平面 AMN平面 PBC 16 （本小题满分 14 分） 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 5 cos 5 A （1）若5a ，2 5c ，求b的值； （2）若 4 B ，求tan2C的值 A P N M C B （第 15 题） A （第 13 题） BC DE 数学 I 试卷 第 3 页(共 4 页) 17 （本小题满分 14 分） 如图，在圆锥SO中，底面半径R为 3，母线长l为 5用一个平行于底面的平面去截 圆锥，截面圆的圆心为 1 O，半径为r现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O为顶点 挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V （1）将V表示成r的函数； （2）求小圆锥的体积V的最大值 18 （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的右顶点为A，过点A 作直线 l 与圆 222 byxO：相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q设 直线 l 的斜率为 k （1）用 k 表示椭圆C的离心率； （2）若0OQOP，求椭圆C的离心率 A （第 17 题） B O S M N O1 （第 18 题） Ox y A Q P l 数学 I 试卷 第 4 页(共 4 页) 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 1 ( )()lnf xax x ()aR （1）若曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为10 xy ，求a的值； （2）若( )f x的导函数( )fx存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围； （3）当2a 时，是否存在整数，使得关于x的不等式( )f x恒成立？若存在， 求出的最大值；若不存在，说明理由 20 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a的首项 1 3a ，对任意的 * nN，都有 1 1 nn aka (0k )，数列1 n a 是公比不为 1 的等比数列 （1）求实数k的值； （2）设 4 n n n n b an 为奇数 为偶数 数列 n b的前n项和为 n S，求所有正整数 m 的值，使 得 2 21 m m S S 恰好为数列 n b中的项 数学试卷 第 1 页(共 2 页) 徐州市徐州市 20192020 学年度高三学年度高三年级年级第一次第一次质量检测质量检测 数学数学（附加题） 21 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题 ， 并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 23 1t M的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵 1 M B选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为(cossin )12，曲线C的参数方程为 2 3cos 2sin x y ， （ 为参数，R） 在曲线C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 2 页，均为非选择题（第 2123 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。 考试结束后，请将答题卡交回。 2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置 作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 数学试卷 第 2 页(共 2 页) C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知正数xyz， ，满足1xyz，求 111 222xyyzzx 的最小值 【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AAB B为正方形，侧面 11 BBC C为菱形， 11 60BBC，平面 11 AAB B 平面 11 BBC C （1）求直线 1 AC与平面 11 AAB B所成角的正弦值； （2）求二面角 1 BACC的余弦值 23 （本小题满分 10 分） 已知n为给定的正整数，设 2 012 2 () 3 nn n xaa xa xa x，xR （1）若4n ，求 0 a， 1 a的值； （2）若 1 3 x ，求 0 () n k k k nk a x 的值 （第 22 题） B A C B1 A1 C1 数学试卷答案 第 1 页(共 6 页) 20192020 学年度高三学年度高三年级年级第一次第一次质量检测质量检测 数学数学 I 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一、填空题： 112xx 22i3 4 5 42054,+ )6 1 2 74 8 1 4 913510 