高考数学复习专题2.27：函数 图象与性质的研究与拓展

专题2.27：函数图象与性质的研究与拓展【问题提出】 将函数去掉绝对值符号后，写成分段函数. 当时，函数与平行，且最低点为；当时，函数与平行，且最低点为；类比二次函数图象的记法，当时，可知函数图象开口向上，顶点(最低点)为. 同理可知，时，的图象开口向下，顶点(最高点)为.事实上，可以直接从函数图象平移的角度去分析，即函数可看成平移而得. 【探究拓展】探究1：设函数，若不等式的解集非空，则实数的取值范围是_. 或探究2：对任意的，若函数的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于轴），试写出、应满足的条件 答案： 提示：，结合图像得，即探究3. 设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意xD，都有x+kD，且f(x+k)f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”（1）如果定义域为上的函数是上的k型增函数，则实数k的取值范围是_；（2）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=|x-a|-2a，若f(x)为R上的“2011型增函数”，则实数a的取值范围是_.3a-3aOxyka3a-k图13解 若a0，则f(x)在x0时为增函数，故对任意正实数k，不等式f(x+k)f(x)恒成立若a0，则函数y=f(x+k)的图象可由函数y=f(x)的图象向左平移k个单位而得(如图13)因k=2011，故仅当20116a时，f(x+2011)f(x)，所以此时0a综上，实数a的取值范围是a0时，,若f(x)为R上的“4型增函数”，则实数a的取值范围是_. 变式1：如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成.若，则正实数的取值范围是 . 变式2：函数是定义在上的奇函数，当时， ，若，则实数的取值范围为_. 探究4：若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_.解析 在同一个坐标系中画出函数与的图象(图1)，要使得对任意，不等式恒成立，则由一次函数性质与绝对值函数图象可知，即探究5：函数的图象与函数的图象交与两点，则的值为 .分析 此题试题编制新颖，其中涉及到5个参数，让不少师生的思维分析遇到障碍. 事实上，本题主要考查的知识点是：绝对值函数的性质与图象. 若能把握这一问题的本质，那么这个问题将迎刃而解：解析 函数的图象开口向下，顶点为；函数的图象开口向上，顶点为；若两函数图象相交的话，则构成四边形的两组对边分别平行，因此构成两定点和两交点构成一个平行四边形，如图2所示.又两交点分别为，那么由平行四边形对角线中点的横坐标，可得.探究6：已知不等式对任意的恒成立，则的取值范围_解析: 由，；函数的顶点为，开口向上，且左右两条射线的斜率分别为.在平面直角坐标系中，作出函数的图象(见图3)；当时，作出函数的图象作为参照线. 由两函数图象的位置关系可知，当时，绝对值函数的图象始终在的图象上方；当时，将绝对值函数向右平移，当定点与重合时，即，此时，利用两函数的斜率大小关系得到，当且仅当时，等号成立；则可知时，.当，要使，则要的左边部分永远在函数上方，那么，解得.综上可知，或时，对恒成立.探究7：对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_解析 由转化为，下在同一个坐标系中分别画出函数与的图象(如图4).易知函数在上为增函数，且过轴上点；那么要使得绝对值函数的图象始终在双曲线上方的话，则其顶点的位置只能在点的右边或与其重合，即可得.探究8：若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是 解析 首先由 ，在同一个平面直角坐标系内分别画出两个函数图象，如图4：考虑临界情况：当时，绝对值函数图象在抛物线下方的那部分横坐标都不小于0，即不等式解集中没有负实数；当直线与抛物线相切时，解得；又当时，同理可知解集中也没有负数解；则所求实数.探究9：设集合，. 若且，则实数的取值范围是 .解析 首先，不等式等价于，即可转化为函数与函数的图象位置关系问题；由题意可知，当时，函数的图象上有部分始终位于抛物线上方；又函数，开口向上，定点在直线上；由此，可在同一平面直角坐标系内画出函数图象： 1) 当，即时，符合题意，故适合；2) 当，即时，由图象可知，不合题意；3) 当，即时，首先考虑到顶点在直线运动，那么即要考虑临界情况，当绝对值函数的右支和抛物线相切时，即方程的判别式时，解得；又因为当时，故；综上可知，.探究10：定义在上的函数满足：；当时，则集合中的最小元素是_. 12变式1：定义在上的函数满足：(为正常数)；当时，.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则 .解1 由题意可知，当时，顶点为；当时，顶点为；当时，顶点为；当时，顶点为；当时，顶点为.那么，若函数的所有极大值点都落在同一条直线上，则必有点，三点共线，即由可解得或.经检验，当时，所有极大值点都在直线上；当时，所有极大值点都在直线上.解2 可求得，当x(nN*)时， f(x) =记函数f(x) =(x，nN*)图象上极大值的点为Pn(xn，yn)令，即xn=时，yn=，故Pn(，)分别令n=1，2，3，得 P1(，)，P2(3，1)，P3(6，c)由(k表示直线的斜率)得，c=2或c=1当c=2时，所有极大值的点均在直线上；当c=1时，yn=1对nN*恒成立，此时极大值的点均在直线y=1上变式2：定义在上的函数f(x)满足：f(2x)=cf(x)(c为正常数)；当2x4时，f(x)=1-|x-3|若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c= 略解 以原点为顶点的抛物线方程可设为x2=py(p0)或