适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《18不等式（二）》VIP

适用于教育机构高考数学专题辅导讲义讲义编号： 年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题不等式 (二)教学目的教学内容第三节 一元二次不等式的解法及其应用（一）高考目标考纲解读1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图考向预测1以考查一元二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式，根的存在性等2一元二次不等式经常与数列、函数、解析几何相结合考查参数的取值范围3以选择题、填空题为主，解答题中也会出现（二）课前自主预习知识梳理1 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系2分式不等式的解法先通分化为一边为，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式注意0AB0；0AB0穿根时，2点穿过，1点返回，故解为x1.4含绝对值不等式的解法一是令每个绝对值式为0，找出其零点作为分界点，分段讨论，二是平方法（三）基础自测1(2010江西理)不等式的解集是()A(0,2) B(，0)C(2，) D(，0)(0，)答案A解析由得0，即x(x2)0.解得0x2，选A.2(2010全国卷)不等式0的解集为()Ax|2x3 Bx|x2|Cx|x3 Dx|x3|答案A解析本题考查了分式不等式的解法原不等式可化为(x3)(x2)0得2x3.3(2009安徽理)若集合Ax|2x1|3，Bx|0，则AB是()Ax|1x或2x3 Bx|2x3Cx|x2 Dx|1x答案D解析本题考查不等式的解法及集合的运算Ax|2x1|3x|32x13x|1x2，Bx|0x|x3或x，ABx|1x点评解本题时，容易将不等式0化为(3x)(2x1)0，x3，又Ax|1x2，ABx|x2，故错选C.即解一元二次不等式时，一定要先将二次项系数化为正数，再写出不等式的解4若方程7x2(k13)xk2k20有2个不等实根x1，x2，且0x11x22.则实数k的取值范围是()A2k1 B3k4 C2k4 D2k1或3k4答案D解析令f(x)7x2(k13)xk2k2，则，2k1或3k4.5(2008江西)不等式2x22x4的解集为_答案x|3x1解析依题意得，2x22x421，x22x41，解得不等式的解集为x|3x16关于x的不等式1的解集为x|x1或x2，则实数a_.答案解析原不等式可化为0.解集为x|x1或x2，a10且2.a.7解不等式10，x0，3x2或0x1，原不等式的解集为x|3x2或0x1（四）典型例题1.命题方向：一元二次不等式的解法例1(文)解下列不等式(1)x22x0；(2)9x26x10.分析结合相应的二次方程的根，一元二次函数的图像可求得解集解析(1)两边都乘以3，得3x26x20，30，且方程3x26x20的解是x11，x21，原不等式的解集是x|1x1(2)方法一：不等式9x26x10，其相应方程9x26x10，(6)2490，上述方程有两相等实根x.结合二次函数y9x26x1的图像知，原不等式的解集为R.方法二：9x26x10(3x1)20，xR.不等式解集为R.点评解一元二次不等式的步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右边为零，左边二次项系数大于0；(2)计算相应方程的判别式；(3)求出相应方程的根，或判定相应方程没有实数根(4)结合相应二次函数图像写出不等式的解集(理)已知关于x的不等式(ab)x(2a3b)0的解集解析不等式(ab)x(2a3b)0，且，a2b，b0.代入所求解不等式得bx3b0，x0非常重要跟踪练习1(08宁夏、海南)已知a1a2a30，则使得(1aix)2a2a30，0x0.分析由于最高次项的系数含有字母a，不等式可以是二次不等式，也可以是一次不等式，且影响两根的大小所以首先要确定是几次不等式，其次判定根的大小常见错误是不考虑字母a对不等式次数的影响，看成了二次不等式导致失误，或考虑不周密、分类不全造成错解解析(1)当a0时，原不等式化为x20，解集为x|x2(2)当a0时，原不等式化为(x2)(x)所以解集为x|x0时，原不等式化为(x2)(x)0.当0a1时，两根的大小顺序为2或x1时，两根的大小顺序为2解集为x|x2或x综上所述，不等式的解集为：a0时，x|x2a1时，x|x2a0时，x|x20a或x1时，x|x2或x2时，原不等式的解集为x|x0或x1当a2时，原不等式的解集为x|10，等价变形为(x22x3)(x23x2)0，即(x1)(x1)(x2)(x3)0.