3 2 11 22 (2)8xy12313 4 7 14 3 4 二、解答题： 15 （1）在PBC中，因为 M，N 分别为棱 PB，PC 的中点， 所以 MN/ BC 3 分 又 MN平面 AMN，BC平面 AMN， 所以 BC/平面 AMN6 分 （2）在PAB中，因为APAB，M 为棱 PB 的中点， 所以AMPB8 分 又因为平面 PAB平面 PBC，平面 PAB平面 PBCPB，AM 平面 PAB， 所以AM 平面 PBC12 分 又AM 平面 AMN，所以平面 AMN平面 PBC 14 分 16 （1）在ABC中，由余弦定理 222 2cosbcbcAa得， 2 5 2022 525 5 bb，即 2 450bb，4 分 解得5b或1b（舍） ，所以5b 6 分 （2）由 5 cos 5 A 及0A 得， 22 52 5 sin1cos1() 55 AA，8 分 所以 210 coscos()cos()(cossin) 4210 CABAAA ， 又因为0C ，所以 22 103 10 sin1cos1() 1010 CC， 从而 3 10 sin 10 tan3 cos10 10 C C C ，12 分 所以 22 2tan2 33 tan2 1tan134 C C C 14 分 17 （1）在SAO中， 2222 534SOSAAO ， 2 分 由 1 SNOSAO可知， 1 SOr SOR ，所以 1 4 3 SOr，4 分 所以 1 4 4 3 OOr，所以 223 144 ( )(4)(3),03 339 V rrrrrr7 分 （2）由（1）得 23 4 ( )(3),03 9 V rrrr， A P N M C B 数学试卷答案 第 2 页(共 6 页) 所以 2 4 ( )(63) 9 V rrr，令( )0V r ，得2r ，9 分 当 (0,2)r 时，( )0V r ，所以 ( )V r在(0,2)上单调递增； 当 (2,3)r 时，( )0V r ，所以 ( )V r在(2,3)上单调递减 所以当2r 时， ( )V r取得最大值 16 (2) 9 V 答：小圆锥的体积V的最大值为 16 9 14 分 18 （1）直线 l 的方程为)(axky，即0akykx， 因为直线 l 与圆 222 byxO：相切，所以b k ak 1 2 ，故 22 2 2 ba b k 所以椭圆C的离心率 2 22 1 1 1 b e ak 4 分 （2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为 2 a x c ， 由 c a x axky 2 )( 得 c aca ka c a ky 22 )(，所以) )( ,( 22 c acak c a Q ，6 分 由 )( 1 2 2 2 2 axky b y a x 得02)( 2224232222 bakaxkaxkab， 解得 222 223 kab abka xp ，则 222 2 222 223 2 )( kab kab a kab abka kyp ， 所以) 2- 222 2 222 223 kab kab kab abka P ，（，10 分 因为0OQOP，所以0 2)( 222 22 222 2232 kab kab c acak kab abka c a ， 即)(2)( 22222 cakbbkaa，12 分 由（1）知， 22 2 2 ba b k ，所以 22 4 2 22 22 )(2 )( ba cab b ba ba a ， 所以caa22 ，即ca2，所以 2 1 a c ，故椭圆C的离心率为 2 1 16 分 19 （1） 2 11 1 ( )lnfxxa x x x ， 因为曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为10 xy ， 所以(1)11fa ，得0a 2 分 （2）因为 2 1ln ( ) axx fx x 存在两个不相等的零点 所以( )1lng xaxx 存在两个不相等的零点，则 1 ( )g xa x 当0a时，( )0g x，所以( )g x单调递增，至多有一个零点4 分 数学试卷答案 第 3 页(共 6 页) 当0a 时，因为当 1 (0)x a ，时，( )0g x，( )g x单调递增， 当 1 (+ )x a ，时，( )0g x，( )g x单调递减， 所以 1 x a 时， max 11 ( )()ln()2g xg aa 6 分 因为( )g x存在两个零点，所以 1 ln()20 a ，解得 2 e0a 7 分 因为 2 e0a ，所以 21 e1 a 因为(1)10ga ，所以( )g x在 1 (0) a ，上存在一个零点 8 分 因为 2 e0a ，所以 211 () aa 因为 22111 () ln()1g aaa ，设 1 t a ，则 2 2ln1(e )yttt ， 因为 2 0 t y t ，所以 2 2ln1(e )yttt 单调递减， 所以 222 2ln ee13e0y ，所以 22111 () ln()10g aaa ， 所以( )g x在 1 () a ，上存在一个零点 综上可知，实数a的取值范围为 2 ( e ,0) 10 分 （3）当2a 时， 1 ( )(2)lnf xx x ， 22 11 121ln ( )ln2 xx fxx x x xx ， 设( )21lng xxx ，则 1 ( )20g x x 所以( )g x单调递增， 且 11 ( )ln0 