2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）答案

2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题、本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设，则ABCD2（5分）已知集合，则中元素的个数为A3B2C1D03（5分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，若绕点逆时针旋转得到向量，则ABCD4（5分）已知，则ABCD5（5分）椭圆的一个焦点坐标为，则实数ABCD6（5分）的内角，的对边分别为，若，既是等差数列又是等比数列，则角的值为ABCD7（5分）如图，直三棱柱中，则异面直线和所成角的余弦值为ABCD8（5分）函数，在，中随机取一个数，使的概率为ABCD9（5分）已知，则的最小值为A10B9C8D710（5分）已知曲线，则下面结论正确的是A把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线11（5分）设为上的奇函数，满足，且当时，则（1）（2）（3）ABCD12（5分）已知双曲线的两个焦点分别为，以为直径的圆交双曲线于，四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）曲线在点处的切线的方程为14（5分）已知，则，15（5分）如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”试写出的一个“同域函数”的解析式为16（5分）秦九韶是我国古代的数学家，他的数学九章概括了宋元时期中国传统数学的主要成就秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法改写成以下形式：若，则三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17（12分）如图，长方体中，是的中点，（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值18（12分）甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响（）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件发生的概率19（12分）已知数列的前项和为，且满足，（）求证：数列是等比数列；（）求数列的前项和20（12分）已知，（）和的导函数分别为和，令，判断在上零点个数；（）当时，证明21（12分）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同两点，为拋物线上任意一点（与，不重合），直线，分别交抛物线的准线于点，（）写出焦点的坐标和准线的方程；（）求证：（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为参数）直线的参数方程为参数）（）求曲线在直角坐标系中的普通方程；（）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角选修4-5：不等式选讲23已知函数（）当时，求不等式的解集；（）若时，求的取值范围2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题、本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设，则ABCD【解答】解：由，得故选：2（5分）已知集合，则中元素的个数为A3B2C1D0【解答】解：集合，作出和的图象如下图：结合图象得和有两个交点，中元素的个数为2故选：3（5分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，若绕点逆时针旋转得到向量，则ABCD【解答】解：平面直角坐标系中，为坐标原点，和轴的夹角为若绕点逆时针旋转得到向量，设，则，即，故选：4（5分）已知，则ABCD【解答】解：，则，故选：5（5分）椭圆的一个焦点坐标为，则实数ABCD【解答】解：椭圆的标准方程为：，一个焦点坐标为，可得，解得，故选：6（5分）的内角，的对边分别为，若，既是等差数列又是等比数列，则角的值为ABCD【解答】解：由题意，既是等差数列又是等比数列，则，是常数数列，即故，故选：7（5分）如图，直三棱柱中，则异面直线和所成角的余弦值为ABCD【解答】解：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设则，0，0，1，1，1，故选：8（5分）函数，在，中随机取一个数，使的概率为ABCD【解答】解：解三角不等式，得：或，由几何概型中的线段型可得：事件发生的概率为，故选：9（5分）已知，则的最小值为A10B9C8D7【解答】解：由，可得，则，当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值9故选：10（5分）已知曲线，则下面结论正确的是A把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【解答】解：结合函数的图象的变换可知，把上纵坐标不变，各点横坐标伸长到原来的2倍可得，再把，向左平移个单位可得综上可知，正确故选：11（5分）设为上的奇函数，满足，且当时，则（1）（2）（3）ABCD【解答】解：由，故周期为8的奇函数，（1），（2），（3）（1），（4），（5）（1），（6），（7）（1），（8），所以（1）（8）（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4），故选：12（5分）已知双曲线的两个焦点分别为，以为直径的圆交双曲线于，四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为ABCD【解答】解：设与轴交于，因为四边形为正方形，所以为等腰直角三角形，所以，由题意可得半径，所以坐标，而是为直径的圆交双曲线的交点，代入双曲线方程可得：，而，整理可得：，离心率所以可得：，解得，所以，故选：二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）曲线在点处的切线的方程为【解答】解：由，得，（1），即曲线在点处的切线的斜率为1，则曲线在点处的切线方程为，整理得：故答案为：14（5分）已知，则，【解答】解：因为，其中，故，故答案为：，15（5分）如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”试写出的一个“同域函数”的解析式为，或，或，或【解答】解：因为，所以且，所以函数的定义域为，下面求函数的值域，不妨先求函数的值域，令，令，所以，从而得出，所以，即函数的值域为，只要满足定义域为，且值域为，的函数均符合题意，例如，或，或，故答案为：，或，或，或（符合题意即可）16（5分）秦九韶是我国古代的数学家，他的数学九章概括了宋元时期中国传统数学的主要成就秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法改写成以下形式：若，则0【解答】解：则故答案为：0三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17（12分）如图，长方体中，是的中点，（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值【解答】解：证明：是长方体，平面，又平面，平面平面解：方法一：取、分别是、的中点，连接、，即，又，或其补角是二面角的平面角又，二面角的余弦值为方法二：以为坐标原点，以、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，0，2，1，设，是平面的一个法向量，令，则，1，平面的一个法向量，显然，二面角是钝角，二面角的余弦值为18（12分）甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响（）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件发生的概率【解答】解：的取值为0，1，2，3，因此的分布列为0123由题意得：事件 “甲比乙答对题目数恰好多2”发生，即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，事件发生的概率为：19（12分）已知数列的前项和为，且满足，（）求证：数列是等比数列；（）求数列的前项和【解答】解：证明：令，则，得：，是等比数列由知：数列是首项为：，公比为2的等比数列，设数列的前项和为，则得：，20（12分）已知，（）和的导函数分别为和，令，判断在上零点个数；（）当时，证明【解答】解，在内单调递增，又，在内有且只有一个零点令，由可知：存在使得，即当时，当，时，21（12分）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同两点，为拋物线上任意一点（与，不重合），直线，分别交抛物线的准线于点，（）写出焦点的坐标和准线的方程；（）求证：【解答】解：由题意得：抛物线的焦点为，准线的方程为由知，设直线的方程为：令，由，消去得：，由根与系数的关系得：直线方程为：，即当时，同理得：，（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为参数）直线的参数方程为参数）（）求曲线在直角坐标系中的普通方程；（）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角【解答】解：由曲线的参数方程，为参数）得：曲线的参数方程化为普通方程为：解法一：中点极坐标化成直角坐标为设直线与曲线相交于，两点，则得，化简得：即又，直线的倾斜角为解法二：中点极坐标化成直角坐