由穿根法可得所求不等式解集为x|x1或1x3跟踪练习3：已知函数f(x)(a，b为常数)且方程f(x)x120有两个实根为x13，x24.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k1，解关于x的不等式f(x).分析本题主要考查求函数的解析式及含参分式不等式的解法，f(x)x120为一元二次方程，可以利用根与系数的关系求出函数f(x)的解析式，这是问题的突破口解析(1)将x13，x24分别代入方程x120，得解得所以f(x)(x2)(2)不等式即为，可化为0，即(x2)(x1)(xk)0.当1k2，解集为x(1，k)(2，)；当k2时，不等式为(x2)2(x1)0，解集为x(1,2)(2，)；当k2时，解集为x(1,2)(k，)4.命题方向：恒成立问题例4(2011青岛模拟)函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求a的范围(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求a的范围分析(1)f(x)a可化为x2ax3a0恒成立，即解集为R，应满足开口向上，0.(2)结合二次函数的有关知识，讨论，对称轴，端点值列出不等式组进行求解解析(1)xR时，有x2ax3a0恒成立，须a24(3a)0，即a24a120，所以6a2.(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图(1)，当g(x)的图像恒在x轴上方时，满足条件时，有a24(3a)0，即6a2.如图(2)，g(x)的图像与x轴有交点，但在x2，时，g(x)0，即，即如图(3)，g(x)的图像与x轴有交点，但在x(，2时，g(x)0，即，即7a6.点评(1)ax2bxc0的解集为R.即或(2)ax2bxc0的解集为R.即或(3)ax2bxc0在(m，n)上恒成立或ax2bxc0在(m，n)有根，应画出相应二次函数的图像从，对称轴，端点值三方面去限制，列出相应的不等式组跟踪练习4已知f(x)x22ax2，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围解析解法1：f(x)(xa)22a2，此二次函数图像的对称轴为xa.当a(，1)时，结合图像知，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a，恒成立，只需f(x)mina，即2a3a解得3a1；当a1，)时，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得1a1.综上所述，所求a的取值范围为3a1.解法2：由已知得x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或（五）思想方法点拨1解不等式的核心问题是不等式的同解变形，是将复杂的、生疏的不等式问题转化为简单的、熟悉的不等式问题不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图像都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化2一元二次不等式的解法技巧(1)关于一元二次不等式的求解，主要是研究当x2的系数为正值的一种情形(当x2的系数为负值时，可先化成正值来解决)对于一元二次不等式的解集，有的学生因为理解不够而死记硬背，常常将对应的二次不等式应该是空集还是实数集混淆，要解决这个问题，最好的办法就是将二次不等式与对应的二次方程、二次函数的图像真正联系起来，时时注意数形结合，这样就不会出现那样的错误了，要注意真正理解不等式解的含义(2)对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不要忽视对其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根的大小进行分类讨论3一元一次不等式(组)和一元二次不等式(组)的解法是不等式的基础，因为很多不等式的求解最终都是转化为一元一次不等式(组)和一元二次不等式(组)进行的4三个“二次”的关系二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系通过二次函数的图像及性质来解决一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图像与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点(六)课后强化作业一、选择题1(2009天津文)设函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集是()A(3,1)(3，) B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)答案A解析本小题主要考查不等式解法f(1)3，当x0时，由f(x)f(1)得x24x63，x3或x1.