高考数学复习专题6.25：数列中点列问题的研究与拓展_第1页
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专题6.25：数列中点列问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知点顺次为直线上的点，点顺次为轴上的点，其中.对于任意，点构成以为顶点的等腰三角形. （1）求证：是常数，并求数列的通项公式；（2）若等腰三角形中存在直角三角形，求的值解: 本题给出的是直线上的点列，已知点列的通项公式，求点列的通项公式，并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形。解：（1）在等腰三角形中，即，则，所以。当为奇数时，；当为偶数时，。故（2）当为偶数时，当为奇数时，当时，；当时，。即当时，第一个三角形为等腰直角三角形；当时，第二个三角形为等腰直角三角形；当时，第三个三角形为等腰直角三角形。变式1：点顺次为轴上的点，其中，数列是公差为1的等差数列.对于任意，点均构成以为顶点的等边三角形，求：（1）数列的通项公式；（2）顶点所在的轨迹方程解：（1）；（2）顶点的轨迹方程是。变式2：点顺次为轴上的点，在原点.对于任意，点均构成以为顶点的等边三角形，且由等边三角形的边长构成的数列是首项为1、公差为1的等差数列。求：（1）数列的通项公式；（2）顶点所在的轨迹方程分析与解：（1）；（2）设，则，即为所求的轨迹方程。变式3：点顺次为轴上的点，其中.对于任意，点均构成以为顶点的等腰直角三角形，且顶点在抛物 线上。求：（1）抛物线方程；（2）数列的通项公式；（3）点的坐标解：（1）因为，所以，即所求的抛物线方程为；（2）由已知得，设，则。 ， ，-得，所以。（3）因为，所以。变式4：如图，在直角坐标系中，有一组对角线长为的正方形，其对角线依次放置在轴上（相邻顶点重合）. 设是首项为，公差为的等差数列，点的坐标为.（1）当时，证明：顶点不在同一条直线上；（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点均落在抛物线上；（3）为使所有顶点均落在抛物线上，求与之间所应满足的关系式.解：（1）因为， 所以. 因为，所以顶点不在同一条直线上. （2）的横坐标，的纵坐标.因为点的坐标满足方程，所以均落在抛物线上. （3）因为，消去，可得 . 为使得所有顶点均落在抛物线上，则有 解得 . 所以所应满足的关系式是：. 变式5：已知点，点，顺次为轴上的点，其中.对于任意，点构成以为顶点的等腰三角形. （1）求数列的通项公式；（2）依次记的面积为，的面积为，的面积为，试求数列的前项和解：（1）；（2）当为偶数时，；当为奇数时，。注：这些等腰三角形的底边长分为两类，一类边长为，另一类边长为。当时，变式6：在直角坐标平面中，已知点列，其中是正整数。连接的直线与轴交于点，连接的直线与轴交于点，连接的直线与轴交于点，。（1）求数列的通项公式；（2）依次记的面积为，的面积为，的面积为，试求数列的各项和解：（
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