高考数学复习专题6.3：数列单调性问题的研究与拓展

专题6.3：数列单调性问题的研究与拓展【课本溯源】（1）求以下数列中的最大项：； 总结方法：图象法；代数法（恒成立）（2）若（其中为实常数），且数列为单调递增数列，求实数的取值范围. 【问题提出】问题1：设，数列是递增数列；，则是的 条件. 必要不充分 可得：问题2：数列满足（为实常数），其中，且数列为单调递增数列，则求实数的取值范围为_.问题3：在数列中，.（1）求证：数列先递增，后递减；（2）求数列的最大项. 最大.【探究拓展】探究1：通项公式为的数列，若满足，且对恒成立，则实数的取值范围是_.变式1：数列满足（），最小项为第_项；最大项为第_项变式2：数列满足（为实常数，），最大项为，最小项为，则实数的取值范围为_.变式3：数列的通项公式为，若对任意正整数，均成立，则实数的取值范围是_ 探究2：数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意的，恒成立，则的取值范围是 变式：已知数列an的首项a1a，Sn是数列an的前n项和，且满足：S3n2anS，an0，n2，nN*（1）若数列an是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列an是递增数列解：（1）在S3n2anS中分别令n2，n3，及a1a得(aa2)212a2a2，(aa2a3)227a3(aa2)2，因为an0，所以a2122a，a332a 因为数列an是等差数列，所以a1a32a2，即2(122a)a32a，解得a3经检验a3时，an3n，Sn，Sn1满足S3n2anS（2）由S3n2anS，得SS3n2an，即(SnSn1)(SnSn1)3n2an，即(SnSn1)an3n2an，因为an0，所以SnSn13n2，(n2)， 所以Sn1Sn3(n1)2，得an1an6n3，(n2) 所以an2an16n9，得an2an6，(n2)即数列a2，a4，a6，及数列a3，a5，a7，都是公差为6的等差数列， 因为a2122a，a332a所以an 要使数列an是递增数列，须有a1a2，且当n为大于或等于3的奇数时，anan1，且当n为偶数时，anan1，即a122a，3n2a63(n1)2a6(n为大于或等于3的奇数)，3n2a63(n1)2a6(n为偶数)，解得a所以M(，)，当aM时，数列an是递增数列 探究3：已知数列的通项公式为， 若对于一切的自然数，不等式恒成立,则实数的取值范围为_.解：令，恒成立； 数列对，上单调递增；由题意可知又； 变式：设函数，数列是首项为，公差为2的等差数列，又，数列是递减数列，则的取值范围是_. 0a 探究4：已知数列an的通项公式为annp，数列bn的通项公式为bn2n5设cn若在数列cn中，c8cn(nN*，n8)，则实数p的取值范围是 (12，17) 变式：已知数列an的通项公式为annp，数列bn的通项公式为bn2n5设cn若1080 p2013，则在数列cn中最大项是第_项 16 拓展1：已知数列的通项公式为：，设数列满足, 且中不存在这样的项, 使得“与”同时成立（其中, ）, 试求实数的取值范围解：当时, ,所以 若,即,则,所以当时,是递增数列,故由题意得,即,解得 若,即,则当时,是递增数列,故由题意得,即,解得 若,即,则当时,是递减数列, 当时,是递增数列,则由题意,得,即,解得综上所述取值范围是或（可先借助数形结合观察充要条件，通过画图研究后得不能出现尖底形状）拓展2：已知数列满足：，（1）若，求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：解：（1）若时，所以，且两边取对数，得，化为，因为，数列是以为首项，为公比的等比数列所以，所以（2）由，得， 当时，由已知，所以与同号因为，且，所以恒成立，所以，所以因为，所以，所以拓展3：已知为两个正数，且，设，当且时，（1）证明：数列为单调递减数列；数列为单调递增数列（2）证明：拓展4：定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”（1）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围；（2）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；（3）若是（）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?（解题中可用以下数据 :）（4）函数()，是数列，()的“保三角形函数”的充要条件是解：（1）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列因为，显然有，由得解得.，所以当时，是数列的保三角形函数. （2）由，得，两式相减得，所以 ，经检验，此通项公式满足.显然,因为,是三角形数列. （3）,所以是单调递减函数.由题意知，且,由得，解得,由得，解得，即数列最多有26项. （4）证明：必要性：因为当时，的最大值为1，则由得，且.充分性：当时，有，且，函数()是数列，()的“保三角形函数”综上，充要条件是.拓展5：数列an满足：a1 = 5，an+1an = ，数列bn的前n项和为Sn满足：Sn = 2(1bn)（1）证明：数列an+1an是一个等差数列，并求出数列an的通项公式；（2）求数列bn的通项公式，并求出数列anbn的最大项解：（1）令n = 1得a25 = ，解得a2 = 12，由已知得(an+1an)2 = 2(an+1an)15 (an+2an+1)2 = 2(an+2an+1)15 将得(an+2an)(an+22an+1an) = 2(an+2an)，由于数列an单调递增，所以an+2an0，于是an+22an+1an = 2，即(an+2an+1)(an+1an) = 2，所以an+1an是首项为7，公差为2的等差数列，于是an+1an = 72(n1) = 2n5，所以an = (anan-1)(an-1an-2)(a2a1)a1= (2n3)(2n1)75 = n(n4)（2）在 Sn = 2(1bn)中令n = 1得b1 = 2(1b1)，解得b1 = ，因为Sn = 2(1bn)，Sn+1 = 2(1bn+1)，相减得bn+1 = 2bn+12bn，即3bn+1 = 2bn，所以bn是首项和公比均为的等比数列，所以bn = ()n从而anbn = n(n4)()n设数列anbn的最大项为akbk，则有k(k4)()k(k1)(k5)()k+1，且k(k4)()k(k1)(k3)()k-1，所以k210，且k22k90，因为k是自然数，解得k = 4所以数列anbn的最大项为a4b4 = 拓展6：已知数列，满足，其中.若，且.（1）记，求证：数列为等差数列；（2）数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项满足的条件. 设，（其中为常数且），所以 所以数列均为以7为公差的等差数列. 设，（其中，为中的一个常数），当时，对任意的有；