又x0，x0,1)(3，)当x0时，由f(x)f(1)得x63x3，x(3,0)综上可得x(3,1)(3，)，故选A.2(2010全国卷理)不等式0的解集为()Ax|x3 Bx|x2，或1x3Cx|2x3 Dx|2x1，或1x0，即(x1)(x3)(x2)0，由穿根法可知2x3.3函数f(x)3ax12a在(1,1)上存在x0，使f(x0)0，则a的取值范围是()A1a Ca Da1答案C分析a0时，f(x)为一次函数，故由x0(1,1)时，f(x0)0知，f(1)与f(1)异号解析由题意得f(1)f(1)0，即(3a12a)(3a12a)0，a.故选C.4(文)二次函数f(x)的图像如图所示，则f(x1)0的解集为()A(2,1) B(0,3) C(1,2) D(，0)(3，)答案B解析f(x1)0，由图知1x12，0x3.(理)(08天津)已知函数f(x)，则不等式x(x1)f(x1)1的解集是()Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|1x1答案C解析不等式x(x1)f(x1)1等价于(1)或(2)，解不等式组(1)得x2的解集为()A(1,2)(3，) B(，)C(1,2)(，) D(1,2)答案C解析解法1：f(x)，不等式f(x)2可化为或.解得1x，综上，不等式f(x)2的解集为(1,2)(，)解法2：利用特殊值法f(x)当x2时单调递增，当x(，)时满足f(x)2，据此排除A、D，又由f2e22，也适合f(x)2，故选C.6(2011山东青岛)关于x的方程x2(a21)xa20的一根比1小且一根比1大的充要条件是()A1a1 Ba1或a1C2a1 Da2或a1答案C解析设f(x)x2(a21)xa2，由题意知f(1)0，1a21a20.a2a20，2a1.故选C.7(2010新课标文)设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则x|f(x2)0()Ax|x4 Bx|x4Cx|x6 Dx|x2答案B解析本题考查了函数的奇偶性，集合的表示方法以及指数函数的单调性，在解决问题时首先求得对称区间上的解析式，然后分情况求解范围，题目定位是中档题由题可知函数f(x)是偶函数，所以当x0时解析式为f(x)2x4(x0)，所以当x20，解得x0，解得x4，综上x|f(x2)0x|x4，故选B.8已知f(x)x2ax(a0且a1)，当x(1,1)时均有f(x)，则a的取值范围是()A.2，) B.(1,4C.(1,2 D.4，)答案C解析由f(x)得，x2ax(1x1时，f2(x)；当0aa，又当x(1,1)时，f1(x)1.故或，解得1a2或a1，选C.二、填空题9若loga(a21)loga(2a)0，则a的取值范围是_答案a2a，loga(a21)loga(2a)0，a1.10函数f(x)是定义在R上的减函数，A(3，1)，B是其图像上两点，那么|f(2x1)|1的解集为_答案(1,2)解析不等式|f(2x1)|1可化为1f(2x1)1，f(3)1，f1，f(3)f(2x1)2x1，解得1x0；(2)若不等式(lgx)2(2m)lgxm10对于|m|1恒成立，求x的取值范围解析(1)(lgx)2lgx20，(lgx1)(lgx2)0，lgx2，0x100.不等式的解集为x|0x100(2)设ylgx，则y2(2m)ym10，y22ymym10，(1y)m(y22y1)0.当y1时，不等式不成立设f(m)(1y)m(y22y1)，则f(m)是m的一次函数，且一次函数为单调函数当1m1时，若要f(m)0恒成立则，y3，lgx3.0x1000.x的取值范围是(1000，)14已知f(x)ax3bx2cx在区间0,1上是增函数，在区间(，0)，(1，)上是减函数又f.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间0，m(m0)上恒有f(x)x成立，求m的取值范围解析(1)f(x)3ax22bxc，由已知得f(0)f(1)0，即解得f(x)3ax23ax，f，a2，f(x)2x33x2.(2)令f(x)x，即2x33x2x0，x(2x1)(x1)0，0x或x1.