高考数学复习专题1.4：利用必要条件解题的研究与拓展VIP

专题1.4：利用必要条件解题的研究与拓展【问题提出】问题1：已知，不等式恒成立，求证：.问题2：已知，不等式恒成立，求实数的取值范围.【探究拓展】探究1： 对于总有成立，则= 由题目暗示可知是一个常数，由不等式恒成立，作为填空题可取若干特殊值把夹逼出来，由，即，夹逼可得变式：设aR，若x 0时均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0，则a=_ . 探究2：已知函数，其中是自然数的底数，若在上是单调增函数，求的取值范围.解： 当时，在上恒成立，故符合要求； 当时，令，因为，所以有两个不相等的实数根，不妨设，因此有极大值又有极小值（i）若，因为，所以在内有极值点，故不符合要求（ii）若，可知，因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，必须满足即所以.综上可知，的取值范围是局部缩小优化：由所以在上恒成立，,得,（i）当时，在上恒成立，故符合要求；（ii）当时，令，因为的图象开口向下，要使在上恒成立，只要满足得。综上：的取值范围是探究3：已知函数f (x)(m3)x2+ 9x.若函数f (x)在区间1，2上最大值为4，求m的值解：当m3时，f (x)在1，2上是增函数，所以f (x) maxf (2)8(m3)184,得m3，不合题意舍去。当m3时，(x)3(m3) x2 + 9=0，得f (x)的单调区间为：单调减，单调增，单调减 当，即时，所以f (x)在区间1，2上单调增，f (x) max f(2)8(m3)184，m，不满足题设要求 当，即0m时，f (x) max舍去 当，即m0时，则，所以f (x)在区间1，2单调减，f (x) max f (1)m + 64，m2.综上所述：m2局部缩小优化：由于函数f (x)在区间1，2上最大值为4，故在区间1，2上恒成立（必要不充分条件），由，得,下同上分类3。 思考：已知在上的值域为,则的取值集合为_. 变式1：已知二次函数（是常数，且）满足条件：，方程有两个相等的实根（1）求的解析式；（2） 问是否存在实数，使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出，的值，如果不存在，说明理由变式2：（2013年盐城、南京第一学期期末考试）对于定义在区间上的函数, 若任给, 均有, 则称函数在区间上封闭.（1）试判断在区间上是否封闭, 并说明理由；（2）若函数在区间上封闭, 求实数的取值范围；（3）若函数在区间上封闭, 求的值.命题背景：函数在区间内的值域是定义域的子集解: (1)在区间上单调递增,所以的值域为-3,0而-1,0,所以在区间上不是封闭的 (2)因为, 当时,函数的值域为,适合题意当时,函数在区间上单调递减,故它的值域为, 由,得,解得,故当时,在区间上有,显然不合题意 综上所述, 实数的取值范围是(3)因为,所以,所以在上单调递减,在上递增,在上递增. 当时,在区间上递增,所以,此时无解 当时,因,矛盾,不合题意 当时,因为都在函数的值域内,故,又,解得,从而 当时,在区间上递减, (*),而,经检验,均不合(*)式当时,因,矛盾,不合题意当时,在区间上递增,所以,此时无解综上所述,所求整数的值为优化方法：由题意可得，从而，并且注意到，所以，则满足条件的有序数对为.经检验可得.探