22 g，(1)10g ，所以存在 0 1 (1) 2 x ，使得 0 ()0g x，12 分 因为当 0 (0)xx，时，( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x单调递减； 当 0 (+ )xx，时，( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x单调递增， 所以 0 xx时，( )f x取得极小值，也是最小值， 此时 0000 000 111 ()(2)ln(2) 12(4)4f xxxx xxx ，14 分 因为 0 1 (1) 2 x ，所以 0 ()( 1 0)f x ， 因为( )f x，且为整数，所以1，即的最大值为116 分 20 （1）由 1 1 nn aka ， 1 3a 可知， 2 31ak， 2 3 31akk， 因为1 n a 为等比数列，所以 2 213 (1)(1)(1)aaa， 即 22 (32)2(32)kkk，即 2 31080kk，解得2k 或 4 3 k ，2 分 当 4 3 k 时， 1 4 3(3) 3 nn aa ，所以3 n a ，则12 n a ， 所以数列1 n a 的公比为 1，不符合题意； 当2k 时， 1 12(1) nn aa ，所以数列1 n a 的公比 1 1 2 1 n n a q a ， 数学试卷答案 第 4 页(共 6 页) 所以实数k的值为2 4 分 （2）由（1）知12n n a ，所以 4 n n nn b n 为奇数, 为偶数, 则 2 2 (4 1)4(43)44(21)4m m Sm 2 (4 1)(43)4(21)444mm 1 44 (4) 3 m mm ，6 分 则 2122 44 (4) 3 m mmm SSbmm ， 因为 22+1 324m mm bbm，又 222+322+1 ()()3 420 m mmmm bbbb ， 且 23 50bb， 1 30b ，所以 21 0 m S ，则 2 0 m S， 设 2 21 0, m t m S bt S * N，8 分 则1,3t 或t为偶数，因为 3 1b 不可能，所以1t 或t为偶数， 当 2 1 21 = m m S b S 时， 1 44 (4) 3 3 44 (4) 3 m m mm mm ，化简得 2 624844 m mm ， 即 2 42mm0，所以m可取值为 1，2，3， 验证 624 135 787 ,3, 323 SSS SSS 得，当2m 时， 4 1 3 S b S 成立12 分 当t为偶数时， 1 2 2 21 44 (4) 33 1 443124 (4)1 3 4 m m m m m mm S S mm mm ， 设 2 3124 4 m m mm c ，则 2 1 1 94221 4 mm m mm cc ， 由知3m ，当4m 时， 54 5 3 0 4 cc ； 当4m 时， 1 0 mm cc ，所以 456 ccc，所以 m c的最小值为 5 19 1024 c ， 所以 2 21 3 015 19 1 1024 m m S S ，令 2 2 21 4 m m S b S ，则 2 3 14 3124 1 4m mm ， 即 2 31240mm，无整数解 综上，正整数 m 的值216 分 数学数学参考答案与评分标准参考答案与评分标准 21A矩阵M的特征多项式为 23 ( )(2)(1)3 1 ft t 2 分 因为矩阵M的一个特征值为 4，所以(4)630ft，所以2t 5 分 数学试卷答案 第 5 页(共 6 页) （第 22 题） B A C x y z B1 A1 C1 所以 23 21 M，所以 1 1313 2 1322 13244 2211 2 1322 13222 M10 分 B由:cossin120l，及cosx，siny， 所以l的直角坐标方程为120 xy 2 分 在曲线C上取点 2 3cos2sinM，则点M到l的距离 4sin12124sin 2 3cos2sin12 33 222 d ，6 分 当 6 时，d取最小值4 2，8 分 此时点M的坐标为3,110 分 C因为xyz， ，都为正数，且1xyz， 所以由柯西不等式得， 111 3() 222xyyzzx 111 () (2 )(2 )(2 ) 222 xyyzzx xyyzzx 5 分 2111 (222 )9 222 xyyzzx xyyzzx ， 当且仅当 1 3 xyz时等号成立， 所以 111 222xyyzzx 的最小值为 310 分 22 （1）因为四边形 11 AAB B为正方形，所以 1 ABBB， 因为平面 11 AAB B 平面 11 BBC C，平面 11 AAB B 平面 111 BBC CBB， AB 平面 11 AAB B，所以AB 平面 11 BBC C. 2 分 以点B为坐标原点，分别以BA, 1 BB所在的直线 为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz. 不妨设正方形 11 AAB B的边长为 2， 则2 0 0A， ， 1 0 2 0B， ， 在菱形 11 BBC C中，因为 11 60BBC， 所以 1(0 1 3) C， ，所以 1 ( 2 1 3)AC ， ， 因为平面 11 AAB B的法向量为0 0 1， ，n， 设直线 1 AC与平面 11 AAB B所成角为， 则 1 |3 | 6 sin|cos,| 4 2 21 AC n， 即直线 1 AC与平面