又f(x)x在区间0，m上恒成立，00，当0x5时，解不等式0.4x23.2x2.80即x28x70，得1x7，15时，解不等式8.2x0，得 x8.2，5x8.2综上所述，要使工厂赢利，x应满足1x5时，f(x)0B0直线AxByC0上方直线AxByC0下方AxByC0直线AxByC0下方直线AxByC0上方主要看不等号与B的符号是否同向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫B值判断法一般地说，直线不过原点时用原点判断法或B值判断法，直线过原点时用B值判断法或用(1,0)点判断注意：画不等式AxByC0(或AxByC0)所表示的平面区域时，区域包括边界直线AxByC0上的点，因此应将其画为实线把等号去掉，则直线为虚线（三）基础自测1(2010全国卷理)若变量x ，y满足约束条件则zx2y的最大值为()A4B3 C2D1答案B解析画出可行域(如图)，由图可知，当直线l经过点A(1，1)时，z最大，且最大值为zmax12(1)3.2(2010福建文)若x，yR，且则zx2y的最小值等于()A2 B3 C5 D9答案B解析B本题主要考查线性规划，求目标函数的最值不等式组表示的可行域如图所示：画出l0：x2y0平行移动l0到l的位置，当l通过M时，z能取到最小值此时M(1,1)，即zmin3.3若直线ykx1与圆x2y2kxmy40相交于P、Q两点，且点P、Q关于直线xy0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是()A.B.C1D2答案A解析由点P、Q关于直线xy0对称说明直线ykx1与xy0垂直k1，又圆心坐标为(，)必在直线xy0上，0，m1，则不等式组为，如图，A坐标为(1,0)，B点坐标为(，)，SAOB|OA|yB|1，故选A.4(2009陕西)若x，y满足约束条件，目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A(1,2) B(4,2) C(4,0 D(2,4)解析本小题主要考查线性规划问题作可行域如图，解得，A(3,4)，由题意得12，4a0；(2)分析(1)用特殊点，如原点确定不等式表示的平面区域；(2)分别画出每个不等式所表示的平面区域，然后取其公共部分解析(1)先画直线3x2y60(画成虚线)，取原点(0,0)代入，302060，(0,0)在3x2y60表示的平面区域内，如图所示(2)不等式x3表示x3左侧点的集合，不等式2yx表示x2y0上及其左上方点的集合不等式3x2y6表示直线3x2y60上及右上方点的集合不等式3yx9表示直线3yx90右下方点的集合综上可得：不等式组表示的平面区域如图所示（四）典型例题1.命题方向：二元一次不等式表示的区域例1若不等式组，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()AaB0a1 C1a D00时，最优解是将直线axby0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的当b0当x4，y6时z取得最大值答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大跟踪练习32010年世博会在上海举行，一家旅行社开发了A、B两类旅游产品，A类每条旅游线路的利润是0.8万元，B类每条旅游线路的利润是0.5万元，且A类旅游线路不能少于5条，B类旅游线路不能少于8条，两类旅游线路的和不能超过20条，则该旅行社能从这两类旅游产品中获取的最大利润是_万元分析线性规划是最优化模型中的一个重要内容，在生产生活中有着广泛的应用，而且在数学领域里也潜藏着深厚的文化底蕴，需要同学们认真体会答案13.6解析设A类旅游线路开发x条，B类旅游线路开发y条，则，z0.8x0.5y，不等式组表示的可行域是以(12,8)，(5,8)，(5,15)为顶点的三角形区域(含边界)，又x，yN*，易知在点(12,8)处z取得最大值，所以zmax0.8120.5813.6(万元)4.命题方向：线性规划的综合应用问题例4变量x、y满足，(1)设z4x3y，求z的最大值；(2)设z，求z的最小值；(3)设zx2y2，求z的取值范围分析画出可行域明确目标函数z的几何意义结合图形找最优解求目标函数的最值解析由约束条件，作出(x，y)的可行域如图所示由，解得A.由，解得C(1,1)由，解得B(5,2)(1)由z4x3y，得yx.求z4x3y的最大值，相当于求直线yx在y轴上的截距的最小值平移直线yx知，当直线yx过点B时，最小，z最大zmax453214.(2)z.z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB.(3)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|，2z29.