高考数学复习专题7.15：圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展VIP

专题7.15：圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：直线l1:a1x+b1y+1=0和 l2:a2x+b2y+1=0都过点(2，3)，则过点A(a1,b1)、B(a2,b2)的直线l的方程为 . 2x+3y+1=0拓展：如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为，又椭圆内接四边形ABCD (点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC，BD相交于点，且，（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB的斜率ABCDxPyO（1）解：依题意，解得所求椭圆的方程为 （2）解：设，则由，得代入椭圆方程，得整理，得， 即 设，同理可得 由可得直线AB的方程为xy=，所以AB直线斜率为1.探究2： 已知椭圆C：1(ab0)经过点M(2，1)，离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.(1) 求椭圆C的方程；(2) 试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论解： (1) 由题设，得1，且，由、解得a26，b23，故椭圆C的方程为1.(2) 设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为k，假设PMQ为直角，则k(k)1，即k1.若k1，则直线MQ的方程为y1(x2)，与椭圆C方程联立，得x24x40，该方程有两个相等的实数根2，不合题意；同理，若k1也不合题意故PMQ不可能为直角记P(x1，y1)、Q(x2，y2)设直线MP的方程为y1k(x2)，与椭圆C的方程联立，得(12k2)x2(8k24k)x8k28k40，则2，x1是该方程的两根，则2x1，即x1.设直线MQ的方程为y1k(x2)，同理得x2.因y11k(x12)，y21k(x22)，故kPQ1，因此直线PQ的斜率为定值拓展1：椭圆1(ab0)上任意点P(x0,y0)作两条倾斜角互补的两条直线交椭圆分别为A、B两点.求证：直线AB的斜率为定值.拓展2：已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点为(，0)，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程探究3：设平面直角坐标系xOy中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：（1）求实数的取值范围；（2）求圆的方程；（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请证明你的结论.解：（1）由解得且； （2）设二次函数与x轴的两个交点分别为和，则和是关于的方程的两个不同解，设圆方程为，将点，(0,b)分别代入圆方程有 由前两个方程可知和是关于的方程的两个不同解，所以,代入第三个方程解得，所以圆C方程为； （3）由(2)圆C方程整理为，令解得或，可知圆C经过两个定点(2,1)和(0,1).拓展：已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过A点的动直线交椭圆于两点（1）求椭圆的标准方程；（2）证明两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点的动圆记为圆,，已知动圆过定点和(异于点)，请求出定点的坐标. 解：（1）设椭圆的标准方程为1(ab0).由题意得, , 椭圆的标准方程为；（2）证明：设点将带入椭圆，化简得：, , P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.（3）法1：设圆的一般方程为:,则圆心为（）,PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, 圆心（）满足，所以圆过定点(2,0)，所以圆过, 则 两式相加得： , 因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以，由解得: 代入圆的方程为：,整理得：,所以： 解得：或(舍). 所以圆过定点(0,1).法2：设圆的一般方程为:,联立消去y得到：，由题可知方程和同解所以整理得，又有圆过点，可得且，由上述三个方程联立可得，余下同法一.拓展：试证明如下定理：定理 设斜率为的直线与椭圆相交于两个不同点（也不同于椭圆的右顶点），则过的圆恒过一个异于点的顶点 证明：设圆的一般方程为，直线的方程为：。将直线方程代入圆的方程得： （1）联立直线与椭圆方程得： （2）方程（1）与方程（2）为同解方程，所以又圆过点A ，则从