高考数学复习专题3.7： 导数中繁分式化简问题的研究与拓展

专题3.7：导数中繁分式化简问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_解析考查函数的切线方程、数列的通项.在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以变式1：设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为，则的值为 -1变式2：在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_.【解析】设则，过点P作的垂线，所以，t在上单调增，在单调减，.变式3：设点P是曲线yx2上的一个动点，曲线yx2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线yx2的另一交点为Q，则PQ的最小值为 变式4：已知曲线：，直线：，在曲线上有一个动点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为.再过点作曲线的切线，分别与直线和轴相交于点，是坐标原点.若的面积为，则的面积为_探究2：设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在,求实数的取值范围对于第二问的研究：可直接参数分离得：,所以而后对分子提取公因式；变式1：已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像在点处的切线的斜率为1，且对于任意的，函数在区间上总存在极值，求实数的取值范围；（3） 当时，设函数，若在区间上至少存在一个,使得成立，求实数的取值范围.在第2问的解决中：注重对含参曲直线问题的定的特征的分析，导函数图象过定点，且开口向上，充要条件为，根据下一个不等式解得的参数的取值范围易得（3）问：分子负项较多，可猜想恒为负值变式2：设函数，且是函数的一个极值点.（1）求间满足的等式；（2）证明：对任意的实数，；（3）若存在，使成立，求实数的取值范围.提醒注意的一个非定向问题：探究3：设函数 （1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求实数的取值范围.变式1：设函数的图像在点处的切线方程为（1）用表示出；（2）若在上恒成立，求的取值范围.变式2：设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，则实数a的取值范围为_变式3：若对任意的都成立，则的最小值为 .拓展1：设函数（1）证明：当时，；（2）设当时，求a的取值范围拓展2：设函数.（1）证明：；（2）若对所有都有，求的取值范围.拓展3：设函数（1）求的单调区间；（2）如果对任何，都有，求的取值范围拓展4：设是定义在区间上的函数，其导函数为，且存在实数，,满足（1）证明：；（2）设,求实数的取值范围.参数分离可行，但中间需要对分子进行因式分解（平方差公式的应用）最后借助洛必达法则完成洛必达法则简介：法则1 若函数和满足下列条件：(1) 及；(2)在点的去心邻域内，与可导且； (3)，那么 =。法则2 若函数和满足下列条件：(1) 及；(2)，和在与上可导，且；(3)，那么 =。 法则3 若函数和满足下列条件：(1) 及； (2)在点的去心邻域内，和可导且； (3)，那么 =。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 将上面公式中的换成洛必达法则也成立。 洛必达法则可处理，型。 在着手求极限以前，首先要检查是否满足，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。洛必达法则一般和分离参数法联用,在求最值的时候,求导计算.此时代入横坐标往往是没有意义的.此时利用洛必达法则求最值.通过以上例题的分析，我们不难