点评本例与常规线性规划不同，主要是目标函数不全是直线形式，此类问题考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；表示点(x，y)与点(a，b)的距离(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键跟踪练习4：设变量x，y满足约束条件则z的取值范围是_分析此题考点为线性规划的可行域、直线的斜率解题关键是懂得将求z的取值范围转化为求可行域内的点(x，y)与点(3，3)连线的斜率的取值范围解析画出可行域如图，z表示可行域内的点(x，y)与点E(3，3)连线的斜率，则由图像可知，连线过点C时斜率最小，过点B时斜率最大kBC，kEB3，所以z的取值范围是，3答案，3点评此类题可以归类为求的取值范围，即求点(b，a)(注：点(b，a)在可行域外)与可行域内的点(x，y)的连线的斜率（五）思想方法点拨：1用二元一次不等式表示平面区域，是简单线性规划问题的基础2直线把平面分成的每一个区域内所有点的坐标各同时满足一个不等式，确定不等式AxByC0(0，0，0)表示直线AxByC0的哪一侧区域，常用下列的方法确定：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取(x0，y0)，把它的坐标代入AxByC0，若不等式成立，则和(x0，y0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一区域为不等式AxByC0所表示的区域3在线性约束条件下，当b0时，求目标函数zaxbyc的最小值或最大值的求解程序为：(1)作出可行域；(2)作出直线l0：axby0；(3)确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值4目标函数非线性时，注意目标函数的几何意义，如斜率，距离等5解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范求最优解时，若没有特殊要求，一般为边界交点若实际问题要求的最优解是整数解而我们利用图解法得到的解为非整数解，应作适当调整其方法应以与线性目标函数直线的距离为依据，在直线附近寻求与直线距离最近的整点，但必须是在可行域内寻找. 但考虑到作图毕竟还是会有误差，假若图上的最优解并不明显易辨时，应将最优解附近的整点都找出来，然后逐一检查，以“验明正身”（六）课后强化作业一、选择题1(2010安徽文)设x，y满足约束条件则目标函数zxy的最大值是()A3 B4C6D8答案C解析该题考查线性规划知识，求线性目标函数在线性约束条件下的最值考查作图、识图能力及计算能力先画出可行域，如图作z0时：xy0的直线，在可行域内平移，当移至A(6,0)时，xyz0的截距最大，此时z值最大，z606，故选C.2(2010山东理)设变量x、y满足约束条件，则目标函数z3x4y的最大值和最小值分别为()A3，11 B3，11 C11，3 D11,3答案A解析作出可行域，当直线3x4y0平移至可行域上的点(3,5)时，z取最小值11，平移至点(5,3)取最大值3.3给出平面区域如下图所示，若使目标函数Zaxy(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为()A. B. C4 D.答案B解析目标函数Zaxy(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则l应与AC重合，即aKAC，a.4(2008山东)设二元一次不等式组，所表示的平面区域为M，使函数yax(a0，a1)的图像过区域M的a的取值范围是()A1,3 B2， C2,9 D，9答案C解析由二元一次不等式组得所表示的平面区域M为图中阴影部分交点为A(1,9)，B(3,8)，C(2,10)使函数yax(a0，a1)的图像过区域M的a的取值范围为2,9故选C.5在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A(x，y)xy1，且x0，y0，则平面区域B (xy，xy)(x，y)A的面积为()A2 B1 C. D.答案B解析记xym，xyn则x，y.，即作出可行域可知面积为1.6(2011广东五校期中)当点M(x，y)在如图所示的三角形ABC区域内(含边界)运动时，目标函数zkxy取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k的取值范围是()A(，11，) B1,1C(，1)(1，) D(1,1)答案B解析由目标函数zkxy得ykxz，结合图形，要使直线的截距z最大的一个最优解为(1,2)，则0kkAC1或0kkBC1，即k1,17已知实数x，y满足，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于()A7 B5 C4 D3答案B解析由选项知m0，作出可行域如图目标函数zxy对应直线yxz经过可行域内的点A时，z取最大值，从而z取最小值1.由，得A(，)，z1，m5.8(2010四川理)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元；乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱答案B解析设甲每天加工x箱，乙每天加工y箱，利润为z.则，即且z280x200y，画出