高考数学复习专题2.13：函数周期性与对称性的函数方程问题的研究_第1页
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专题2. 13：函数周期性与对称性的函数方程问题的研究【问题提出】 问题1：满足下列条件的函数是否为周期函数？为什么？如果是，请写出它的一个正周期.（1）；（2）；（3）（4）.（其中）问题2：满足下列条件的函数是否具有对称性？为什么？如果有，请写出它的对称性质.（1）；（2）（3）；（4）【探究拓展】探究1：设为函数的对称中心，则必有等式_变式：（复旦自主招生）写出函数的一个对称中心为_探究2：已知奇函数的图像关于直线对称，当时，则变式1：奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则_1变式2：已知偶函数满足，当时，则 变式3：设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中，若，则的值为_. -10变式4：已知定义在上的函数，且，则变式5：已知函数对任意实数都满足，若，则探究3：定义在上的函数满足，则的值为_.-1变式：定义在上的函数满足，则_.探究4：已知函数yf(x)(xR)满足f(x2)f(x)，且x(1,1时，f(x)|x|，则yf(x)与ylog7x的交点个数为_.变式1：已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，. 若直线与函数的图象在内恰有两个不同的公共点，则实数的值为_.变式2：已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间0,2上是增函数若方程f(x)m(m0)在区间上有四个不同的根,则 . -8变式4：已知函数 则函数和的图象在区间内公共点的个数为_15变式5：已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是_.【解法探究】作出函数的简图，由图象分析可得.探究5：已知函数将集合（为常数）中的元素由小到大排列，则前6个元素的和为_. 52变式：已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_拓展1：设函数f(x)满足f(x)=f(3x)，且当x时，f(x)=lnx若在区间内，存在3个不同的实数x1，x2，x3，使得=t，则实数t的取值范围为 解：当x时，f(x)=设直线y=tx与曲线f(x)=相切于(x0，f(x0)，则t=，解得x0=3e，于是t1=另一方面，x时，图象的最右端点为(9，ln3)，于是t2=作出示意图可知，t介于t1与t2之间拓展2：已知，函数，若时，则函数在区间内的零点个数为_. 4探究6：设与是定义在上的两个函数，是任意两个实数.（1）若恒成立，且是奇函数，判断函数的奇偶性并说明理由；（2）若恒成立，且是上的增函数，判断函数和的增减性并说明理由；（3）若恒成立，且是偶函数，判断函数的奇偶性并说明理由；（4）若恒成立，且是周期函数，判断函数的周期性并说
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