高考数学复习专题4.1：三角函数中的单位圆问题的研究与拓展VIP

专题4.1：三角函数中的单位圆问题的研究与拓展【课本溯源】苏教版高中数学教材必修4第13页： 由于与点在角终边上的位置无关，为简单起见，我们取，即选取角终边与单位圆（圆心在原点，半径等于单位长度的圆）的交点为，则(如图)问题：动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是_. 和【解析】画出图形，设动点A与轴正方向夹角为，则时，每秒钟旋转，在上，在上，动点的纵坐标关于都是单调递增的. 【问题提出】问题1：苏教版高中数学教材必修4第24页，习题1.2，第17题：利用单位圆分别写出下列条件的角的集合：（1）; （2）.问题2：（2008年江苏卷15）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为（1）求的值；（2）求的值:解析：（1）由及yA0，得，则tan7；由及yB0，得，则tan（2），2，则2【拓展探究】探究1：在内，使成立的的取值范围为_. ； 变式1：利用单位圆解不等式 （k，k+），k Z变式2：求函数的定义域.探究2：苏教版高中数学教材必修4第24页，习题1.2，第20题：若为锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较之间的大小关系.解：sintan. 证明：如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PMOA于M，连接AP，则：在RtPOM中，sinMP；在RtAOT中，tanAT；又根据弧度制的定义，有OP，易知SPOAS扇形POASAOT，即OAMPOAOAAT，可得sintan.探究3：如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A，则cossin_.答案： 解析：由条件知，sin，cos，cossin.变式1：直线y2x1和圆x2y21交于A，B两点，以x轴的正方向为始边，OA为终边(O是坐标原点)的角为，OB为终边的角为，则sin()_.答案： 解析：将y2x1代入x2y21中得，5x24x0，x0或，A(0,1)，B，故sin1，cos0，sin，cos，sin()sincoscossin.OP1P0P2变式2：点P是单位圆上一点，它从初始位置开始沿单位圆按逆时针方向运动角（）到点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到点，若点的横坐标为，的值等于_. 变式3：角（）的终边过点），则 探究4：A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限C是圆O与轴正半轴的交点，AOB为正三角形记AOC.（1）若A点的坐标为(，)求的值；（2）求|BC|2的取值范围解：(1)A点的坐标为(，)，tan，20. (2)设A点的坐标为(x，y)，AOB为正三角形，B点的坐标为(cos()，sin()，且C(1,0)，|BC|2cos()12sin2()22cos()而A、B分别在第一、二象限，(，) (，)，cos()(，0) |BC|2的取值范围是(2,2)变式OxyBAC1：如图、是单位圆上的点，是圆与轴正半轴的交点，点的坐标为，三角形为正三角形（1）求；（2）求的值解：()因为点的坐标为，根据三角函数定义可知， ， 所以 ()因为三角形为正三角形，所以， 所以 所以变式2：如图, 单位圆（半径为1的圆）的圆心为坐标原点，单位圆与轴的正半轴交与点,与钝角的终边交于点,设.角终边(1) 用表示;(2) 如果,求点的坐标；(3) 求的最小值. 解：(1)如图. （2）由，又,得 . 由钝角，知 .（3）【法一】， 又，,的最小值为.【法二】为钝角，, ， ,的最小值为. 探究4：如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox轴为始边作任意角，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.(1)设105，75，求；(2)试证明差角的余弦公式C()：cos()coscossinsin.解：(1)方法1：由已知，得，的夹角为30，|1，|cos30.方法2：由三角函数的定义，得点A(cos105，sin105)，B(cos75，sin75)，cos105cos75sin105sin75cos(10575).(2)设，的夹角为，因为|1，所以，|coscos，另一方面，由三角函数的定义，得A(cos，sin)，B(cos，sin)，coscossinsin，故coscoscossinsin，由于2k，kZ，cos()cos，所以，cos()coscossinsin.变式：如图，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于，两点（1）如果，点的横坐标为，求的值；（2）若角的终边与单位圆交于C点，设角、的正弦线分别为MA、NB、PC，求证：线段MA、NB、PC能构成一个三角形；（3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 解：（1）已知是锐角，根据三角函数的定义，得又，且是锐角，所以所以 （2）证明：依题意得，因为，所以，于是有，又， 同理，由，可得，线段MA、NB、PC能构成一个三角形. （3）第（2）小题中的