高考数学复习专题3.7: 导数中繁分式化简问题的研究与拓展_第1页
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专题3.7:导数中繁分式化简问题的研究与拓展【探究拓展】探究1:函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=_解析考查函数的切线方程、数列的通项.在点(ak,ak2)处的切线方程为:当时,解得,所以变式1:设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为 -1变式2:在平面直角坐标系中,已知点P是函数的图象上的动点,该图象在P处的切线交y轴于点M,过点P作的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是_.【解析】设则,过点P作的垂线,所以,t在上单调增,在单调减,.变式3:设点P是曲线yx2上的一个动点,曲线yx2在点P处的切线为l,过点P且与直线l垂直的直线与曲线yx2的另一交点为Q,则PQ的最小值为 变式4:已知曲线:,直线:,在曲线上有一个动点,过点分别作直线和轴的垂线,垂足分别为.再过点作曲线的切线,分别与直线和轴相交于点,是坐标原点.若的面积为,则的面积为_探究2:设函数(1)当时,求函数的单调区间;(2)若存在,求实数的取值范围对于第二问的研究:可直接参数分离得:,所以而后对分子提取公因式;变式1:已知函数(1)求函数的单调区间;(2)若函数的图像在点处的切线的斜率为1,且对于任意的,函数在区间上总存在极值,求实数的取值范围;(3) 当时,设函数,若在区间上至少存在一个,使得成立,求实数的取值范围.在第2问的解决中:注重对含参曲直线问题的定的特征的分析,导函数图象过定点,且开口向上,充要条件为,根据下一个不等式解得的参数的取值范围易得(3)问:分子负项较多,可猜想恒为负值变式2:设函数,且是函数的一个极值点.(1)求间满足的等式;(2)证明:对任意的实数,;(3)若存在,使成立,求实数的取值范围.提醒注意的一个非定向问题:探究3:设函数 (1)当时,求函数的单调区间;(2)当时,求实数的取值范围.变式1:设函数的图像在点处的切线方程为(1)用表示出;(2)若在上恒成立,求的取值范围.变式2:设函数f(x)(x1)ln(x1),若对所有的x0,都有f(x)ax成立,则实数a的取值范围为_变式3:若对任意的都成立,则的最小值为 .拓展1:设函数(1)证明:当时,;(2)设当时,求a的取值范围拓展2:设函数.(1)证明:;(2)若对所有都有,求的取值范围.拓展3:设函数(1)求的单调区间;(2)如果对任何,都有,求的取值范围拓展4:设是定义在区间上的函数,其导函数为,且存在实数,,满足(1)证明:;(2)设,求实数的取值范围.参数分离可行,但中间需要对分子进行因式分解(平方差公式的应用)最后借助洛必达法则完成洛必达法则简介:法则1 若函数和满足下列条件:(1) 及;(2)在点的去心邻域内,与可导且; (3),那么 =。法则2 若函数和满足下列条件:(1) 及;(2),和在与上可导,且;(3),那么 =。 法则3 若函数和满足下列条件:(1) 及; (2)在点的去心邻域内,和可导且; (3),那么 =。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: 将上面公式中的换成洛必达法则也成立。 洛必达法则可处理,型。 在着手求极限以前,首先要检查是否满足,型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。 若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。洛必达法则一般和分离参数法联用,在求最值的时候,求导计算.此时代入横坐标往往是没有意义的.此时利用洛必达法则求最值.通过以上例题的分析,我们不难

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